巫老師幫同學整理了一份 114 分科數乙詳解，附上大考中心頒布的 114分科數乙試題
114 分科數學乙詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| (3) | (1) | (2) | (5) | (3) | (4) |
| 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| (1)(2)(5) | (1)(2) | (1)(4)(5) | \(a=-4\)，\(b=3\) | 144 | \(\sqrt{13}\) |
| 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
|---|---|---|---|---|---|
| (3) | \(f'(x)=-x^2-2x+3\) | \(\frac{32}{3}\) | (3) | \(x\le15\)，\(x+y\le24\)，\(x\le3y\)，\(y\le2x\)，\(x\ge0\)，\(y\ge0\) | 160 萬元 |
一、單選題
1. 【循環小數】
試選出 \(1.\overline{5}\times5\) 的值。
(1) \(7.\overline{5}\)
(2) \(7.\overline{6}\)
(3) \(7.\overline{7}\)
(4) \(7.\overline{8}\)
(5) \(7.\overline{9}\)
答：(3)
1° 循環節 1 位 ⇒ 分母一個 9：\(1.\overline{5}=1+\dfrac59=\dfrac{14}9\)
2° \(\dfrac{14}9\times5=\dfrac{70}9=7\dfrac79=7.\overline{7}\)
2. 【圓的方程式】
坐標平面上，試問下列哪一個方程式的圖形是通過點 \((1,1)\) 的圓？
(1) \((x-1)^2+y^2=1\)
(2) \((x-1)^2+(y-1)^2=1\)
(3) \(3(x-1)^2+y^2=1\)
(4) \(x^2+y^2=1\)
(5) \(x^2+3y=4\)
答：(1)
1° 圓的標準式 \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)：\(x^2\)、\(y^2\) 係數相同，沒有 \(xy\) 項
(1) 圓心 \((1,0)\)、半徑 1，代 \((1,1)\)：\(0+1=1\) 成立
(2) 代 \((1,1)\)：\(0+0\ne1\)
(3) \(x^2\)、\(y^2\) 係數不同，是橢圓（雖然過 \((1,1)\)）
(4) 代 \((1,1)\)：\(1+1\ne1\)
(5) 沒有 \(y^2\) 項，是拋物線
3. 【條件機率】
已知有兩個公正的六面骰子 A、B：
A 上的點數分別為 1、2、5、6、7、9，
B 上的點數分別為 1、3、4、5、6、9，
記錄 A、B 點數大小關係如下表所示。例如：A 與 B 的點數分別為 5 與 3，記錄為「A 大」；A 與 B 點數均為 5，記錄為「和局」。
| B ＼ A 點數 | 1 | 2 | 5 | 6 | 7 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 和局 | A 大 | A 大 | A 大 | A 大 | A 大 |
| 3 | B 大 | B 大 | A 大 | A 大 | A 大 | A 大 |
| 4 | B 大 | B 大 | A 大 | A 大 | A 大 | A 大 |
| 5 | B 大 | B 大 | 和局 | A 大 | A 大 | A 大 |
| 6 | B 大 | B 大 | B 大 | 和局 | A 大 | A 大 |
| 9 | B 大 | B 大 | B 大 | B 大 | B 大 | 和局 |
今某人同時擲 A、B 兩骰子，則在 A 點數大於 B 點數的條件下，B 點數是 6 的機率為何？
(1) \(\dfrac{1}{6}\)
(2) \(\dfrac{1}{9}\)
(3) \(\dfrac{1}{16}\)
(4) \(\dfrac{1}{18}\)
(5) \(\dfrac{1}{32}\)
答：(2)
1° 在「A 大」的條件下 ⇒ 分母只數表中「A 大」的格子（36 格等機率）
2° 每一列的「A 大」：\(B=1\) 有 5 格、\(B=3\) 有 4 格、\(B=4\) 有 4 格、\(B=5\) 有 3 格、\(B=6\) 有 2 格、\(B=9\) 有 0 格 ⇒ 共 18 格
3° 分子：\(B=6\) 且 A 大有 2 格（A 為 7、9）
4° \(P(B=6\mid A\text{ 大})=\dfrac{2}{18}=\dfrac19\)
4. 【空間坐標】
空間中有一個邊長為 1 的正立方體。點 \(O\) 為其中一個頂點，其餘 7 個頂點為 \(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)、\(F\)、\(G\)。已知 \(\overline{OA}=\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DE}=\overline{EF}=\overline{FG}=1\) 且 \(\overline{OG}>1\)，試選出距離點 \(O\) 最遠的頂點。
(1) \(C\)
(2) \(D\)
(3) \(E\)
(4) \(F\)
(5) \(G\)
答：(5)
1° 設坐標：\(O(0,0,0)\)，正立方體頂點坐標都是 0 或 1
2° 相鄰兩點距離 1 ⇒ 沿一條稜走 ⇒ 每走一步恰有一個坐標改變 1 ⇒ 坐標和的奇偶交替
3° \(O\) 坐標和 0（偶）⇒ \(A\) 奇、\(B\) 偶、\(C\) 奇、\(D\) 偶、\(E\) 奇、\(F\) 偶、\(G\) 奇 ⇒ \(G\) 的坐標和是 1 或 3
4° 坐標和 1 的點與 \(O\) 相鄰，距離 1；\(\overline{OG}>1\) ⇒ 坐標和 3 ⇒ \(G(1,1,1)\)，\(\overline{OG}=\sqrt3\) 是正立方體中離 \(O\) 最遠的距離
5° 一種走法如圖（紅色箭頭），對角線 \(\overline{OG}\) 最長
5. 【迴歸直線】
某公司統計上週 8 家分店的來店人數 \(x\)（單位：百人）及營業額 \(y\)（單位：萬元），得到 8 筆數據 \((x,y)\)，記錄如下：
\((3,3)\)、\((3,5)\)、\((3,2)\)、\((4,4)\)、\((5,8)\)、\((6,7)\)、\((8,12)\)、\((8,7)\)。
在坐標平面上標出這 8 個點（如圖所示），推得這 8 筆數據 \(y\) 對 \(x\) 的最適直線（迴歸直線）方程式為 \(y=\dfrac{5}{4}x-\dfrac{1}{4}\)。
公司想從另一個角度分析，將這 8 筆數據的來店人數、營業額各自從小到大排序，得到新的 8 筆數據 \((x,y)\) 如下：
\((3,2)\)、\((3,3)\)、\((3,4)\)、\((4,5)\)、\((5,7)\)、\((6,7)\)、\((8,8)\)、\((8,12)\)。
設新的 8 筆數據 \(y\) 對 \(x\) 的最適直線（迴歸直線）方程式為 \(y=mx+b\)，其中 \(m\)、\(b\) 為實數。根據上述，試選出正確的選項。
(1) \(m=\dfrac{5}{4}\) 且 \(b=-\dfrac{1}{4}\)
(2) \(m>\dfrac{5}{4}\) 且 \(b>-\dfrac{1}{4}\)
(3) \(m>\dfrac{5}{4}\) 且 \(b<-\dfrac{1}{4}\)
(4) \(m<\dfrac{5}{4}\) 且 \(b>-\dfrac{1}{4}\)
(5) \(m<\dfrac{5}{4}\) 且 \(b<-\dfrac{1}{4}\)
答：(3)
1° 迴歸直線斜率 \(m=r\cdot\dfrac{\sigma_Y}{\sigma_X}=\dfrac{\sum(x_i-\mu_X)(y_i-\mu_Y)}{\sum(x_i-\mu_X)^2}\)，且過 \((\mu_X,\mu_Y)\)
2° 排序後 \(x\) 的資料、\(y\) 的資料都沒變 ⇒ \(\mu_X=5\)、\(\mu_Y=6\)、\(\sum(x_i-\mu_X)^2=32\) 都不變，只有配對改變
3° \(\sum x_iy_i\)：原本 \(9+15+6+16+40+42+96+56=280\)；新的 \(6+9+12+20+35+42+64+96=284\)
4° \(\sum(x_i-\mu_X)(y_i-\mu_Y)=\sum x_iy_i-8\mu_X\mu_Y\)：原本 \(280-240=40\) ⇒ \(m=\dfrac{40}{32}=\dfrac54\)（驗證）；新的 \(284-240=44\)
5° \(m=\dfrac{44}{32}=\dfrac{11}8>\dfrac54\)
6° 過 \((5,6)\) ⇒ \(b=6-5m=6-\dfrac{55}8=-\dfrac78<-\dfrac14\)
6. 【對數律】
試選出 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5}\log_7\left(\dfrac{2k-1}{2k+1}\right)\) 的值。
(1) \(-\log11\)
(2) \(\log11\)
(3) \(\log\dfrac{11}{7}\)
(4) \(-\dfrac{\log11}{\log7}\)
(5) \(\dfrac{\log11}{\log7}\)
答：(4)
1° \(k=1\sim5\) 逐項寫出：\(\log_7\dfrac13+\log_7\dfrac35+\log_7\dfrac57+\log_7\dfrac79+\log_7\dfrac9{11}\)
2° 相加變相乘，中間全部約掉：\(\log_7\Big(\dfrac13\cdot\dfrac35\cdot\dfrac57\cdot\dfrac79\cdot\dfrac9{11}\Big)=\log_7\dfrac1{11}\)
3° 換底：\(\log_7\dfrac1{11}=-\log_7 11=-\dfrac{\log11}{\log7}\)
二、多選題
7. 【矩陣運算】
設二階方陣 \(A=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}\)。試選出正確的選項。
(1) \(A^2=A\)
(2) \(A+B=B+A\)
(3) \(AB=BA\)
(4) \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\)
(5) \((A+B)^2=2(A+B)\)
答：(1)(2)(5)
1° 橫配直：\(AB=\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}=B\)、\(BA=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}=A\)、\(A^2=A\)、\(B^2=B\)
(1) \(A^2=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}=A\)
(2) 矩陣加法有交換律
(3) \(AB=B\ne A=BA\)
(4) \((A-B)^2=A^2-AB-BA+B^2\)，「\(AB=BA\) 才有乘法公式」；實際 \(-AB-BA=-B-A\ne-2AB=-2B\)
(5) \((A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2=A+B+A+B=2(A+B)\)
8. 【正弦定理、餘弦定理】
平面上有一個三角形 \(ABC\)，其中 \(\angle A=91^\circ\)、\(\angle C=29^\circ\)。令 \(\overline{BC}=a\)、\(\overline{CA}=b\)、\(\overline{AB}=c\)。試選出正確的選項。
(1) \(a^2>b^2+c^2\)
(2) \(\dfrac{c}{a}>\sin29^\circ\)
(3) \(\dfrac{b}{a}>\cos29^\circ\)
(4) \(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{ab}<\sqrt{3}\)
(5) 三角形 \(ABC\) 的外接圓半徑小於 \(c\)
答：(1)(2)
1° \(\angle B=180^\circ-91^\circ-29^\circ=60^\circ\)；正弦定理 \(\dfrac a{\sin A}=\dfrac b{\sin B}=\dfrac c{\sin C}=2R\)
(1) \(\angle A\) 鈍角 ⇒ \(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}<0\) ⇒ \(a^2>b^2+c^2\)
(2) \(\dfrac ca=\dfrac{\sin29^\circ}{\sin91^\circ}\)，\(0<\sin91^\circ<1\) ⇒ \(\dfrac ca>\sin29^\circ\)
(3) 作 \(\overline{BH}\perp\) 直線 \(CA\)：\(\angle A\) 為鈍角 ⇒ 垂足 \(H\) 落在 \(CA\) 延長線上（示意圖）
\(\overline{CH}>\overline{CA}\) ⇒ \(a\cos29^\circ>b\) ⇒ \(\dfrac ba<\cos29^\circ\)
(4) 餘弦定理 \(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{ab}=2\cos C=2\cos29^\circ>2\cos30^\circ=\sqrt3\)
(5) \(c=2R\sin29^\circ<2R\sin30^\circ=R\) ⇒ 外接圓半徑大於 \(c\)
9. 【機率、期望值】
有一個抽牌拿獎金活動，規則如下：
在一個不透明箱子中有 2 張標示金額「1000 元」的牌及 3 張標示金額「0 元」的牌。參加者從箱中隨機抽出一張牌，在不知道抽出牌標示的金額情況下，主持人再將一張標示金額「500 元」的牌放入箱中。此時參加者有以下兩種選擇：
（一）保留原先抽出的牌，該牌標示的金額即為獲得的獎金。
（二）放棄原先抽出的牌且不放回，再從箱中隨機抽出一張牌，該牌標示的金額即為獲得的獎金。
今某甲參加此活動，假設每張牌被抽中的機會均相等，試選出正確的選項。
(1) 若某甲選擇（一），則獲得獎金 0 元的機率為 \(\dfrac{3}{5}\)
(2) 若某甲選擇（一），則獲得獎金的期望值為 500 元
(3) 若某甲選擇（二），則獲得獎金 1000 元的機率為 \(\dfrac{2}{5}\)
(4) 若某甲選擇（二），則獲得獎金 0 元的機率為 \(\dfrac{12}{25}\)
(5) 若某甲選擇（二），則獲得獎金的期望值為 420 元
答：(1)(4)(5)
1° 選擇（一）：獎金就是第一張牌，1000 元機率 \(\dfrac25\)、0 元機率 \(\dfrac35\)
(1) \(P(0\text{ 元})=\dfrac35\)
(2) 期望值 \(=1000\times\dfrac25=400\)（元）\(\ne500\)
2° 選擇（二）：依第一張分類，丟掉第一張後箱中剩 4 張原本的牌加 1 張 500 元，共 5 張
| 第一張 | 機率 | 箱中 1000 元 | 箱中 500 元 | 箱中 0 元 |
|---|---|---|---|---|
| 1000 元 | \(\frac25\) | 1 張 | 1 張 | 3 張 |
| 0 元 | \(\frac35\) | 2 張 | 1 張 | 2 張 |
(3) \(P(1000\text{ 元})=\dfrac25\cdot\dfrac15+\dfrac35\cdot\dfrac25=\dfrac{2+6}{25}=\dfrac8{25}\ne\dfrac25\)
(4) \(P(0\text{ 元})=\dfrac25\cdot\dfrac35+\dfrac35\cdot\dfrac25=\dfrac{12}{25}\)
(5) \(P(500\text{ 元})=\dfrac15=\dfrac5{25}\)
| 獎金 | 1000 | 500 | 0 |
|---|---|---|---|
| 機率 | \(\frac8{25}\) | \(\frac5{25}\) | \(\frac{12}{25}\) |
期望值 \(=1000\times\dfrac8{25}+500\times\dfrac5{25}=320+100=420\)（元）
三、選填題
10. 【複數的運算】
設 \(i=\sqrt{-1}\)。已知複數 \(\dfrac{1-7i}{-1+i}=a+bi\)，其中 \(a\)、\(b\) 為實數。
則 \(a=\) _____，\(b=\) _____。
答：a = −4，b = 3
1° 分母有 \(i\) ⇒ 上下同乘分母的共軛 \(-1-i\)
2° 分子 \((1-7i)(-1-i)=-1-i+7i+7i^2=-8+6i\)；分母 \((-1)^2+1^2=2\)
3° \(\dfrac{-8+6i}2=-4+3i\) ⇒ 實部等於實部、虛部等於虛部 ⇒ \(a=-4\)，\(b=3\)
11. 【計數原理】
某洗衣機的行程必須從一、二、三、四、五共 5 種不同衣料擇一，搭配甲、乙、丙、丁共 4 種不同模式擇一，另有 A、B、C 共 3 種附加功能，每種附加功能可以自由選擇是否開啟，但是「第一種衣料」不可以與附加功能「A」同時使用。例如「第二種衣料」搭配「甲模式」，且同時開啟「A」、「B」兩種附加功能為一個可以的行程；但「第一種衣料」搭配「甲模式」，且同時開啟「A」、「B」兩種附加功能為一個不可以的行程。根據上述，此洗衣機共有 _____ 個可以的行程。
答：144
1° 先隨便選：衣料 5 種 × 模式 4 種 × 附加功能 \(2^3=8\) 種 ⇒ \(5\times4\times8=160\)
2° 不行的：第一種衣料（1 種）× 模式 4 種 × A 開啟、B、C 自由 \(2^2\) ⇒ \(1\times4\times4=16\)
3° \(160-16=144\)
12. 【平面向量內積】
平面上有不共線的三點 \(A\)、\(B\)、\(C\)，已知向量 \(\overrightarrow{AB}\) 與 \(\overrightarrow{AC}\) 的內積為 16，\(\overrightarrow{CB}\) 與 \(\overrightarrow{AC}\) 的內積為 3，則 \(\overline{AC}=\sqrt{\_\_\_\_\_}\)。（化為最簡根式）
答：√13
1° 換出發點：\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\)
2° \(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}\) ⇒ \(3=16-|\overrightarrow{AC}|^2\)
3° \(|\overrightarrow{AC}|^2=13\) ⇒ \(\overline{AC}=\sqrt{13}\)
第貳部分、混合題或非選擇題
13–15 題為題組
設 \(f(x)\) 為實係數三次多項式。已知函數 \(y=f(x)\) 在 \(x=-3\) 處有極小值；在 \(x=1\) 處有極大值。根據上述，試回答下列問題。
13. 【微分的應用】
下列關於 \(f''(-3)\) 和 \(f''(1)\) 的敘述，試選出正確的選項。（單選題，3 分）
(1) \(f''(-3)=f''(1)=0\)
(2) \(f''(-3)>0\) 且 \(f''(1)>0\)
(3) \(f''(-3)>0\) 且 \(f''(1)<0\)
(4) \(f''(-3)<0\) 且 \(f''(1)>0\)
(5) \(f''(-3)<0\) 且 \(f''(1)<0\)
答：(3)
1° \(x=-3\)、\(x=1\) 是極值 ⇒ \(f'(-3)=f'(1)=0\) ⇒ 設 \(f'(x)=k(x+3)(x-1)\)
2° 左邊 \(-3\) 極小（左負右正）、右邊 \(1\) 極大（左正右負）⇒ \(f'\) 在 \(-3<x<1\) 為正、\(x>1\) 為負 ⇒ \(f'\) 開口向下，\(k<0\)
3° \(f''(x)=k(2x+2)\) ⇒ \(f''(-3)=-4k>0\)、\(f''(1)=4k<0\)
4° 看圖：極小在凹口向上處、極大在凹口向下處（示意圖）
14. 【反曲點】
已知通過 \(y=f(x)\) 圖形反曲點的切線斜率為 4，試求 \(f'(x)\)。（非選擇題，6 分）
答：f′(x) = −x² − 2x + 3
1° 由 13 題，\(f'(x)=k(x+3)(x-1)\)，\(f''(x)=k(2x+2)\)
2° 反曲點：\(f''(x)=0\) ⇒ \(x=-1\)（\(f''\) 在 \(-1\) 兩側變號）
3° 反曲點的切線斜率 4 ⇒ \(f'(-1)=k(2)(-2)=-4k=4\) ⇒ \(k=-1\)
4° \(f'(x)=-(x+3)(x-1)=-x^2-2x+3\)
15. 【定積分】
承 14 題，試求 \(\displaystyle\int_{-3}^{1}f'(x)\,dx\) 的值。（非選擇題，4 分）
答：32/3
1° 積分「次方加一、次方除下來」：\(\displaystyle\int_{-3}^{1}(-x^2-2x+3)\,dx=\Big[-\dfrac{x^3}3-x^2+3x\Big]_{-3}^{1}\)
2° \(x=1\)：\(-\dfrac13-1+3=\dfrac53\)；\(x=-3\)：\(9-9-9=-9\)
3° \(\dfrac53-(-9)=\dfrac{32}3\)
4° 看法：由微積分基本定理，所求 \(=f(1)-f(-3)\)，就是極大值與極小值的差
16–18 題為題組
某人想在農地種植甲、乙兩種水果，並設定甲水果的種植面積（甲面積）、乙水果的種植面積（乙面積）符合以下三個條件：
（一）甲面積不超過 15 公畝。
（二）甲面積與乙面積的和不超過 24 公畝。
（三）甲面積不超過乙面積的 3 倍，且乙面積不超過甲面積的 2 倍。
設甲面積為 \(x\) 公畝、乙面積為 \(y\) 公畝。根據上述，試回答下列問題。
16. 【二元一次不等式】
試問下列哪一個選項的數對 \((x,y)\) 會滿足上述的三個條件？（單選題，3 分）
(1) \((7,15)\)
(2) \((12,13)\)
(3) \((14,10)\)
(4) \((15,4)\)
(5) \((16,8)\)
答：(3)
1° 條件：\(x\le15\)、\(x+y\le24\)、\(x\le3y\)、\(y\le2x\)，逐一代入
(1) \(y\le2x\)：\(15\le14\) 不成立
(2) \(x+y=25>24\)
(3) \(14\le15\)、\(24\le24\)、\(14\le30\)、\(10\le28\) 全部成立
(4) \(x\le3y\)：\(15\le12\) 不成立
(5) \(x=16>15\)
17. 【二元一次聯立不等式】
試將某人對甲面積、乙面積所設定的三個條件，以 \(x\)、\(y\) 的二元一次聯立不等式表示。（非選擇題，4 分）
答：x ≤ 15，x + y ≤ 24，x ≤ 3y，y ≤ 2x，x ≥ 0，y ≥ 0
1° 一個條件對應一條式子：
（一）\(x\le15\)
（二）\(x+y\le24\)
（三）\(x\le3y\) 且 \(y\le2x\)
2° 面積不能是負的：\(x\ge0\)、\(y\ge0\)
18. 【線性規劃】
已知某人的農地收成時，甲水果每公畝可獲利 6 萬元、乙水果每公畝可獲利 7 萬元。試求某人種植甲、乙兩種水果的最大獲利為多少萬元？在答題卷求解區寫出計算過程，並在答題卷作圖區畫出可行解區域及標出其所有頂點坐標，且以斜線標示該區域。（非選擇題，8 分）
答：160 萬元
1° 目標函數：獲利 \(P=6x+7y\)（萬元）
2° 頂點：邊界線兩兩聯立
\(y=2x\) 與 \(x+y=24\) ⇒ \(3x=24\) ⇒ \((8,16)\)
\(x+y=24\) 與 \(x=15\) ⇒ \((15,9)\)
\(x=15\) 與 \(x=3y\) ⇒ \((15,5)\)
\(x=3y\) 與 \(y=2x\) ⇒ \((0,0)\)
3° 可行解區域（斜線部分）與頂點如圖
4° 頂點逐一代入 \(6x+7y\)：
| 頂點 | \((0,0)\) | \((15,5)\) | \((15,9)\) | \((8,16)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(6x+7y\) | 0 | 125 | 153 | 160 |
5° 甲 8 公畝、乙 16 公畝時，最大獲利 160 萬元（虛線 \(6x+7y=160\)）
114 分科數乙五標
- 頂標：52
- 前標：44
- 均標：30
- 後標：18
- 底標：12