115分科數學甲 詳解試題分析

115 分科數學甲詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。

1	2	3	4	5	6
(4)	(4)	(3)	(1)(2)(3)(5)	(1)(3)(4)(5)	(2)(3)
7	8	9	10	11	15
(2)(3)(4)	(1)(2)(5)	\(a=5,\ b=4\)	\(\pm\frac{\sqrt3}{3}\)	\(\frac{80}{101}\)	\(\frac{\sqrt6}{6}\)

12	13	14	16	17
證明 \(q(0)=q(1)=0\)	\(p(x)=3x^2-4x+1\)	最大值 \(\frac{22}{3}\)，最小值 \(0\)	\(x-2y-z=5\)	正三角形，邊長 \(2\sqrt2\)

第壹部分、選擇（填）題

一、單選題

1. 【二次曲線】

答：(4)

1° 讀出 \(a\)、\(b\) 誰大：灰色橢圓 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 在 \(x\) 方向短、\(y\) 方向長 \(\Rightarrow\) \(a\) 小、\(b\) 大；在圖上標出 \(x\) 軸上的半軸長 \(a\)、\(y\) 軸上的半軸長 \(b\)

2° 看開口定「型」：黑線左右開 \(\Rightarrow\) \(x^2\) 項為正、\(=1\) \(\Rightarrow\) 刪 (1)（橢圓）、(3)(5)（上下開）

3° 比頂點：黑線頂點和 \(b\) 一樣長（把 \(b\) 搬到 \(x\) 軸上剛好碰到頂點）\(\Rightarrow\) 頂點 \((\pm b,0)\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{x^2}{b^2}-\dfrac{y^2}{a^2}=1\)

4° (2) 的頂點是 \((\pm a,0)\)，在橢圓上，太靠內 ×

2. 【無窮等比級數】

答：(4)

1° 無窮等比級數和 \(=\dfrac{a_1}{1-r}\)：\(a_1+a_2+\cdots=\dfrac1{1-r}\)；\(a_1+a_3+a_5+\cdots\) 首項 1、公比 \(r^2\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac1{1-r^2}\)

2° \(\dfrac1{1-r}\times\dfrac1{1-r^2}=1\) \(\Rightarrow\) \(1=(1-r)(1-r^2)=1-r-r^2+r^3\) \(\Rightarrow\) \(r^3-r^2-r=0\)

3° \(r(r^2-r-1)=0\) \(\Rightarrow\) \(r=0\) 或 \(r=\dfrac{1\pm\sqrt5}2\)

4° 公比非 0 且收斂 \(-1<r<1\)：\(\dfrac{1+\sqrt5}2\approx1.6\) 不合 \(\Rightarrow\) \(r=\dfrac{1-\sqrt5}2\approx-0.6\)

3. 【和差角、疊合】

答：(3)

1° 和角公式展開：\(\sin\Big(x+\dfrac\pi3\Big)=\dfrac12\sin x+\dfrac{\sqrt3}2\cos x\)

2° 同類項合併：\(f(x)=\dfrac32\sin x-\dfrac{\sqrt3}2\cos x\)

3° 疊合：提出 \(\sqrt{\Big(\dfrac32\Big)^2+\Big(\dfrac{\sqrt3}2\Big)^2}=\sqrt3\) \(\Rightarrow\) \(f(x)=\sqrt3\Big(\dfrac{\sqrt3}2\sin x-\dfrac12\cos x\Big)=\sqrt3\sin\Big(x-\dfrac\pi6\Big)\)

4° 最大值 \(\sqrt3\)

二、多選題

4. 【機率與期望值】

答：(1)(2)(3)(5)

1° 設 \(N=n_1+n_2+n_3\) \(\Rightarrow\) \(p_k=\dfrac{n_k}N\)，\(p_1+p_2+p_3=1\)

(1) 條件機率直接寫：\(\dfrac{n_2}{n_2+n_3}\)，上下同除 \(N\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{p_2}{p_2+p_3}=\dfrac{p_2}{1-p_1}\) ✓

(2) 期望值畫兩列表：

編號	1	2	3
機率	\(p_1\)	\(p_2\)	\(p_3\)

\(E=p_1+2p_2+3p_3\)，用 \(p_2=1-p_1-p_3\) 消去 \(\Rightarrow\) \(E=p_1+2-2p_1-2p_3+3p_3=2+p_3-p_1\) ✓

(3) \(n_2=\dfrac{n_1+n_3}2\)，同除 \(N\) \(\Rightarrow\) \(p_2=\dfrac{p_1+p_3}2\) \(\Rightarrow\) 等差 ✓

(4) 等比：設 \(n_1=\dfrac{n_2}r\)、\(n_3=n_2r\)（\(r>0\)）\(\Rightarrow\) \(p_2=\dfrac{n_2}{\frac{n_2}r+n_2+n_2r}=\dfrac1{\frac1r+1+r}\)；算幾 \(\dfrac1r+r\ge2\) \(\Rightarrow\) \(p_2\le\dfrac13\)（\(r=1\) 才等號），不是 \(\ge\) ×

(5) \(p_1<\dfrac12\) \(\Rightarrow\) \(p_2+p_3=1-p_1>\dfrac12>p_1\) \(\Rightarrow\) \(n_1<n_2+n_3\)；三個 \(k\) 都成立 \(\Rightarrow\) 任一數 \(<\) 另兩數和 \(\Rightarrow\) 可成三角形 ✓

5. 【複數】

答：(1)(3)(4)(5)

1° 上下同乘分母的共軛：\(z=\dfrac{(a-2i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\dfrac{a-2ai-2i+4i^2}5=\dfrac{(a-4)+(-2-2a)i}5\)

(1) 實部 \(\dfrac{a-4}5\) ✓

(2) \(\bar z=z\) \(\Rightarrow\) 虛部 \(=0\) \(\Rightarrow\) \(-2-2a=0\) \(\Rightarrow\) \(a=-1\)，不是 1 ×

(3) \(|z|^2=\dfrac{(a-4)^2+(2+2a)^2}{25}=\dfrac{5a^2+20}{25}=\dfrac{a^2+4}5\ge\dfrac45\) ✓

(4) \(a=0\)：\(z=\dfrac{-4-2i}5\) 在第三象限 \(\Rightarrow\) 主輻角介於 \(\pi\) 和 \(\dfrac{3\pi}2\)，大於 \(\pi\) ✓

(5) 第一象限 \(\Rightarrow\) 實部 \(>0\) 且虛部 \(>0\)：\(a>4\) 且 \(-2-2a>0\Rightarrow a<-1\)，交集為空 \(\Rightarrow\) 不可能 ✓

6. 【積分（黎曼和估計）】

答：(2)(3)

1° 先看表：\((2,3)\) 遞減、凹口向下；\((4,5)\) 遞增、凹口向下；\((6,7)\) 遞減、凹口向上

(1) \((4,5)\) 上 \(f''<0\)，凹口向下 ×

(2) \(f''\) 在 \((4,5)\) 為負、在 \((6,7)\) 為正，\(f''\) 是多項式（連續）\(\Rightarrow\) 在 \([5,6]\) 內由負變正 \(\Rightarrow\) 有反曲點 ✓

畫出長方形、梯形和曲線比面積：

(3) \((2,3)\) 遞減 \(\Rightarrow\) 每段左端點最高，左端點長方形比曲線高 \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\int_2^3f(x)\,dx<M_2^3(f)\) ✓

(4) \((4,5)\) 遞增 \(\Rightarrow\) 每段右端點最高，右端點長方形比曲線高 \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\int_4^5f(x)\,dx<N_4^5(f)\)，不是 \(>\) ×

(5) \(\dfrac12\big(M_6^7(f)+N_6^7(f)\big)=\dfrac{7-6}3\cdot\dfrac{f(6)+2f\big(\frac{19}3\big)+2f\big(\frac{20}3\big)+f(7)}2\) 是三個梯形面積的和（梯形面積）；凹口向上時梯形上緣（弦）在曲線上方 \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\int_6^7f(x)\,dx<\dfrac12\big(M_6^7(f)+N_6^7(f)\big)\) ×

※ \(f\) 為負也一樣成立：比的是長方形、梯形的上緣和曲線誰高

7. 【對數函數】

答：(2)(3)(4)

(1) 定義域：真數 \(\dfrac{1+x}{1-x}>0\) \(\Rightarrow\) \((1+x)(1-x)>0\) \(\Rightarrow\) \(-1<x<1\)；\(x\le-1\) 時沒有意義 ×

(2) 代 \(-x\)：\(f(-x)=\log\dfrac{1-x}{1+x}\)；\(-f(x)=\log\Big(\dfrac{1+x}{1-x}\Big)^{-1}=\log\dfrac{1-x}{1+x}\)，相等 ✓

(3) \(\log\dfrac{1+x}{1-x}>0=\log1\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{1+x}{1-x}>1\)；定義域內 \(1-x>0\)，直接交叉相乘 \(\Rightarrow\) \(1+x>1-x\) \(\Rightarrow\) \(x>0\) ✓

(4) 由圖：\(-1<x<1\) 時 \(\dfrac{1+x}{1-x}\) 從 0 增到 \(\infty\) \(\Rightarrow\) \(f\) 的值域為全體實數 \(\Rightarrow\) 存在 \(a\) 使 \(f(a)=-100\) ✓

(5) 對稱 \(y=x\) 的是反函數，\(x\)、\(y\) 對調：\(x=\log\dfrac{1+y}{1-y}\) \(\Rightarrow\) \(10^x=\dfrac{1+y}{1-y}\) \(\Rightarrow\) \(10^x-10^xy=1+y\) \(\Rightarrow\) \(y=\dfrac{10^x-1}{10^x+1}\)，和 \(y=10^{\frac{1+x}{1-x}}\) 不同 ×

8. 【平面向量】

答：(1)(2)(5)

(1) \(\vec u=\vec v+(2,2)\) 代入：\(|2\vec v+(2,2)|=2\) \(\Rightarrow\) \(2|\vec v+(1,1)|=2\) \(\Rightarrow\) \(|\vec v+(1,1)|=1\) ✓

(2) 兩式平方展開：\(|\vec u-\vec v|^2=|\vec u|^2-2\vec u\cdot\vec v+|\vec v|^2=8\)、\(|\vec u+\vec v|^2=|\vec u|^2+2\vec u\cdot\vec v+|\vec v|^2=4\)，相減 \(\Rightarrow\) \(4\vec u\cdot\vec v=-4\) \(\Rightarrow\) \(\vec u\cdot\vec v=-1\) ✓

(3) 設 \(\vec v=(x,y)\)，由 (1)：\((x+1)^2+(y+1)^2=1\) \(\Rightarrow\) \(\vec v\) 的終點在圓心 \((-1,-1)\)、半徑 1 的圓上 \(\Rightarrow\) \(|\vec v|\) 最大 \(\sqrt2+1\approx2.4>2\) ×

(4) 設 \(\vec v=(-1+\cos\varphi,-1+\sin\varphi)\) \(\Rightarrow\) \(\vec u=\vec v+(2,2)=(1+\cos\varphi,1+\sin\varphi)\)；取 \(\varphi=45^\circ\)：\(\vec v=\Big(\dfrac{\sqrt2}2-1\Big)(1,1)\)、\(\vec u=\Big(\dfrac{\sqrt2}2+1\Big)(1,1)\) 都是 \((1,1)\) 的倍數 \(\Rightarrow\) 可能平行 ×

(5) \(|\vec u||\vec v|\sin\theta=|\det(\vec u,\vec v)|=\left|\begin{matrix}1+\cos\varphi&1+\sin\varphi\\-1+\cos\varphi&-1+\sin\varphi\end{matrix}\right|\) 的絕對值 \(=|2\sin\varphi-2\cos\varphi|=2|\cos\varphi-\sin\varphi|\)

疊合：\(\cos\varphi-\sin\varphi=\sqrt2\sin(\varphi+135^\circ)\) \(\Rightarrow\) \(2|\cos\varphi-\sin\varphi|\le2\sqrt2\) ✓

三、選填題

9. 【三元一次聯立、矩陣】

答：a = 5，b = 4

1° 依題意列三式（小數改分數 \(11.5=\dfrac{23}2\)；草莓比葡萄多 2 斤 \(\Rightarrow\) \(y-z=2\)）：

\(x+y+z=\dfrac{23}2\)、\(110x+190y+160z=1945\)（總價式先同除 5：\(22x+38y+32z=389\)）、\(y-z=2\)

2° 第二列減 22 倍第一列（\(22\times\frac{23}2=253\)）：\(\left[\begin{array}{ccc|c}0&16&10&136\end{array}\right]\)，同除 2 對齊題目的第二列：\(\left[\begin{array}{ccc|c}0&8&5&68\end{array}\right]\) \(\Rightarrow\) \(a=5\)

3° 剩兩式聯立：\(8y+5z=68\)、\(y=z+2\) \(\Rightarrow\) \(8(z+2)+5z=68\) \(\Rightarrow\) \(13z=52\) \(\Rightarrow\) \(z=4\)

4° 第三列 \(\left[\begin{array}{ccc|c}0&0&1&b\end{array}\right]\) 就是 \(z=b\) \(\Rightarrow\) \(b=4\)

10. 【圓】

答：±√3/3

1° 設圓心 \((k,0)\)、半徑 \(r\)；不相交 \(\Rightarrow\) 圓上點到直線的最短距離 \(=\) 圓心到直線距離 \(-r\)

2° \(L_1\)：\(4x-3y=0\)、\(L_2\)：\(3x+4y=0\) \(\Rightarrow\) \(d_1=\dfrac{|4k|}5-r\)，\(d_2=\dfrac{|3k|}5-r\)

3° \(d_1=3d_2\)：\(\dfrac{4|k|}5-r=3\Big(\dfrac{3|k|}5-r\Big)\) \(\Rightarrow\) \(2r=|k|\)，取 \(k=2r\)（\(k=-2r\) 對稱於 \(y\) 軸，斜率相同）\(\Rightarrow\) 圓 \(C\)：\((x-2r)^2+y^2=r^2\)

4° 過原點的切線設 \(y=mx\)，圓心到直線距離 \(=r\)：\(\dfrac{|2mr|}{\sqrt{m^2+1}}=r\)，\(r\) 約掉 \(\Rightarrow\) \(4m^2=m^2+1\) \(\Rightarrow\) \(m=\pm\dfrac1{\sqrt3}=\pm\dfrac{\sqrt3}3\)

11. 【條件機率】

答：80/101

1° 大於 4 點（5、6）機率 \(\dfrac26\)；偶數點機率 \(\dfrac12\)；獲獎 \(=\) \(X\ge3\) 且 \(Y=X-1\)

2° 先寫 \(P(X=3\mid\text{獲獎})=\dfrac{P(X=3\text{ 且 }Y=2)}{P(\text{獲獎})}\)，分母 \(=\) 所有獲獎路徑相加：

路徑	機率
\(X=3\)，\(Y=2\)	\(C^5_3\big(\frac26\big)^3\big(\frac46\big)^2\times C^5_2\big(\frac12\big)^5\)
\(X=4\)，\(Y=3\)	\(C^5_4\big(\frac26\big)^4\big(\frac46\big)\times C^5_3\big(\frac12\big)^5\)
\(X=5\)，\(Y=4\)	\(C^5_5\big(\frac26\big)^5\times C^5_4\big(\frac12\big)^5\)

3° 共同的 \(\dfrac1{6^5}\)、\(\Big(\dfrac12\Big)^5\) 先約掉，只留整數：

\(\dfrac{C^5_3\,2^3\,4^2\times C^5_2}{C^5_3\,2^3\,4^2\times C^5_2+C^5_4\,2^4\cdot4\times C^5_3+C^5_5\,2^5\times C^5_4}=\dfrac{12800}{12800+3200+160}=\dfrac{12800}{16160}=\dfrac{80}{101}\)

第貳部分、混合題或非選擇題

12–14 題為題組

12. 【積分（上限是 x 的積分）】

答：q(0) = q(1) = 0

1° 看到 \(\displaystyle\int_1^x\) 就讓上下限一樣，再代 \(x=0\)

2° \(x=0\)：\([q(0)]^2=0\cdot\displaystyle\int_1^0p(t)\,dt=0\) \(\Rightarrow\) \(q(0)=0\)

3° \(x=1\)：\([q(1)]^2=1\cdot\displaystyle\int_1^1p(t)\,dt=0\) \(\Rightarrow\) \(q(1)=0\)

4° \(\Rightarrow\) \(q(0)=q(1)\)（都是 0）

13. 【微積分基本定理】

答：p(x) = 3x² − 4x + 1

1° \(q\) 是首項係數 1 的二次式，且由第 12 題 \(q(0)=q(1)=0\) \(\Rightarrow\) \(q(x)=x(x-1)\)

2° 代回：\([x(x-1)]^2=x\displaystyle\int_1^xp(t)\,dt\)，兩邊約掉 \(x\)（兩邊都是多項式，\(x\ne0\) 時相等就恆相等）\(\Rightarrow\) \(x(x-1)^2=\displaystyle\int_1^xp(t)\,dt\)

3° 兩邊微分（乘法公式：前微後不微 \(+\) 後微前不微）：\((x-1)^2+2x(x-1)=p(x)\)

4° \(p(x)=x^2-2x+1+2x^2-2x=3x^2-4x+1\)

14. 【微分的應用（閉區間最值）】

答：最大值 22/3，最小值 0

1° 令 \(g(x)=\displaystyle\int_1^x\big(p(t)-q(t)\big)\,dt\)；由第 13 題 \(p(t)-q(t)=3t^2-4t+1-(t^2-t)=2t^2-3t+1\)

2° \(g'(x)=2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)=0\) \(\Rightarrow\) \(x=\dfrac12\) 或 \(x=1\)

3° 積分「次方加一、次方除下來」：\(g(x)=\Big[\dfrac23t^3-\dfrac32t^2+t\Big]_1^x=\dfrac23x^3-\dfrac32x^2+x-\dfrac16\)

4° \(g'(x)=0\) 的點和兩端點全部代入比大小：

\(x\)	\(\frac12\)	\(1\)	\(3\)
\(g(x)\)	\(\frac1{12}-\frac38+\frac12-\frac16=\frac1{24}\)	\(0\)	\(18-\frac{27}2+3-\frac16=\frac{22}3\)

5° 最大值 \(\dfrac{22}3\)（\(x=3\)），最小值 \(0\)（\(x=1\)）

15–17 題為題組

15. 【點到平面距離】

答：√6/6

1° 點到平面距離公式：\(\dfrac{|1+0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2}}=\dfrac1{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}6\)

16. 【空間中的平面】

答：x − 2y − z = 5

1° 列出 \(\vec n_3\) 垂直哪兩個向量：

\(E_3\parallel L\) \(\Rightarrow\) \(\vec n_3\perp\vec\ell\)，\(\vec\ell=(1,1,2)\times(2,-1,1)=(3,3,-3)\parallel(1,1,-1)\)

\(E_3\) 含直線 \(\Rightarrow\) \(\vec n_3\perp\vec\ell'=(1,-1,3)\)

2° \(\vec n_3\parallel(1,1,-1)\times(1,-1,3)=(2,-4,-2)\parallel(1,-2,-1)\)

3° 設 \(E_3\)：\(x-2y-z=d\)，代直線上一點 \((3,-2,2)\)：\(d=3+4-2=5\) \(\Rightarrow\) \(E_3\)：\(x-2y-z=5\)

17. 【空間中的平面】

答：正三角形，邊長 2√2

1° \(E\) 和三平面都垂直 \(\Rightarrow\) \(\vec n_E\perp\vec n_1,\vec n_2,\vec n_3\)；由第 16 題，\(\vec n_1\times\vec n_2\parallel(1,1,-1)\) 就是 \(L\) 的方向，檢查 \(\vec n_3\cdot(1,1,-1)=1-2+1=0\) ✓（三平面都平行 \(L\)）\(\Rightarrow\) \(\vec n_E=(1,1,-1)\)

2° 取 \(L\) 上一點：\(E_1\)、\(E_2\) 代 \(z=0\) \(\Rightarrow\) \(x+y=2\)、\(2x-y=1\) \(\Rightarrow\) \((1,1,0)\)；取 \(E\) 過這點 \(\Rightarrow\) \(E\)：\(x+y-z=2\)（\(E\) 換成其他平行平面，截出的三角形全等，邊長不變）

3° 三平面兩兩和 \(E\) 聯立，解出三頂點：

\(E\cap E_1\cap E_3\)：\(A(3,-1,0)\)；\(E\cap E_2\cap E_3\)：\(B(1,-1,-2)\)；\(E\cap E_1\cap E_2\)：\(C(1,1,0)\)

4° 三邊都算出來：

\(\overline{AB}=|(-2,0,-2)|=2\sqrt2\)，\(\overline{BC}=|(0,2,2)|=2\sqrt2\)，\(\overline{AC}=|(-2,2,0)|=2\sqrt2\)

5° 三邊相等 \(\Rightarrow\) \(\Gamma\) 為正三角形，邊長 \(2\sqrt2\)