巫老師幫同學整理了一份 115 分科數乙詳解，附上大考中心頒布的 115分科數乙試題
115 分科數學乙詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| (1) | (5) | (3) | (4) | (2) | (2) |
| 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| (1)(4)(5) | (1)(2)(5) | (3)(4) | \(-3\) | 31 | 21 |
| 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
|---|---|---|---|---|---|
| (2) | \(A(x)=x^2-12x+60\)，極限 60 | 最小值 24 萬元／公斤，產量 6 公斤 | (1) | \(\overrightarrow{AB}=(3,1)\)，\(\cos\angle BAC=-\frac{\sqrt2}{2}\) | \(5\sqrt2\) |
一、單選題
1. 【對數律】
試選出 \(\log_2(8\sqrt{2})-\log_2(4\sqrt{2})\) 的值。
(1) \(1\)
(2) \(2\)
(3) \(\dfrac{1}{2}\)
(4) \(\dfrac{3}{2}\)
(5) \(\dfrac{5}{2}\)
答：(1)
1° 同底 log 相減直接併成一個：\(\log_a x-\log_a y=\log_a\dfrac xy\)
2° \(\log_2(8\sqrt2)-\log_2(4\sqrt2)=\log_2\dfrac{8\sqrt2}{4\sqrt2}=\log_2 2=1\)
2. 【複數的絕對值】
設 \(i=\sqrt{-1}\)、複數 \(z=2+i\)、\(w=1+i\)。試問下列哪一個複數的絕對值等於 5？
(1) \(z-w\)
(2) \(z-2w\)
(3) \(z-3w\)
(4) \(z-4w\)
(5) \(z-5w\)
答：(5)
1° 選項不多就每個都算：\(z-kw=(2-k)+(1-k)i\)，\(|z-kw|=\sqrt{(2-k)^2+(1-k)^2}\)
2° 列表：
| \(k\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(z-kw\) | \(1\) | \(-i\) | \(-1-2i\) | \(-2-3i\) | \(-3-4i\) |
| \(\lvert z-kw\rvert\) | 1 | 1 | \(\sqrt5\) | \(\sqrt{13}\) | 5 |
3° \(|z-5w|=\sqrt{9+16}=5\)
3. 【期望值】
一袋中有三顆球，球上分別印有號碼 \(1,2,6\)。假設每次抽球時，袋中每顆球被抽到的機率均相等，考慮以下三種情況：
（甲）隨機抽出一顆球，設此球號碼的期望值為 \(a\)。
（乙）隨機抽出一顆球，記錄號碼後放回袋中，再隨機抽出一顆球，設前後兩顆球號碼平均數的期望值為 \(b\)。
（丙）隨機抽出一顆球，取後不放回，再隨機抽出另一顆球，設前後兩顆球號碼平均數的期望值為 \(c\)。
有關 \(a,b,c\) 的大小關係，試選出正確的選項。
(1) \(a>b>c\)
(2) \(a=b>c\)
(3) \(a=b=c\)
(4) \(a=b<c\)
(5) \(a<b<c\)
答：(3)
1° 問平均數的期望值 → 先算「和」的期望值再 ÷ 2；表格上排放值、下排放機率
2° （甲）\(a=\dfrac{1+2+6}3=3\)
3° （乙）放回，有序對 \(3\times3=9\) 種：
| 和 | 2 | 3 | 4 | 7 | 8 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 機率 | \(\frac19\) | \(\frac29\) | \(\frac19\) | \(\frac29\) | \(\frac29\) | \(\frac19\) |
\(E(\text{和})=\dfrac{2+6+4+14+16+12}9=\dfrac{54}9=6\) ⇒ \(b=\dfrac62=3\)
4° （丙）不放回，有序對 \(3\times2=6\) 種：
| 和 | 3 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|
| 機率 | \(\frac26\) | \(\frac26\) | \(\frac26\) |
\(E(\text{和})=\dfrac{2(3+7+8)}6=\dfrac{36}6=6\) ⇒ \(c=3\)
5° \(a=b=c\)
4. 【圓與切線】
坐標平面上有一圓 \(\Gamma\)。已知直線 \(L:y=x\) 與圓 \(\Gamma\) 相切，且圓 \(\Gamma\) 的圓心對直線 \(L\) 的對稱點坐標為 \((5,3)\)。試選出圓 \(\Gamma\) 的方程式。
(1) \((x-5)^2+(y+3)^2=0\)
(2) \((x-5)^2+(y+3)^2=2\)
(3) \((x-5)^2+(y+3)^2=4\)
(4) \((x-3)^2+(y-5)^2=2\)
(5) \((x-3)^2+(y-5)^2=4\)
答：(4)
1° 對稱 \(y=x\) 就是 \(x\)、\(y\) 對調 ⇒ 圓心 \((3,5)\)
2° 相切 ⇒ 半徑 = 圓心到 \(x-y=0\) 的距離 \(=\dfrac{|3-5|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt2\)
3° \(\Gamma:(x-3)^2+(y-5)^2=2\)
5. 【空間坐標】
坐標空間中有一點 \(A(6,8,-8)\)。試問在 \(x\) 軸、\(y\) 軸、\(z\) 軸這三條坐標軸上，總共有幾個點與點 \(A\) 的距離等於 10？
(1) \(0\)
(2) \(2\)
(3) \(3\)
(4) \(4\)
(5) \(6\)
答：(2)
1° 三軸各設一個未知數，寫距離式 \(=10\)
2° \(x\) 軸上設 \((a,0,0)\)：\((a-6)^2+8^2+8^2=100\)，但 \(8^2+8^2=128>100\) ⇒ 無解
3° \(y\) 軸上設 \((0,b,0)\)：\(6^2+(b-8)^2+8^2=100\) ⇒ \((b-8)^2=0\) ⇒ \(b=8\) ⇒ 1 點
4° \(z\) 軸上設 \((0,0,c)\)：\(6^2+8^2+(c+8)^2=100\) ⇒ \((c+8)^2=0\) ⇒ \(c=-8\) ⇒ 1 點
5° 共 2 點：\((0,8,0)\)、\((0,0,-8)\)
6. 【積分與函數圖形】
設三次多項式 \(f(x)=\displaystyle\int_0^x t(t-2)\,dt\)。試問下列選項中，哪一個最有可能是函數 \(y=f(x)\) 在坐標平面上的圖形？
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
答：(2)
1° 上下限相同 ⇒ \(f(0)=\displaystyle\int_0^0t(t-2)\,dt=0\)，圖形過原點 ⇒ 刪 (1)
2° 微分 \(f'(x)=x(x-2)\) ⇒ \(f'(0)=0\) ⇒ \(x=0\) 是二重根（在原點相切）⇒ 刪 (3)(5)
3° 積分「次方加一、次方除下來」：\(f(x)=\dfrac13x^3-x^2\)，首項係數為正 ⇒ 最右端往右上 ⇒ 刪 (4)
4° \(0<x<2\) 時 \(f'(x)<0\)（相切後往下），\(x=2\) 極小 \(f(2)=-\dfrac43\)，\(f(3)=0\) ⇒ (2)
二、多選題
7. 【獨立事件、重複試驗】
根據經驗，某甲在閱讀某社群媒體上的文章時，對每篇文章是否「按讚」為獨立事件，且對每篇文章「按讚」的機率皆為 \(\dfrac{1}{3}\)。已知某甲在某日依序讀了 4 篇文章。試選出正確的選項。
(1) 某甲對第 4 篇文章「按讚」的機率是 \(\dfrac{1}{3}\)
(2) 在某甲對第 1 篇文章「按讚」的條件下，某甲對第 2 篇文章「按讚」的機率小於 \(\dfrac{1}{3}\)
(3) 某甲在此 4 篇文章中，恰對 2 篇文章「按讚」的機率是 \(\dfrac{4}{81}\)
(4) 某甲在此 4 篇文章中，至少對 2 篇文章「按讚」的機率是 \(\dfrac{11}{27}\)
(5) 某甲在此 4 篇文章中，至少連續對 2 篇文章「按讚」的機率是 \(\dfrac{7}{27}\)
答：(1)(4)(5)
1° 每篇按讚 ✓ 機率 \(\dfrac13\)、不按 × 機率 \(\dfrac23\)
(1) 第 4 篇與前面無關，機率 \(\dfrac13\)
(2) 獨立 ⇒ 條件機率等於原機率 \(=\dfrac13\)，不是小於
(3) 恰 \(k\) 次 \(C^n_k p^k q^{n-k}\)：\(C^4_2\Big(\dfrac13\Big)^2\Big(\dfrac23\Big)^2=\dfrac{24}{81}=\dfrac8{27}\ne\dfrac4{81}\)
(4) 至少 2 次 \(=1-P(0\text{ 次})-P(1\text{ 次})=1-\dfrac{16}{81}-\dfrac{32}{81}=\dfrac{33}{81}=\dfrac{11}{27}\)
(5) 用 ✓× 把有「連續 2 個 ✓」的排列寫出來數（依按讚篇數）：
2 篇：✓✓××、×✓✓×、××✓✓，3 種，各 \(\dfrac4{81}\)
3 篇：✓✓✓×、✓✓×✓、✓×✓✓、×✓✓✓，4 種（全部都有連續），各 \(\dfrac2{81}\)
4 篇：✓✓✓✓，1 種，\(\dfrac1{81}\)
合計 \(\dfrac{12+8+1}{81}=\dfrac{21}{81}=\dfrac7{27}\)
8. 【等差數列與指數】
設 \(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_7\) 為等差數列，且滿足 \(10^{a_3}=2\)，\(10^{a_5}=5\)。試選出正確的選項。
(1) \(10^{a_1},10^{a_2},10^{a_3},\ldots,10^{a_7}\) 為等比數列
(2) \(10^{a_7}=\dfrac{25}{2}\)
(3) \(a_4=\log\dfrac{7}{2}\)
(4) \(a_1>0\)
(5) \(\displaystyle\sum_{k=3}^{6}(a_{k+1}-a_k)=2-4\log2\)
答：(1)(2)(5)
1° 各項換成首項跟公差：\(10^{a_1+2d}=2\)、\(10^{a_1+4d}=5\)
2° 兩式相除 ⇒ \(10^{2d}=\dfrac52\)
(1) \(\dfrac{10^{a_{k+1}}}{10^{a_k}}=10^{a_{k+1}-a_k}=10^d\) 固定 ⇒ 等比
(2) \(10^{a_7}=10^{a_5}\cdot10^{2d}=5\cdot\dfrac52=\dfrac{25}2\)
(3) 等差中項 \(a_4=\dfrac{a_3+a_5}2\) ⇒ \(10^{a_4}=\sqrt{10^{a_3}\cdot10^{a_5}}=\sqrt{10}\) ⇒ \(a_4=\dfrac12\ne\log\dfrac72\)
(4) \(10^{a_1}=\dfrac{10^{a_3}}{10^{2d}}=\dfrac2{5/2}=\dfrac45<1\) ⇒ \(a_1<0\)
(5) 相消成「最後 − 最前」：\((a_4-a_3)+(a_5-a_4)+(a_6-a_5)+(a_7-a_6)=a_7-a_3=4d\)
\(4d=a_5-a_1=\log5-\log\dfrac45=\log\dfrac{25}4=2\log5-2\log2=2(1-\log2)-2\log2=2-4\log2\)
9. 【迴歸直線】
某甲收集某廠牌車輛 50 筆行車速率（公里／小時）與煞停距離（公尺）的數據，並以行車速率為 \(x\) 軸、煞停距離為 \(y\) 軸繪製成散布圖，如下圖所示，其中直線 \(L\) 為 \(y\) 對 \(x\) 的最適直線（迴歸直線）。
已知此 50 筆行車速率與煞停距離數據的平均數分別為 24.8 與 12.6，相關係數為 0.8，且直線 \(L\) 通過點 \((6.8,0)\)。試選出正確的選項。
(1) 直線 \(L\) 通過點 \((12.6,24.8)\)
(2) 直線 \(L\) 的斜率為 0.8
(3) 當此廠牌車輛的行車速率為每小時 46.8 公里時，以最適直線 \(L\) 推估其煞停距離應為 28 公尺
(4) 設此 50 筆數據行車速率的標準差為 \(\sigma_x\)（公里／小時），且煞停距離的標準差為 \(\sigma_y\)（公尺），則 \(\sigma_x>\sigma_y\)
(5) 若此 50 筆數據改以煞停距離為 \(x\) 軸、行車速率為 \(y\) 軸，則 \(y\) 對 \(x\) 的最適直線斜率為 \(\dfrac{10}{7}\)
答：(3)(4)
1° 迴歸直線過 \((\mu_x,\mu_y)=(24.8,\,12.6)\) 與 \((6.8,\,0)\) ⇒ 斜率 \(m=\dfrac{12.6-0}{24.8-6.8}=\dfrac{12.6}{18}=0.7\)
2° \(L:y=0.7(x-6.8)\)
(1) 注意平均數的順序：\(x\) 是速率 24.8、\(y\) 是距離 12.6；代 \(x=12.6\)：\(y=0.7\times5.8=4.06\ne24.8\)
(2) 斜率是 0.7，不是 0.8（0.8 是相關係數）
(3) 代 \(x=46.8\)：\(y=0.7\times40=28\)
(4) \(m=r\cdot\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}\)：\(0.7=0.8\cdot\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}\) ⇒ \(\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}=\dfrac78<1\) ⇒ \(\sigma_x>\sigma_y\)
(5) \(x\)、\(y\) 對調後斜率 \(=r\cdot\dfrac{\sigma_x}{\sigma_y}=0.8\cdot\dfrac87=\dfrac{32}{35}\)（不是倒數 \(\dfrac{10}7\)）
三、選填題
10. 【矩陣運算】
設二階實數方陣 \(I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\)、\(A=\begin{bmatrix}a&1\\0&1\end{bmatrix}\)。已知 \(A^2+2A=3I\)，則 \(a=\enclose{circle}{\scriptsize 10\text{-}1}\,\enclose{circle}{\scriptsize 10\text{-}2}\)。
答：−3
1° 橫配直：\(A^2=\begin{bmatrix}a&1\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&1\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a^2&a+1\\0&1\end{bmatrix}\)
2° \(A^2+2A=\begin{bmatrix}a^2+2a&a+3\\0&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&0\\0&3\end{bmatrix}\)
3° 先用只含一次未知數的位置：\(a+3=0\) ⇒ \(a=-3\)
4° 驗證另一位置：\(a^2+2a=9-6=3\)
11. 【線性規劃】
坐標平面上有四邊形 \(\Gamma\)，其四個頂點分別為 \((6,1)\)、\((5,5)\)、\((2,7)\) 和 \((-1,8)\)。若點 \(P(x,y)\) 在 \(\Gamma\) 的內部（含邊界），則 \(x+4y\) 的最大值為 \(\enclose{circle}{\scriptsize 11\text{-}1}\,\enclose{circle}{\scriptsize 11\text{-}2}\)。
答：31
1° \(\Gamma\) 是凸四邊形，\(x+4y\) 的最大值在頂點 ⇒ 四個頂點逐一代入 \(x+4y\)：
| 頂點 | \((6,1)\) | \((5,5)\) | \((2,7)\) | \((-1,8)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x+4y\) | 10 | 25 | 30 | 31 |
2° 可行解區域（斜線部分）與頂點如圖，取到最大值的直線 \(x+4y=31\) 用虛線畫出
3° 最大值 31（在 \((-1,8)\)）
12. 【組合】
箱中有編號分別為 \(1,2,3,\ldots,10\) 的卡片各一張，共 10 張卡片。從箱子中一次取出 6 張卡片，此 6 張卡片編號的中位數恰為 5 的組合共有 \(\enclose{circle}{\scriptsize 12\text{-}1}\,\enclose{circle}{\scriptsize 12\text{-}2}\) 種。
答：21
1° 6 張是偶數個 ⇒ 由小到大第 3、4 張的平均為 5
2° 依中間兩張分類，每類「下面選 2 × 上面選 2」：
\((4,6)\)：下面從 1～3 選 2、上面從 7～10 選 2 ⇒ \(C^3_2\times C^4_2=3\times6=18\)
\((3,7)\)：下面從 1～2 選 2、上面從 8～10 選 2 ⇒ \(C^2_2\times C^3_2=1\times3=3\)
\((2,8)\)、\((1,9)\)：下面不夠 2 張，不成立
3° 共 \(18+3=21\) 種
第貳部分、混合題或非選擇題
13–15 題為題組
某藥廠經營者希望能夠控制成本。假設當藥廠產量為 \(x\) 公斤時，總成本函數為 \(C(x)\)（單位：萬元），其中 \(C(0)\) 稱為固定成本，\(C(x)-C(0)\) 稱為變動成本函數。當 \(x>0\) 時，變動成本函數除以產量稱為平均變動成本函數 \(A(x)\)（單位：萬元／公斤），即平均變動成本函數為 \(A(x)=\dfrac{C(x)-C(0)}{x}\)。
今已知該藥廠的總成本函數為 \(C(x)=x^3-12x^2+60x+42\)，其中 \(0\le x\le15\)。根據上述，試回答下列問題。
13. 【函數值】
試問此藥廠的固定成本為多少萬元？（單選題，3 分）
(1) \(12\)
(2) \(42\)
(3) \(60\)
(4) \(90\)
(5) \(91\)
答：(2)
1° 固定成本 \(=C(0)=42\)（萬元）
14. 【函數的極限】
當 \(0<x\le15\) 時，試求此藥廠的平均變動成本函數 \(A(x)\)，並求右極限 \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}A(x)\) 的值。（非選擇題，4 分）
答：A(x) = x² − 12x + 60，極限 60
1° \(A(x)=\dfrac{C(x)-C(0)}x=\dfrac{x^3-12x^2+60x}x\)
2° \(0<x\le15\)，先約掉 \(x\)：\(A(x)=x^2-12x+60\)
3° 算極限「先代進去」：\(\displaystyle\lim_{x\to0^+}A(x)=\lim_{x\to0^+}(x^2-12x+60)=60\)
15. 【微分的應用（最小值）】
試求此藥廠的平均變動成本函數 \(A(x)\) 的最小值，並求此時藥廠產量為多少公斤？（非選擇題，6 分）
答：最小值 24 萬元／公斤，產量 6 公斤
1° 由第 14 題 \(A(x)=x^2-12x+60\)，\(0<x\le15\)
2° 微分「次方拿下來、次方減 1」：\(A'(x)=2x-12=0\) ⇒ \(x=6\)
3° 正負表：\(0<x<6\) 時 \(A'(x)<0\)（遞減），\(6<x\le15\) 時 \(A'(x)>0\)（遞增）⇒ \(x=6\) 為最小
4° 代回：\(A(6)=36-72+60=24\)
5° 產量 6 公斤時，平均變動成本最小，為 24 萬元／公斤
16–18 題為題組
坐標平面上有一向量 \(\overrightarrow{u}=(1,2)\) 及三點 \(A(1,1)\)、\(B(4,2)\)、\(C\)，其中點 \(C\) 位於第二象限。已知 \(\overrightarrow{u}\) 與向量 \(\overrightarrow{CA}\) 垂直，且 \(\overrightarrow{u}\) 與向量 \(\overrightarrow{CB}\) 的夾角為 \(\theta\)，其餘弦值為 \(\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)。根據上述，試回答下列問題。
16. 【向量垂直】
試問下列哪一個向量與向量 \(\overrightarrow{u}\) 垂直？（單選題，3 分）
(1) \((-2,1)\)
(2) \((-1,0)\)
(3) \((-1,-2)\)
(4) \((1,-1)\)
(5) \((2,1)\)
答：(1)
1° 與 \(\vec u=(1,2)\) 垂直 ⇒ 對調再變號：\((-2,1)\)
2° 驗證：\((1,2)\cdot(-2,1)=-2+2=0\)
17. 【平面向量內積】
試求向量 \(\overrightarrow{AB}\) 以及 \(\cos\angle BAC\) 的值。（非選擇題，6 分）
答：向量 AB = (3, 1)；cos∠BAC = −√2/2
1° \(\overrightarrow{AB}=(4-1,\,2-1)=(3,1)\)
2° \(\overrightarrow{CA}\perp\vec u\) ⇒ \(C\) 在過 \(A\)、方向 \((2,-1)\) 的直線上，用參數式設 \(C(1+2t,\,1-t)\)
3° 夾角條件：\(\overrightarrow{CB}=(3-2t,\,1+t)\)，\(\overrightarrow{CB}\cdot\vec u=(3-2t)+2(1+t)=5\)
\(\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{CB}\cdot\vec u}{|\overrightarrow{CB}||\vec u|}=\dfrac5{|\overrightarrow{CB}|\sqrt5}=\dfrac1{\sqrt{10}}\) ⇒ \(|\overrightarrow{CB}|=5\sqrt2\)
\((3-2t)^2+(1+t)^2=50\) ⇒ \(5t^2-10t-40=0\) ⇒ \(t^2-2t-8=0\) ⇒ \(t=4\) 或 \(-2\)
4° \(C\) 在第二象限：\(t=4\) 得 \((9,-3)\) 不合；\(t=-2\) 得 \(C(-3,3)\)
5° \(\overrightarrow{AC}=(-4,2)\)，\(\cos\angle BAC=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\dfrac{-12+2}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{20}}=\dfrac{-10}{10\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt2}2\)
18. 【向量的長度】
試求線段 \(\overline{BC}\) 的長度。（非選擇題，6 分）
答：5√2
1° 由第 17 題 \(C(-3,3)\)：\(\overrightarrow{BC}=(-7,1)\)
2° \(\overline{BC}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=5\sqrt2\)
※ 第 17 題 3° 已得 \(|\overrightarrow{CB}|=5\sqrt2\)，可直接拿來用
115 分科數乙五標
- 頂標：50
- 前標：41
- 均標：25
- 後標：13
- 底標：8