巫老師幫同學整理了一份 115學測數B詳解，附上大考中心頒布的115學測數B試題
115 學測數學B詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| (4) | (5) | (2) | (3) | (3) | (1) | (2) |
| 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|
| (3)(5) | (2)(4) | (1)(4) | (2)(5) | (1)(3)(4) |
| 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
|---|---|---|---|---|
| 14 | 96 | \(\frac13<p<\frac5{12}\) | \(\frac43\) | \(\frac{23}5\) |
| 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|
| (1) | \((x-4)^2+(y+4)^2=32\) | \(\overrightarrow{PR}=(-12,-2)\)，\(R(-8,-6)\) |
一、單選題
1. 【絕對值】
當標準值為 \(95\)，試選出有幾個整數 \(N\) 與標準值的誤差百分比 \(\dfrac{|N-95|}{95}\times 100\%\) 小於 \(5\%\)。
(1) 4 個
(2) 5 個
(3) 8 個
(4) 9 個
(5) 10 個
答：(4)
1° \(\dfrac{|N-95|}{95}\times100\%<5\%\) \(\Rightarrow\) \(|N-95|<95\times0.05=4.75\)
2° \(|x|<a\Leftrightarrow-a<x<a\) \(\Rightarrow\) \(-4.75<N-95<4.75\) \(\Rightarrow\) \(90.25<N<99.75\)
3° \(N=91,92,\dots,99\)，共 9 個
2. 【指數與對數】
以計算機的自然對數按鍵 \(\ln\)（即 \(\ln x=\log_e x\)）估算連續複利本利和 \(100e^{\frac{3n}{100}}=135\) 所需期數 \(n\)，試選出等於 \(n\) 的選項。
(1) \(\dfrac{3}{100}\ln(135-100)\)
(2) \(\dfrac{100}{3}\ln(135-100)\)
(3) \(\dfrac{135}{100}\ln\left(\dfrac{3}{100}\right)\)
(4) \(\dfrac{3}{100}\ln\left(\dfrac{135}{100}\right)\)
(5) \(\dfrac{100}{3}\ln\left(\dfrac{135}{100}\right)\)
答：(5)
1° 次方有未知數 → 取 ln：\(100e^{\frac{3n}{100}}=135\) \(\Rightarrow\) \(e^{\frac{3n}{100}}=\dfrac{135}{100}\)
2° \(\dfrac{3n}{100}=\ln\Big(\dfrac{135}{100}\Big)\) \(\Rightarrow\) \(n=\dfrac{100}{3}\ln\Big(\dfrac{135}{100}\Big)\)
3. 【矩陣】
已知實數二階方陣 \(A\) 滿足 \(A\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\) 以及 \(A\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)。試選出 \(A\) 的反方陣。
(1) \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)
(2) \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\)
(3) \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\)
(4) \(\begin{bmatrix} 1 & \dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}\)
(5) \(\begin{bmatrix} 1 & -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}\)
答：(2)
1° \(A\) 作用在兩個向量 → 合併成一個矩陣：\(A\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\)
2° 不必求 \(A\)，兩邊左乘 \(A^{-1}\) 讓它和 \(A\) 碰在一起：\(\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}=A^{-1}\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\)
3° \(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\)，兩邊右乘 \(\Rightarrow\) \(A^{-1}=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}\)
4. 【球面（經緯度）】
電腦程式模擬在太平洋等速航行的甲、乙兩艘船。甲船沿著北緯 \(60\) 度向西航行，乙船沿著赤道向東航行。在某一時間點甲船在西經 \(169\) 度、乙船在東經 \(140\) 度，試選出當甲船到達東經 \(171\) 度時，乙船在東經幾度。
(1) 120 度
(2) 130 度
(3) 150 度
(4) 160 度
(5) 180 度
答：(3)
1° 設地球半徑 \(R\) \(\Rightarrow\) 北緯 \(60^\circ\) 的緯線圓半徑 \(r=R\cos60^\circ=\dfrac R2\)
2° 甲向西：西經 \(169^\circ\to180^\circ\) 走 \(11^\circ\)，\(180^\circ\to\) 東經 \(171^\circ\) 走 \(9^\circ\)，共 \(20^\circ\)
3° 甲航程 \(=\dfrac{20}{360}\cdot2\pi\cdot\dfrac R2\)
4° 等速 \(\Rightarrow\) 乙航程相同；乙在赤道（半徑 \(R\)）走 \(x^\circ\)：\(\dfrac{x}{360}\cdot2\pi R=\dfrac{20}{360}\cdot2\pi\cdot\dfrac R2\) \(\Rightarrow\) \(x=10\)
5° 乙在東經 \(140^\circ+10^\circ=150^\circ\)
5. 【數列（照規則列表）】
某人購買公益彩券，第一次以 \(N\) 元為投注金額。之後每次要投注時，先將前次投注金額增加一半設為預定金額。如果預定金額大於 \(2N\) 元，則將預定金額減少一半投注；否則就以預定金額投注。前四次投注紀錄如下表：
| 第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | |
|---|---|---|---|---|
| 預定金額（元） | \(\dfrac{3}{2}N\) | \(\dfrac{9}{4}N\) | \(\dfrac{27}{16}N\) | |
| 投注金額（元） | \(N\) | \(\dfrac{3}{2}N\) | \(\dfrac{9}{8}N\) | \(\dfrac{27}{16}N\) |
試選出此人第七次的投注金額為多少元。
(1) \(\dfrac{3^6}{2^6}N\)
(2) \(\dfrac{3^6}{2^8}N\)
(3) \(\dfrac{3^6}{2^9}N\)
(4) \(\dfrac{3^7}{2^7}N\)
(5) \(\dfrac{3^7}{2^{10}}N\)
答：(3)
1° 規則：預定 = 前次投注 \(\times\dfrac32\)；預定 \(>2N\) 就 \(\times\dfrac12\) 投注，否則照預定投注
2° 以 \(N\) 為單位，係數寫成 \(\dfrac{3\text{ 的次方}}{2\text{ 的次方}}\) 逐次列，超過 2 時估一下大小：
| 次 | 預定 | 和 2 比 | 投注 |
|---|---|---|---|
| 4 | \(\dfrac{27}{16}\) | ||
| 5 | \(\dfrac{3^4}{2^5}=\dfrac{81}{32}\approx2.5\) | \(>2\)，減半 | \(\dfrac{3^4}{2^6}\) |
| 6 | \(\dfrac{3^5}{2^7}=\dfrac{243}{128}\approx1.9\) | \(\le2\)，照投 | \(\dfrac{3^5}{2^7}\) |
| 7 | \(\dfrac{3^6}{2^8}=\dfrac{729}{256}\approx2.8\) | \(>2\)，減半 | \(\dfrac{3^6}{2^9}\) |
3° 第七次投注 \(\dfrac{3^6}{2^9}N\)
6. 【直線（平行線距離、在哪一側）】
各國沿岸的「領海基線」其外側距離基線十二浬間之海域，為該國之「領海」。在以浬為單位的坐標平面上，某國有一部分的領海基線為直線 \(L:4x+3y-12=0\) 上的某一線段，且 \((5,5)\) 位於該領海基線的內側，如圖所示。試選出該段領海在 \(L\) 與下列哪一條直線之間。
(1) \(4x+3y+48=0\)
(2) \(4x+3y+18=0\)
(3) \(4x+3y=0\)
(4) \(4x+3y-24=0\)
(5) \(4x+3y-72=0\)
答：(1)
1° 領海外緣 \(/\!/\ L\)，設 \(4x+3y+c=0\)
2° 平行線距離 \(\dfrac{|c-(-12)|}{\sqrt{4^2+3^2}}=12\) \(\Rightarrow\) \(|c+12|=60\) \(\Rightarrow\) \(c=48\) 或 \(c=-72\)
3° 判斷哪一側：\((5,5)\) 代入 \(4x+3y-12\) 得 \(23>0\)，是內側 \(\Rightarrow\) 領海在代入值 \(<0\) 的那一側
4° 該側的平行線 \(4x+3y-12=-60\) \(\Rightarrow\) \(4x+3y+48=0\)（\(c=-72\) 那條在內側，不合）
7. 【條件機率】
有 A、B、C 三種福袋各一個，其中 A、B、C 中獎的機率分別為 \(\dfrac{3}{4}\)、\(\dfrac{2}{3}\)、\(\dfrac{1}{2}\)，且不同福袋中獎與否互不影響。設在福袋 A 中獎的條件下，至少有兩個福袋中獎的機率為 \(p\)，且設在至少有兩個福袋中獎的條件下，福袋 A 中獎的機率為 \(q\)。試選出 \(\dfrac{p}{q}\) 之值。
(1) \(\dfrac{11}{18}\)
(2) \(\dfrac{17}{18}\)
(3) \(1\)
(4) \(\dfrac{18}{17}\)
(5) \(\dfrac{18}{11}\)
答：(2)
1° \(p=P(\text{至少兩個中}\mid A\text{ 中})\)：\(A\) 已中，\(B\)、\(C\) 再中至少一個即可 \(\Rightarrow\) \(p=1-P(B')P(C')=1-\dfrac13\cdot\dfrac12=\dfrac56\)
2° \(q=P(A\text{ 中}\mid\text{至少兩個中})\)，先算分母，列四種情形（分母都是 24，先約掉，只寫分子）：
\(ABC'\)：\(3\cdot2\cdot1=6\) \(AB'C\)：\(3\cdot1\cdot1=3\) \(A'BC\)：\(1\cdot2\cdot1=2\) \(ABC\)：\(3\cdot2\cdot1=6\) \(\Rightarrow\) 分母 \(=\dfrac{17}{24}\)
3° 分子取含 \(A\) 的三項：\(6+3+6=15\) \(\Rightarrow\) \(q=\dfrac{15}{17}\)
4° \(\dfrac pq=\dfrac56\times\dfrac{17}{15}=\dfrac{17}{18}\)
※ 看法：\(p=\dfrac{P(A\cap\text{兩})}{P(A)}\)、\(q=\dfrac{P(A\cap\text{兩})}{P(\text{兩})}\)，相除分子消掉 \(\Rightarrow\) \(\dfrac pq=\dfrac{P(\text{兩})}{P(A)}=\dfrac{17/24}{3/4}=\dfrac{17}{18}\)；考試看不出來，一樣可以用算的
二、多選題
8. 【三角函數圖形】
試選出與函數 \(y=3\sin\left(\dfrac{\pi}{5}x+\pi\right)+3\) 在每個實數 \(x\) 所得函數值皆相同的函數。
(1) \(y=6\sin\left(\dfrac{\pi}{5}x\right)+3\)
(2) \(y=3\sin\left(\left(\dfrac{\pi}{5}+2\pi\right)x+\pi\right)+3\)
(3) \(y=3\sin\left(\dfrac{\pi}{5}x-\pi\right)+3\)
(4) \(y=-3\sin\left(\dfrac{\pi}{5}x\right)-3\)
(5) \(y=-3\sin\left(\dfrac{\pi}{5}x\right)+3\)
答：(3)(5)
1° 先化簡：\(\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta\) \(\Rightarrow\) \(y=-3\sin\Big(\dfrac\pi5x\Big)+3\)（振幅 3、週期 10、平衡線 \(y=3\)）
(1) 振幅 \(6\ne3\) ×
(2) \(\Big(\dfrac\pi5+2\pi\Big)x\) 的 \(2\pi\) 乘在 \(x\) 上，不是同界角：週期 \(\dfrac{2\pi}{11\pi/5}=\dfrac{10}{11}\ne10\) ×
(3) \(\sin(\theta-\pi)=-\sin\theta\) \(\Rightarrow\) \(y=-3\sin\Big(\dfrac\pi5x\Big)+3\) ✓
(4) 平衡線 \(y=-3\ne3\) ×
(5) 就是 1° 化簡的結果 ✓
9. 【多項式】
設 \(f(x)=(1-x)(2-x)^2(4+x)\)。試選出正確的選項。
(1) \(f(x)\) 除以 \((1-x)(2-x)(4+x)\) 的餘式為 \(-x+2\)
(2) 若將 \(f(x)\) 表為 \(a(x-2)^4+b(x-2)^3+c(x-2)^2\)，則 \(c=-6\)
(3) \(f(x)>0\) 的解區間為 \((-4,2)\)
(4) \(\dfrac{f(2026)}{f(-2022)}>1\)
(5) \(f(2026)>f(-2022)\)
答：(2)(4)
(1) 照除法原理寫：\(f(x)=\big[(1-x)(2-x)(4+x)\big]\cdot(2-x)+0\)，商 \(2-x\) \(\Rightarrow\) 餘式 \(0\) ×
(2) 右邊提出 \((x-2)^2\)：\((x-2)^2\big[a(x-2)^2+b(x-2)+c\big]=(x-2)^2(1-x)(4+x)\) \(\Rightarrow\) \(a(x-2)^2+b(x-2)+c=(1-x)(4+x)\)；代 \(x=2\)：\(c=(-1)(6)=-6\) ✓
(3) \((1-x)\) 提負號，不等號翻：\((x-1)(x+4)(x-2)^2<0\)；奇次穿過、偶次彈回 \(\Rightarrow\) \(-4<x<1\)，不是 \((-4,2)\) ×
(4) ※ \(2026-2=2-(-2022)\)，兩點對稱於 \(x=2\) \(\Rightarrow\) \((2-x)^2\) 相同，約掉只比剩下的： \(\dfrac{f(2026)}{f(-2022)}=\dfrac{(1-2026)(4+2026)}{(1+2022)(4-2022)}=\dfrac{(-2025)(2030)}{(2023)(-2018)}=\dfrac{2025\times2030}{2023\times2018}>1\) ✓
(5) \(f(-2022)=2023\cdot(-2018)\cdot2024^2<0\)，(4) 兩邊同乘 \(f(-2022)\) 要變號 \(\Rightarrow\) \(f(2026)<f(-2022)\) ×
10. 【數據分析（線性變換、迴歸）】
某研究探討昆蟲的身長與其體內兩種養分 A、B 濃度的關係。研究中蒐集某種昆蟲，測得牠們身長與體內 A 濃度的數據如下表。
| 平均數 | 變異數 | 相關係數 | |
|---|---|---|---|
| 身長 | \(65\) 單位 | \(100\) 平方單位 | \(0.75\) |
| A 濃度 | \(50\) 單位 | \(225\) 平方單位 | （同上） |
已知每隻昆蟲體內的 B 濃度均為 A 濃度的 \(0.5\) 倍。試選出正確的選項。
(1) B 濃度的標準差為 \(\dfrac{15}{2}\) 單位
(2) 若身長的中位數為 \(65\) 單位，則 B 濃度的中位數為 \(25\) 單位
(3) B 濃度與 A 濃度的相關係數為 \(0.5\)
(4) 若找到一身長為 \(65\) 單位的昆蟲，利用 A 濃度對身長的迴歸直線（最適直線）預測，其體內 A 濃度為 \(50\) 單位
(5) B 濃度 \((Y)\) 對身長 \((X)\) 的迴歸直線斜率為 \(\dfrac{1}{2}\)
答：(1)(4)
1° \(Y=aX+b\) \(\Rightarrow\) \(\sigma_Y=|a|\sigma_X\)（標準差只乘倍數）；\(\sigma_A=\sqrt{225}=15\)
(1) \(B=0.5A\) \(\Rightarrow\) \(\sigma_B=0.5\times15=\dfrac{15}2\) ✓
(2) 中位數只能由同一個變數推：\(B\) 的中位數 \(=0.5\times\)（\(A\) 的中位數），身長的中位數推不出來 ×
(3) \(B\) 是 \(A\) 的正倍數 \(\Rightarrow\) 所有點 \((A,B)\) 都在斜率正的直線 \(B=0.5A\) 上 \(\Rightarrow\) \(r_{AB}=1\) ×
(4) 迴歸直線一定過 \((\mu_X,\mu_A)=(65,50)\) ✓
(5) 係數 \(0.5>0\) \(\Rightarrow\) \(r_{BX}=r_{AX}=0.75\)；斜率 \(m=r\cdot\dfrac{\sigma_B}{\sigma_X}=0.75\times\dfrac{7.5}{10}=0.5625\ne\dfrac12\) ×
11. 【圓錐截痕】
有一立燈為了採光，採用兩個可以替換的大、小燈罩。兩燈罩皆為直圓錐面的一部分，裝在燈上其軸線位置相同、燈源皆在頂點，且大燈罩照射在地面上的光線範圍大於小燈罩的光線範圍，如圖所示。令大、小燈罩在地面上所成的光線邊緣分別為圓錐曲線 \(\Gamma\)、\(\gamma\) 的一部分。試選出正確的選項。
(1) 如果 \(\Gamma\) 是橢圓，則 \(\gamma\) 是拋物線
(2) 如果 \(\Gamma\) 是拋物線，則 \(\gamma\) 是橢圓
(3) 如果 \(\Gamma\) 是雙曲線，則 \(\gamma\) 是拋物線
(4) 如果 \(\gamma\) 是拋物線，則 \(\Gamma\) 是拋物線
(5) 如果 \(\gamma\) 是雙曲線，則 \(\Gamma\) 是雙曲線
答：(2)(5)
1° 設地面和軸的夾角 \(\beta\)（同一個地面，兩燈罩的 \(\beta\) 相同）；圓錐半頂角：小燈罩 \(\theta_1\) \(<\) 大燈罩 \(\theta_2\)
2° 截痕：\(\beta>\theta\) \(\Rightarrow\) 只交一個錐面，橢圓；\(\beta=\theta\) \(\Rightarrow\) 平行母線，拋物線；\(\beta<\theta\) \(\Rightarrow\) 交兩個錐面，雙曲線
(1) \(\Gamma\) 橢圓 \(\Rightarrow\) \(\beta>\theta_2>\theta_1\) \(\Rightarrow\) \(\gamma\) 也是橢圓 ×
(2) \(\Gamma\) 拋物線 \(\Rightarrow\) \(\beta=\theta_2>\theta_1\) \(\Rightarrow\) \(\gamma\) 是橢圓 ✓
(3) \(\Gamma\) 雙曲線 \(\Rightarrow\) \(\beta<\theta_2\)，但 \(\beta\) 和 \(\theta_1\) 的大小不能確定 \(\Rightarrow\) 不一定 ×
(4) \(\gamma\) 拋物線 \(\Rightarrow\) \(\beta=\theta_1<\theta_2\) \(\Rightarrow\) \(\Gamma\) 是雙曲線 ×
(5) \(\gamma\) 雙曲線 \(\Rightarrow\) \(\beta<\theta_1<\theta_2\) \(\Rightarrow\) \(\Gamma\) 也是雙曲線 ✓
12. 【數列（遞迴）】
有兩容器，A 瓶內有含糖 \(100\) 公克的紅茶 \(1000\) 毫升，B 瓶內有不含糖的紅茶 \(500\) 毫升。用以下方式稀釋 A 瓶的甜度：將 A 瓶混合均勻後，倒出 \(500\) 毫升至 B 瓶，再將 B 瓶混合均勻後，倒 \(500\) 毫升回 A 瓶，稱此為一次稀釋。重複此稀釋動作，令第 \(n\) 次稀釋完，A 瓶的含糖量為 \(a_n\) 公克。試選出正確的選項。
(1) \(a_1=75\)
(2) 第 \(n\) 次稀釋完，B 瓶的含糖量為 \(50-\dfrac{1}{2}a_n\) 公克
(3) \(a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{1}{2}\left(100-\dfrac{1}{2}a_n\right)\)
(4) 可找到實數 \(c\) 滿足數列 \(\langle a_n-c\rangle\) 為公比是 \(\dfrac{1}{4}\) 的等比數列
(5) 第 \(100\) 次稀釋完，A 瓶的含糖量小於 \(60\) 公克
答：(1)(3)(4)
1° 糖的總量 100 公克不變 \(\Rightarrow\) 第 \(n\) 次稀釋完 B 瓶含糖 \(100-a_n\)
2° 照動作一步一步寫：A 倒一半到 B \(\Rightarrow\) A 剩 \(\dfrac12a_n\)，B 變 \((100-a_n)+\dfrac12a_n=100-\dfrac12a_n\)
3° B 倒一半回 A \(\Rightarrow\) \(a_{n+1}=\dfrac12a_n+\dfrac12\Big(100-\dfrac12a_n\Big)=\dfrac14a_n+50\)
(1) 一開始 A 含糖 100：\(a_1=\dfrac14\times100+50=75\) ✓
(2) 由 1°，B 是 \(100-a_n\)，不是 \(50-\dfrac12a_n\) ×
(3) 就是 3° ✓
(4) 設 \(a_{n+1}-c=\dfrac14(a_n-c)\) \(\Rightarrow\) \(a_{n+1}=\dfrac14a_n+\dfrac34c\)，對照 3°：\(\dfrac34c=50\) \(\Rightarrow\) \(c=\dfrac{200}3\) ✓
(5) 由 (4)：\(a_n-\dfrac{200}3=\Big(75-\dfrac{200}3\Big)\Big(\dfrac14\Big)^{n-1}=\dfrac{25}3\Big(\dfrac14\Big)^{n-1}>0\) \(\Rightarrow\) \(a_n>\dfrac{200}3\approx66.7\)，永遠不會小於 60 ×
三、選填題
13. 【三角（正弦定理）】
坐標平面上，\(L_1\) 為通過原點 \(O\) 且斜角為 \(75^\circ\) 的直線；\(L_2\) 為通過點 \((-20,0)\) 且斜角為 \(30^\circ\) 的直線，如圖所示。則 \(L_1\)、\(L_2\) 的交點到原點的距離為 \(\enclose{circle}{\scriptsize 13\text{-}1}\,\enclose{circle}{\scriptsize 13\text{-}2}\)。（四捨五入至整數）
答：14
1° 設 \(D(-20,0)\)、交點 \(P\)；能標的先標：\(\angle PDO=30^\circ\)、\(\angle DOP=180^\circ-75^\circ=105^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\angle DPO=45^\circ\)
2° 對邊對角 \(DO=20\) 對 \(45^\circ\)，正弦定理：\(\dfrac{OP}{\sin30^\circ}=\dfrac{20}{\sin45^\circ}\)
3° \(OP=20\times\dfrac12\div\dfrac{\sqrt2}2=10\sqrt2\approx14.14\) \(\Rightarrow\) 14
14. 【排列組合（相鄰）】
將 \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\) 七個數字排成一個七位數。若要求排出的數字 \(3, 4\) 相鄰、\(5, 6\) 相鄰以及 \(6, 7\) 相鄰，則共可排出 \(\enclose{circle}{\scriptsize 14\text{-}1}\,\enclose{circle}{\scriptsize 14\text{-}2}\) 個七位數。
答：96
1° 6 同時和 5、7 相鄰 \(\Rightarrow\) 6 在中間，綁成 567 或 765：2 種
2° 3、4 綁一起：34 或 43：2 種
3° [34]、[567]、1、2 共 4 個單位排一列：\(4!\)
4° \(4!\times2\times2=96\)
15. 【條件機率（列聯表）】
某校健康檢查：全體學生中有近視的占 \(\dfrac{1}{2}\)、有蛀牙的占 \(\dfrac{1}{3}\)。設 \(p\) 為全體學生中無近視且無蛀牙的學生所占比例。將部分資料依所占比例以列聯表呈現如下：
| 有近視 | 無近視 | 總和 | |
|---|---|---|---|
| 有蛀牙 | \(\dfrac{1}{3}\) | ||
| 無蛀牙 | \(p\) | \(\dfrac{2}{3}\) | |
| 總和 | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(1\) |
已知有近視的學生中，有蛀牙的占少數；有蛀牙的學生中，有近視的占多數。則 \(p\) 的範圍為 \(\dfrac{\enclose{circle}{\scriptsize 15\text{-}1}}{\enclose{circle}{\scriptsize 15\text{-}2}}<p<\dfrac{\enclose{circle}{\scriptsize 15\text{-}3}}{\enclose{circle}{\scriptsize 15\text{-}4}\,\enclose{circle}{\scriptsize 15\text{-}5}}\)。（化為最簡分數）
答：1/3 < p < 5/12
1° 由總和把每一格都寫成 \(p\) 的式子：
| 有近視 | 無近視 | 總和 | |
|---|---|---|---|
| 有蛀牙 | \(p-\dfrac16\) | \(\dfrac12-p\) | \(\dfrac13\) |
| 無蛀牙 | \(\dfrac23-p\) | \(p\) | \(\dfrac23\) |
| 總和 | \(\dfrac12\) | \(\dfrac12\) | 1 |
2° 有近視中有蛀牙占少數：\(\dfrac{p-\frac16}{\frac12}<\dfrac12\) \(\Rightarrow\) \(p-\dfrac16<\dfrac14\) \(\Rightarrow\) \(p<\dfrac5{12}\)
3° 有蛀牙中有近視占多數：\(\dfrac{p-\frac16}{\frac13}>\dfrac12\) \(\Rightarrow\) \(p-\dfrac16>\dfrac16\) \(\Rightarrow\) \(p>\dfrac13\)
4° 取交集 \(\dfrac13<p<\dfrac5{12}\)，此範圍內表格每一格都是正的
16. 【二次函數（兩根式）】
坐標平面上，\(L\) 為一次函數 \(y=f(x)\) 的圖形，\(\Gamma\) 為二次函數 \(y=g(x)\) 的圖形。已知 \(L\) 與 \(\Gamma\) 交於 \((1,0)\)、\((5,4)\) 兩點，且點 \((2,2)\) 在 \(\Gamma\) 上。則 \(g(x)-f(x)\) 的最大值為 \(\dfrac{\enclose{circle}{\scriptsize 16\text{-}1}}{\enclose{circle}{\scriptsize 16\text{-}2}}\)。（化為最簡分數）
答：4/3
1° \(f\) 過 \((1,0)\)、\((5,4)\) \(\Rightarrow\) 斜率 \(\dfrac{4-0}{5-1}=1\) \(\Rightarrow\) \(f(x)=x-1\)
2° \(g-f\) 是二次，在 \(x=1\)、\(5\) 為 0 \(\Rightarrow\) 設兩根式 \(g(x)-f(x)=k(x-1)(x-5)\)
3° 代 \((2,2)\)：\(g(2)-f(2)=2-1=1=k(1)(-3)\) \(\Rightarrow\) \(k=-\dfrac13\)
4° 開口向下，最大值在兩根中點 \(x=3\)：\(-\dfrac13(2)(-2)=\dfrac43\)
17. 【單點透視】
利用單點透視法將坐標空間的點繪製在畫布的坐標平面上。已知
（一）空間中與 \(y\) 軸平行的直線，在畫布上的消失點為 \((0,15)\)
（二）空間中與 \(z\) 軸平行的直線，在畫布上都與 \(y\) 軸平行
若點 \((0,0,0)\)、\((3,4,0)\)、\((3,0,3)\) 繪在畫布上分別為 \((0,0)\)、\(\left(\dfrac{13}{5},2\right)\)、\((3,3)\)，則點 \((3,4,3)\) 繪在畫布上的 \(y\) 坐標為 \(\dfrac{\enclose{circle}{\scriptsize 17\text{-}1}\,\enclose{circle}{\scriptsize 17\text{-}2}}{\enclose{circle}{\scriptsize 17\text{-}3}}\)。（化為最簡分數）
（註：右圖為三點 \((3,4,0)\)、\((3,0,3)\)、\((3,4,3)\) 於坐標空間的位置關係）
答：23/5
1° \((3,4,3)\) 在「過 \((3,0,3)\)、平行 \(y\) 軸」的直線上 \(\Rightarrow\) 畫布上是過 \((3,3)\) 和消失點 \((0,15)\) 的直線：斜率 \(\dfrac{15-3}{0-3}=-4\) \(\Rightarrow\) \(y=15-4x\)
2° \((3,4,3)\) 也在「過 \((3,4,0)\)、平行 \(z\) 軸」的直線上 \(\Rightarrow\) 畫布上是過 \(\Big(\dfrac{13}5,2\Big)\) 的鉛直線 \(x=\dfrac{13}5\)
3° 兩線交點：\(y=15-4\times\dfrac{13}5=\dfrac{23}5\)
第貳部分、混合題或非選擇題
18–20 題為題組
18-20 題為題組
有一張星軌照片，照片中的星星各自繞著以北極星為圓心且以逆時鐘方向旋轉 \(90^\circ\) 角所畫出的圓弧軌跡。在此照片所設的坐標平面上令北極星為點 \(P\)。已知甲星軌跡的起點、終點坐標分別為 \((8,0)\)、\((0,0)\)，軌跡如圖所示。根據上述，試回答下列問題。
18. 【直線（中垂線）】
試選出甲星軌跡的起點與終點連線線段的中垂線方程式。（單選題，3 分）
(1) \(x=4\)
(2) \(y=4\)
(3) \(y=x-4\)
(4) \(y=-x+4\)
(5) \(y=4x\)
答：(1)
1° 起點 \(S(8,0)\)、終點 \(E(0,0)\) 都在 \(x\) 軸上 \(\Rightarrow\) 中垂線是過中點 \((4,0)\) 的鉛直線 \(x=4\)
19. 【圓】
令 \(L\) 為通過點 \((8,0)\) 且斜率為 \(1\) 的直線。試說明點 \(P\) 在 \(L\) 上，並求甲星軌跡所在的圓方程式。（非選擇題，6 分）
答：(x − 4)² + (y + 4)² = 32
1° \(PS=PE\)（半徑）且 \(\angle SPE=90^\circ\)（轉 \(90^\circ\)）\(\Rightarrow\) \(\triangle PSE\) 等腰直角 \(\Rightarrow\) \(\angle PSE=45^\circ\)
2° 由圖 \(P\) 在 \(x\) 軸下方 \(\Rightarrow\) 直線 \(SP\) 由 \(S\) 往左下，斜角 \(45^\circ\)，斜率 \(\tan45^\circ=1\)；過 \(S(8,0)\) \(\Rightarrow\) \(y=x-8\)，就是 \(L\) \(\Rightarrow\) \(P\) 在 \(L\) 上
3° 由第 18 題，\(P\) 也在中垂線 \(x=4\) 上 \(\Rightarrow\) 代入 \(L\)：\(y=-4\) \(\Rightarrow\) \(P(4,-4)\)
4° 半徑 \(PE=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}\) \(\Rightarrow\) 圓方程式 \((x-4)^2+(y+4)^2=32\)
20. 【平面向量（轉 90°）】
已知照片中乙星軌跡的起點 \(Q\) 坐標為 \((2,8)\)。令 \(R\) 為其軌跡終點，試求 \(\overrightarrow{PR}\) 以及點 \(R\) 的坐標。（非選擇題，6 分）
答：向量 PR = (−12, −2)，R(−8, −6)
1° 由第 19 題 \(P(4,-4)\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{PQ}=(2-4,\ 8-(-4))=(-2,12)\)
2° 轉 \(90^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{PR}\perp\overrightarrow{PQ}\) 且等長 \(\Rightarrow\) 對調再變號：\((12,2)\) 或 \((-12,-2)\)
3° 判斷方向：\(\overrightarrow{PQ}=(-2,12)\) 指向左上，逆時針轉 \(90^\circ\) 後指向左下 \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{PR}=(-12,-2)\)
4° \(R=P+\overrightarrow{PR}=(4-12,\ -4-2)=(-8,-6)\)
115 學測數B五標
- 頂標：11
- 前標：9
- 均標：5
- 後標：3
- 底標：2