115 學測數學A 詳解試題分析

115 學測數學A詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。

1	2	3	4	5	6
(2)	(1)	(1)	(3)	(5)	(2)
7	8	9	10	11	12
(3)(4)	(2)(5)	(1)(2)(4)	(1)(5)	(2)(4)	(2)(4)

13	14	15	16	17
\(\frac{9}{10}\)	\(\frac14\)	\(\frac32\)	\(\frac{3\sqrt5}{2}\)	\(\frac{3}{11}\)

18	19	20
(3)	\(x-y-z+1=0\)	體積 10，最長距離 \(\sqrt{94}\)

第壹部分、選擇（填）題

一、單選題

1. 【期望值】

答：(2)

1° 問獎金 \(\Rightarrow\) 表格上面放獎金，下面放機率（0 元那欄不寫）：

獎金	180	90
機率	\(\big(\frac13\big)^2=\frac19\)	\(\big(\frac13\big)^2=\frac19\)

2° \(E=180\cdot\dfrac19+90\cdot\dfrac19=20+10=30\) 元

2. 【數與式（高斯符號）】

答：(1)

1° \([a]\) 是不大於 \(a\) 的最大整數，直接代，根號用相鄰平方數夾住

2° \(f(-20)=[\sqrt{119}]+[\sqrt{79}]=10+8=18\)（\(10^2<119<11^2\)、\(8^2<79<9^2\)）

3° \(f(0)=[\sqrt{99}]+[\sqrt{99}]=9+9=18\)

4° \(f(1)=[\sqrt{98}]+[\sqrt{100}]=9+10=19\) \(\Rightarrow\) \(f(-20)=f(0)<f(1)\)

3. 【指數函數】

答：(1)

1° 相除變成指數相減：\(\dfrac{f(c_2)}{f(c_1)}=a^{c_2-c_1}=a^{\frac{10}3}=4=2^2\) \(\Rightarrow\) \(a=2^{\frac35}\)

2° 所求公比 \(=\dfrac{f(8)}{f(10)}=a^{8-10}=a^{-2}=2^{-\frac65}\)

4. 【排列組合】

答：(3)

1° 種類 \(\rightarrow\) 加，依材料組合分三類

2° 3 基本：一定是同一種草藥 \(\Rightarrow\) 1 種

3° 2 基本 + 1 進階：由進階材料決定 \(\Rightarrow\) \(C^{10}_1=10\) 種

4° 其他組合（全 − 反面）：\(C^{16}_3-C^6_3-C^6_2C^{10}_1=560-20-150=390\) 種

5° 共 \(1+10+390=401\) 種

5. 【矩陣】

答：(5)

1° 把目標向量寫成已知「結果」的組合：\(\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}+A\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}\) \(\Rightarrow\) 一個解 \(\vec v_0=(1,0,1)\)

2° 又 \(A\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}=\vec 0\) \(\Rightarrow\) 對任意 \(t\)，\(A\begin{bmatrix}1+t\\0\\1-t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}+t\cdot\vec0=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}\)

3° \(\vec v\perp(0,1,0)\) \(\Leftrightarrow\) \(v_2=0\)，對每個 \(t\) 都成立 \(\Rightarrow\) 無窮多個

6. 【直線（等腰三角形）】

答：(2)

1° 直線上的點只設一個參數：設 \(C(t,-6)\)；\(\overline{AB}^2=3^2+4^2=25\)

2° \(\overline{CA}=\overline{CB}\)（\(C\) 在 \(AB\) 中垂線上）：\((t-2)^2+16=(t+1)^2+64\) \(\Rightarrow\) \(-6t+20=2t+65\) \(\Rightarrow\) \(t=-\dfrac{15}2\) \(\rightarrow\) 1 點

3° \(\overline{AC}=\overline{AB}=5\)：\((t-2)^2+16=25\) \(\Rightarrow\) \(t=5\) 或 \(-1\)

4° 檢查共線：\(m_{AB}=-\dfrac43\)；\(t=5\) 時 \(m_{AC}=\dfrac{-6+2}{5-2}=-\dfrac43\) \(\Rightarrow\) \(A,B,C\) 共線，不合；\(t=-1\) 合 \(\rightarrow\) 1 點

5° \(\overline{BC}=\overline{BA}\)：\((t+1)^2+64=25\) 無解（\(B\) 到 \(y=-6\) 的距離 \(8>5\)）

6° 共 2 點

※ 易錯：沒檢查三點共線，會誤選 3

二、多選題

7. 【二元一次不等式】

答：(3)(4)

1° 畫兩直線 \(L_1\)：\(2x-y-3=0\)、\(L_2\)：\(x+2y+1=0\)，聯立得交點 \((1,-1)\)

2° 代原點：\(2\cdot0-0-3=-3<0\)、\(0+0+1=1>0\)，都和不等號相反 \(\Rightarrow\) 區域在兩線不含原點的一側（兩線下方，斜線部分）

(1) \(x,y>0\) \(\Rightarrow\) \(x+2y+1>0\)，不合 ×

(2) \(x<0\)、\(y>0\) \(\Rightarrow\) \(2x-y-3<0\)，不合 ×

(3) 代 \((-1,-6)\)：\(-2+6-3=1>0\)、\(-1-12+1=-12<0\) ✓

(4) 代 \((2,-3)\)：\(4+3-3=4>0\)、\(2-6+1=-3<0\) ✓

(5) \(y=0\)：\(2x-3>0\) 且 \(x+1<0\) \(\Rightarrow\) \(x>\dfrac32\) 且 \(x<-1\)，矛盾 ×

8. 【矩陣】

答：(2)(5)

1° 橫配直：\(A^2=\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5&2\\2&1\end{bmatrix}\)

(1) \(b_2=c_2=2\) ×

(2) \(2A+I=\begin{bmatrix}4&2\\2&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5&2\\2&1\end{bmatrix}=A^2\) ✓

(3) 由 (2) 兩邊乘 \(A^n\)：\(A^{n+2}=2A^{n+1}+A^n\) \(\Rightarrow\) \(c_{n+2}=2c_{n+1}+c_n\)，不是 \(c_{n+1}+2c_n\)；驗證 \(A^3=\begin{bmatrix}12&5\\5&2\end{bmatrix}\)、\(A^4=\begin{bmatrix}29&12\\12&5\end{bmatrix}\)：\(c_4=12\ne c_3+2c_2=9\) ×

(4) 橫配直：左邊 \(=\begin{bmatrix}b_n\\d_n\end{bmatrix}\)；但 \(n=2\)：\(\begin{bmatrix}b_2\\d_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\ne\begin{bmatrix}b_3\\d_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\2\end{bmatrix}\) ×

(5) \(A^{2n}=A^nA^n\)，橫配直：\(a_{2n}=a_n^2+b_nc_n\)、\(d_{2n}=c_nb_n+d_n^2\) \(\Rightarrow\) \(d_{2n}-a_{2n}=(d_n)^2-(a_n)^2\) ✓

9. 【數據分析】

答：(1)(2)(4)

1° 兩科的 \(T\) 都化成 \(S\) 的一次式：

數學 \(T=50+\dfrac{10(S-60)}{12}=\dfrac56S\)；英文 \(T=50+\dfrac{10(S-60)}{8}=\dfrac54S-25\)

(1) \(\dfrac54\cdot52-25=65-25=40\) ✓

(2) \(T=\dfrac56S\le S\)（\(S\ge0\)）✓

(3) 反例：乙（數 100、英 60）原始平均 80，\(T\) 平均 \(\dfrac12\Big(\dfrac{250}3+50\Big)\approx66.7\)；丙（數 60、英 90）原始平均 75，\(T\) 平均 \(\dfrac12(50+87.5)=68.75\) ×

(4) 數學：\(\dfrac56S\ge40\) \(\Rightarrow\) \(S\ge48\)；英文：\(\dfrac54S-25\ge40\) \(\Rightarrow\) \(S\ge52\)；\(48<52\) ✓

(5) 斜率 \(m=r\cdot\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}\)（\(y\) 數學、\(x\) 英文）：原始 \(m=r\cdot\dfrac{12}8=\dfrac32r\)；\(T\) 分數兩科標準差都是 10、\(r\) 不變（係數同號）\(\Rightarrow\) \(m=r\)；\(\dfrac32r=r\) \(\Leftrightarrow\) \(r=0\)，不一定 ×

10. 【平面向量】

答：(1)(5)

(1) \(\cos\angle BAD=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|}=\dfrac{2-30}{\sqrt{40}\cdot\sqrt{26}}=\dfrac{-28}{4\sqrt{65}}=\dfrac{-7\sqrt{65}}{65}\) ✓

(2) \(\triangle ABD=\dfrac12\left|\begin{matrix}2&-6\\1&5\end{matrix}\right|=\dfrac12|10+6|=8\) ×

後面的選項先求 \(C\)：

1° 設 \(\overrightarrow{DC}=k\overrightarrow{AB}\)（\(k>0\)）；\(\overline{AB}\parallel\overline{DC}\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ABE\sim\triangle CDE\) \(\Rightarrow\) \(\overline{BE}:\overline{ED}=\overline{AE}:\overline{EC}=1:k\)

2° \(\dfrac{\triangle ABE}{\triangle ABD}=\dfrac{\overline{BE}}{\overline{BD}}=\dfrac1{1+k}=\dfrac38\) \(\Rightarrow\) \(k=\dfrac53\)

3° \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=(1,5)+\dfrac53(2,-6)=\Big(\dfrac{13}3,-5\Big)\)

(3) \(\overrightarrow{AE}=\dfrac38\overrightarrow{AC}=\Big(\dfrac{13}8,-\dfrac{15}8\Big)\) ×

(4) \(\triangle BCD\) 與 \(\triangle ABD\) 等高、底的比 \(\overline{DC}:\overline{AB}=5:3\) \(\Rightarrow\) \(\triangle BCD=\dfrac{40}3\)；\(ABCD=8+\dfrac{40}3=\dfrac{64}3\) ×

(5) 換出發點：\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\Big(\dfrac73,1\Big)\) \(\Rightarrow\) \(\overline{BC}=\dfrac{\sqrt{58}}3<\dfrac{\sqrt{64}}3=\dfrac83\) ✓

11. 【三角函數圖形】

答：(2)(4)

1° \(\Gamma\) 週期 \(\dfrac{2\pi}{\pi/2}=4\)，過 \((0,1)\)；\(L_m\) 也都過 \((0,1)\)

(1) \((0,1)\) 是交點，\(x=0\) 不是負的 ×

(2) \(b=ma+1=\cos\dfrac{\pi a}2\)；\(\cos\Big(-\dfrac{\pi a}2\Big)=\cos\dfrac{\pi a}2=b\) 且 \((-m)(-a)+1=b\) \(\Rightarrow\) \((-a,b)\) 在 \(L_{-m}\) 和 \(\Gamma\) 上 ✓

(3) \(\cos\Big(\dfrac\pi2\cdot\dfrac{20}3\Big)=\cos\dfrac{10\pi}3=\cos\dfrac{4\pi}3=-\dfrac12\ne\dfrac12\)，點不在 \(\Gamma\) 上 ×

(4) \(\cos\dfrac{\pi x}2=-1\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{\pi x}2=(2k+1)\pi\) \(\Rightarrow\) \(x=2(2k+1)\)；\(mx+1=-1\) \(\Rightarrow\) \(x=-\dfrac2m\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac1m=-(2k+1)\) 是奇數 ✓

(5) 反例：過 \((0,1)\)、\((1,0)\) 的 \(y=1-x\)（\(m=-1\)）

交點 \(x=0,1,2\)；\(x<0\) 時直線 \(>1\)、\(x>2\) 時直線 \(<-1\)，都沒有交點 \(\Rightarrow\) 共 3 個（奇數）×

12. 【三次函數】

答：(2)(4)

1° \(f-g\) 三次項係數 2、\(f\) 首項 1 \(\Rightarrow\) \(g\) 首項 \(-1\)；設 \(f(x)=x^3+px^2+qx+r\) \(\Rightarrow\) \(g(x)=-x^3+px^2+(q-2)x+r\)

2° 對稱中心 \(x=-\dfrac{b}{3\cdot\text{首項}}\)：\(a_1=-\dfrac p3\)、\(a_2=\dfrac p3\)

3° 令 \(h=\dfrac p3\)：\(b_1=f(-h)=2h^3-qh+r\)、\(b_2=g(h)=2h^3+(q-2)h+r\)

(1) \(f=g\) \(\Rightarrow\) \(2x^3+2x=2x(x^2+1)=0\) \(\Rightarrow\) \(x=0\)，只交一點 ×

(2) \(a_1+a_2=0\) ✓

(3) \(b_1+b_2=4h^3-2h+2r\)，隨 \(p\)、\(r\) 改變 ×

(4) \(a_1=a_2\) \(\Rightarrow\) \(h=0\) \(\Rightarrow\) \(b_1=b_2=r\) ✓

(5) \(b_1=b_2\) \(\Rightarrow\) \((2q-2)h=0\) \(\Rightarrow\) \(h=0\) 或 \(q=1\)；反例 \(q=1\)、\(p=3\)、\(r=0\)：\(a_1=-1\ne a_2=1\)，但 \(b_1=f(-1)=1=g(1)=b_2\) ×

三、選填題

13. 【條件機率】

答：9/10

1° 「已知通過檢定」\(\Rightarrow\) 條件機率：\(P(\text{碩士}\mid\text{通過})=\dfrac{P(\text{碩士}\cap\text{通過})}{P(\text{通過})}\)

2° 先算分母：\(P(\text{通過})=\dfrac14\cdot\dfrac15+\dfrac34\cdot\dfrac35\)

3° \(\dfrac{\frac34\cdot\frac35}{\frac14\cdot\frac15+\frac34\cdot\frac35}\)，上下同乘 20 \(\Rightarrow\) \(\dfrac{9}{1+9}=\dfrac9{10}\)

14. 【平面向量】

答：1/4

1° 直線 \(y=bx-1\) 的方向向量 \((1,b)\)；\((a,b)\) 與直線垂直 \(\Rightarrow\) \((a,b)\cdot(1,b)=a+b^2=0\) \(\Rightarrow\) \(a=-b^2\)

2° 配方：\(a+b=-b^2+b=-\Big(b-\dfrac12\Big)^2+\dfrac14\le\dfrac14\)（\(b=\dfrac12\) 時等號成立）

15. 【對數】

答：3/2

1° 三點 \(x\) 坐標等差又共線 \(\Rightarrow\) 斜率相等 \(\Rightarrow\) \(y\) 坐標也等差：\(2\log4b=\log3a+\log6c\)

2° 合併：\(\log16b^2=\log18ac\) \(\Rightarrow\) \(16b^2=18ac\)

3° 換成中項與公差：設 \(a=b-d\)、\(c=b+d\)（\(d>0\)）\(\Rightarrow\) \(16b^2=18(b^2-d^2)\) \(\Rightarrow\) \(d^2=\dfrac{b^2}9\) \(\Rightarrow\) \(d=\dfrac b3\)

4° \(a=\dfrac{2b}3\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac ba=\dfrac32\)

16. 【二次函數（平移）】

答：3√5/2

1° 對稱軸 = 兩根中點 \(x=0\)，代入 \(y=1+2x\) \(\Rightarrow\) \(P(0,1)\)

2° 兩根式：\(f(x)=k\Big(x+\dfrac12\Big)\Big(x-\dfrac12\Big)\)，\(f(0)=-\dfrac k4=1\) \(\Rightarrow\) \(k=-4\)

3° 平移不改開口：設 \(Q(h,1+2h)\) \(\Rightarrow\) 新圖形 \(y=-4(x-h)^2+1+2h\)

4° 過 \(B\Big(\dfrac12,0\Big)\)：\(-4\Big(\dfrac12-h\Big)^2+1+2h=0\) \(\Rightarrow\) \(6h-4h^2=0\) \(\Rightarrow\) \(h=0\)（\(Q=P\)，不合）或 \(h=\dfrac32\)

5° \(Q\Big(\dfrac32,4\Big)\)：\(\overline{PQ}=\sqrt{\Big(\dfrac32\Big)^2+3^2}=\dfrac32\sqrt{1+4}=\dfrac{3\sqrt5}2\)

17. 【正弦定理、和角公式】

答：3/11

1° 能標的先標：設 \(\angle ACD=\theta\) \(\Rightarrow\) \(\angle BCD=2\theta\)、\(\angle ADC=90^\circ-\theta\)、\(\angle BDC=90^\circ+\theta\)；設 \(\overline{BD}=a\)，\(\overline{BC}=2a\)

2° \(\triangle BCD\) 正弦定理：\(\dfrac{a}{\sin2\theta}=\dfrac{2a}{\sin(90^\circ+\theta)}\) \(\Rightarrow\) \(\cos\theta=2\cdot2\sin\theta\cos\theta\) \(\Rightarrow\) \(\sin\theta=\dfrac14\)

3° 畫直角三角形 \((1,\sqrt{15},4)\)：\(\tan\theta=\dfrac1{\sqrt{15}}\)

4° 設 \(\overline{AC}=1\)：\(\overline{AD}=\tan\theta\)、\(\overline{AB}=\tan3\theta\)

5° \(\tan2\theta=\dfrac{2/\sqrt{15}}{1-\frac1{15}}=\dfrac{\sqrt{15}}7\)

6° \(\tan3\theta=\tan(2\theta+\theta)=\dfrac{\frac{\sqrt{15}}7+\frac1{\sqrt{15}}}{1-\frac{\sqrt{15}}7\cdot\frac1{\sqrt{15}}}=\dfrac{22}{7\sqrt{15}}\cdot\dfrac76=\dfrac{11}{3\sqrt{15}}\)

7° \(k=\dfrac{\overline{AD}}{\overline{AB}}=\dfrac{1/\sqrt{15}}{11/(3\sqrt{15})}=\dfrac3{11}\)

第貳部分、混合題或非選擇題

18–20 題為題組

18. 【空間向量】

答：(3)

1° 平行四邊形 \(ABCD\) 面積 \(=|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}|=|(-5,5,5)|=\sqrt{75}=5\sqrt3\)

19. 【空間中的平面】

答：x − y − z + 1 = 0

1° 平面 \(ABCD\) 的法向量就是 \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=(-5,5,5)\parallel(1,-1,-1)\)

2° 設 \(x-y-z=d\)，代 \(B(1,2,0)\)：\(d=1-2-0=-1\)

3° 平面 \(ABCD\)：\(x-y-z+1=0\)

20. 【空間向量】

答：體積 10，最長距離 √94

1° \(\overrightarrow{AP}\) 同時垂直 \(\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AP}\) 和 \(\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB}\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AP}\parallel(-2,0,-4)\times(6,-10,-8)=(-40,-40,20)\parallel(2,2,-1)\)

2° \(|(2,2,-1)|=3\)、\(|\overrightarrow{AP}|=6\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AP}=\pm(4,4,-2)\)

3° 體積 \(=|(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD})\cdot\overrightarrow{AP}|=|(-5,5,5)\cdot(4,4,-2)|=|-20+20-10|=10\)

4° 同法求 \(\overrightarrow{AB}\)、\(\overrightarrow{AD}\)（取 \(\overrightarrow{AP}=(4,4,-2)\)）：

\(\overrightarrow{AB}\parallel(-5,5,5)\times(6,-10,-8)=(10,-10,20)\parallel(1,-1,2)\)；設 \(\overrightarrow{AB}=s(1,-1,2)\)，\(\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB}=s\,(4,4,-2)\times(1,-1,2)=s(6,-10,-8)\) \(\Rightarrow\) \(s=1\)

\(\overrightarrow{AD}\parallel(-5,5,5)\times(-2,0,-4)=(-20,-30,10)\parallel(2,3,-1)\)；設 \(\overrightarrow{AD}=t(2,3,-1)\)，\(\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AP}=t\,(2,3,-1)\times(4,4,-2)=t(-2,0,-4)\) \(\Rightarrow\) \(t=1\)

（取 \(\overrightarrow{AP}=-(4,4,-2)\) 時三向量同時變號，長度不變，結果相同）

5° 最遠點在頂點：平行六面體上的點 \(X\) 滿足 \(\overrightarrow{AX}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AD}+\gamma\overrightarrow{AP}\)（\(0\le\alpha,\beta,\gamma\le1\)），\(|\overrightarrow{AX}|^2\) 對每個變數都是開口向上的二次函數，最大值在端點 0 或 1 \(\Rightarrow\) 在頂點

6° 以 \(A\) 為原點標出各頂點：

頂點	\(B\)	\(D\)	\(P\)	\(C\)	\(Q\)	\(S\)	\(R\)
\(\overrightarrow{AX}\)	\((1,-1,2)\)	\((2,3,-1)\)	\((4,4,-2)\)	\((3,2,1)\)	\((5,3,0)\)	\((6,7,-3)\)	\((7,6,-1)\)
\(\lvert\overrightarrow{AX}\rvert\)	\(\sqrt6\)	\(\sqrt{14}\)	\(6\)	\(\sqrt{14}\)	\(\sqrt{34}\)	\(\sqrt{94}\)	\(\sqrt{86}\)

7° 最長距離 \(\overline{AS}=\sqrt{94}\)

※ 易錯：直覺以為對角頂點 \(R\) 最遠，算出來 \(\overline{AR}=\sqrt{86}<\overline{AS}=\sqrt{94}\)