巫老師幫同學整理了一份 114 學測數 A 詳解，附上大考中心頒布的 114 學測數A試題。
114 學測數學A詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| (5) | (2) | (4) | (3) | (1) | (3) |
| 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| (2)(4) | (3)(5) | (2)(4)(5) | (1)(4)(5) | (3)(4)(5) | (1)(3)(4)(5) |
| 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
|---|---|---|---|---|
| \((-6,3)\) | \(-11\) | 405 | \(\frac{24}{5}\) | \(3+\sqrt2\) |
| 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|
| (2) | \(Q(-\sqrt2,0)\)，夾角 \(60^\circ\) | \(\angle OSP=60^\circ\)，\(S\big(-\frac{\sqrt3}{3},1\big)\) |
一、單選題
1. 【獨立事件】
不透明袋中有藍、綠色球各若干顆，且球上皆有 \(1\) 或 \(2\) 的編號，其顆數如下表，例如標有 \(1\) 號的藍色球有 \(2\) 顆。
| 藍 | 綠 | |
|---|---|---|
| \(1\) 號 | \(2\) | \(4\) |
| \(2\) 號 | \(3\) | \(k\) |
從此袋中隨機抽取一球（每顆球被抽到的機率相等），若已知抽到藍色球的事件與抽到 \(1\) 號球的事件互相獨立，試問 \(k\) 值為何？
(1) \(2\)
(2) \(3\)
(3) \(4\)
(4) \(5\)
(5) \(6\)
答：(5)
1° 藍色與 1 號獨立 \(\Rightarrow\) 表格兩列成比例
2° \(2:3=4:k\) \(\Rightarrow\) \(k=6\)
2. 【直線】
坐標平面上，\(P(a,0)\) 為 \(x\) 軸上一點，其中 \(a>0\)。令 \(L_1\)、\(L_2\) 為通過 \(P\) 點，斜率分別為 \(-\dfrac{4}{3}\)、\(-\dfrac{3}{2}\) 的直線。已知 \(L_1\)、\(L_2\) 分別與兩坐標軸圍成的兩個直角三角形的面積差為 \(3\)，試問 \(a\) 值為何？
(1) \(3\sqrt{2}\)
(2) \(6\)
(3) \(6\sqrt{2}\)
(4) \(9\)
(5) \(8\sqrt{2}\)
答：(2)
1° 兩線都過 \((a,0)\)，寫成 \(y=m(x-a)\)，令 \(x=0\) 得 \(y\) 截距
2° \(L_1\)：\(y=-\dfrac43(x-a)\) \(\Rightarrow\) \(y\) 截距 \(\dfrac43a\)；\(L_2\)：\(y=-\dfrac32(x-a)\) \(\Rightarrow\) \(y\) 截距 \(\dfrac32a\)
3° 面積差：\(\dfrac12\cdot a\cdot\dfrac32a-\dfrac12\cdot a\cdot\dfrac43a=\dfrac{a^2}{12}=3\) \(\Rightarrow\) \(a^2=36\) \(\Rightarrow\) \(a=6\)（\(a>0\)）
3. 【排列組合】
某校舉辦音樂會，包含鋼琴表演 \(5\) 個、小提琴表演 \(4\) 個、歌唱表演 \(3\) 個等三類表演共 \(12\) 個不同曲目。該校想將同類表演排在一起，且歌唱必須排在鋼琴之後或是小提琴之後。試問這場音樂會可能的曲目排列方式共有幾種？
(1) \(5!\times4!\times3!\)
(2) \(2\times5!\times4!\times3!\)
(3) \(3\times5!\times4!\times3!\)
(4) \(4\times5!\times4!\times3!\)
(5) \(6\times5!\times4!\times3!\)
答：(4)
1° 同類綁一起，先排類別順序：歌唱在鋼琴之後或小提琴之後
2° 合法情形：鋼小歌、小鋼歌、小歌鋼、鋼歌小，共 4 種（扣掉歌鋼小、歌小鋼）
3° 再乘各類內部排列 \(\Rightarrow\) \(4\times5!\times4!\times3!\)
4. 【對數函數】
坐標平面上，\(x\) 坐標與 \(y\) 坐標均為整數的點稱為格子點。試問在函數圖形 \(y=\log_2 x\)、\(x\) 軸與直線 \(x=\dfrac{61}{2}\) 所圍有界區域的內部（不含邊界）共有多少個格子點？
(1) \(88\)
(2) \(89\)
(3) \(90\)
(4) \(91\)
(5) \(92\)
答：(3)
1° 內部格子點 \(y\ge1\)；依 \(y=k\) 討論：要 \(x>2^k\)（在 \(y=\log_2x\) 右下方）且 \(x<\dfrac{61}2\)，即 \(x\le30\)
2° \(y=1\)：\(x=3\)～\(30\)，28 個；\(y=2\)：\(x=5\)～\(30\)，26 個
3° \(y=3\)：\(x=9\)～\(30\)，22 個；\(y=4\)：\(x=17\)～\(30\)，14 個
4° \(y=5\)：\(2^5=32>30\)，沒有
5° \(28+26+22+14=90\)
5. 【三角函數】
設 \(0\le\theta\le2\pi\)。已知所有滿足 \(\sin2\theta>\sin\theta\) 且 \(\cos2\theta>\cos\theta\) 的 \(\theta\) 可表為 \(a\pi<\theta<b\pi\)，其中 \(a,b\) 為實數，試問 \(b-a\) 值為何？
(1) \(\dfrac{1}{3}\)
(2) \(\dfrac{1}{2}\)
(3) \(\dfrac{2}{3}\)
(4) \(\dfrac{3}{4}\)
(5) \(1\)
答：(1)
1° \(\sin2\theta>\sin\theta\) \(\Rightarrow\) \(\sin\theta(2\cos\theta-1)>0\)，分同正、同負：
同正：\(\sin\theta>0\) 且 \(\cos\theta>\dfrac12\) \(\Rightarrow\) \(0<\theta<\dfrac\pi3\)
同負：\(\sin\theta<0\) 且 \(\cos\theta<\dfrac12\) \(\Rightarrow\) \(\pi<\theta<\dfrac{5\pi}3\)
2° \(\cos2\theta>\cos\theta\) \(\Rightarrow\) \(2\cos^2\theta-\cos\theta-1>0\) \(\Rightarrow\) \((2\cos\theta+1)(\cos\theta-1)>0\)
3° \(\cos\theta\le1\) \(\Rightarrow\) \(\cos\theta<-\dfrac12\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{2\pi}3<\theta<\dfrac{4\pi}3\)
4° 取交集：\(\pi<\theta<\dfrac{4\pi}3\) \(\Rightarrow\) \(b-a=\dfrac43-1=\dfrac13\)
6. 【空間向量】
坐標空間中有三個彼此互相垂直之向量 \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{w}\)。已知 \(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(2,-1,0)\)，且 \(\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}=(-1,2,3)\)。試問由 \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{w}\) 所張出的平行六面體之體積為何？
(1) \(2\sqrt{5}\)
(2) \(5\sqrt{2}\)
(3) \(2\sqrt{10}\)
(4) \(4\sqrt{5}\)
(5) \(4\sqrt{10}\)
答：(3)
1° 兩兩垂直 \(\Rightarrow\) \(\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec w=\vec u\cdot\vec w=0\)
2° \((\vec u-\vec v)\cdot(\vec v-\vec w)=\vec u\cdot\vec v-\vec u\cdot\vec w-|\vec v|^2+\vec v\cdot\vec w=-|\vec v|^2\)
3° \((2,-1,0)\cdot(-1,2,3)=-2-2=-4\) \(\Rightarrow\) \(|\vec v|^2=4\) \(\Rightarrow\) \(|\vec v|=2\)
4° 畢氏：\(|\vec u-\vec v|^2=|\vec u|^2+|\vec v|^2=5\) \(\Rightarrow\) \(|\vec u|=1\)
5° \(|\vec v-\vec w|^2=|\vec v|^2+|\vec w|^2=14\) \(\Rightarrow\) \(|\vec w|=\sqrt{10}\)
6° 兩兩垂直 \(\Rightarrow\) 長方體，體積 \(=|\vec u||\vec v||\vec w|=1\times2\times\sqrt{10}=2\sqrt{10}\)
二、多選題
7. 【數列】
已知數列 \(\langle a_n\rangle\) 滿足 \(3a_{n+1}=a_n+n\)（對任意正整數 \(n\) 都成立）且 \(a_1=2\)。令數列 \(\langle b_n\rangle\) 滿足 \(b_n=a_n-\dfrac{n}{2}+\dfrac{3}{4}\)。試選出正確的選項。
(1) \(a_2=2\)
(2) \(b_2=\dfrac{3}{4}\)
(3) 數列 \(\langle b_n\rangle\) 是公比為 \(\dfrac{2}{3}\) 的等比數列
(4) 對於任意正整數 \(n\)，\(3^n a_n\) 皆為正整數
(5) \(b_{10}<10^{-4}\)
答：(2)(4)
1° 前幾項直接代：\(3a_2=a_1+1=3\) \(\Rightarrow\) \(a_2=1\)
2° \(b_1=2-\dfrac12+\dfrac34=\dfrac94\)、\(b_2=1-1+\dfrac34=\dfrac34\)
(1) \(a_2=1\ne2\)
(2) \(b_2=\dfrac34\)
(3) \(\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac13\)，公比是 \(\dfrac13\) 不是 \(\dfrac23\)（\(b_{n+1}=\dfrac{a_n+n}3-\dfrac{n+1}2+\dfrac34=\dfrac13\Big(a_n-\dfrac n2+\dfrac34\Big)=\dfrac13b_n\)）
(4) 遞迴式兩邊乘 \(3^n\)：\(3^{n+1}a_{n+1}=3^na_n+n\cdot3^n\)；\(3a_1=6\) 是正整數，一路推下去都是正整數
(5) \(b_{10}=b_1\Big(\dfrac13\Big)^9=\dfrac94\cdot\dfrac1{3^9}=\dfrac1{4\cdot3^7}=\dfrac1{8748}>\dfrac1{10000}=10^{-4}\)
8. 【指數、圓】
考慮坐標平面上滿足方程式 \(\dfrac{2^{x^2}}{8}=\dfrac{4^x}{2^{y^2}}\) 的點 \(P(x,y)\)，試選出正確的選項。
(1) 當 \(x=3\) 時，滿足此方程式的解有相異 \(2\) 個
(2) 若點 \((a,b)\) 滿足此方程式，則點 \((-a,-b)\) 也滿足此方程式
(3) 所有可能的點 \(P(x,y)\) 構成的圖形為一個圓
(4) 點 \(P(x,y)\) 可能在直線 \(x+y=4\) 上
(5) 對於所有可能的點 \(P(x,y)\)，其 \(x-y\) 的最大值為 \(1+2\sqrt{2}\)
答：(3)(5)
1° 全部換成底數 2：\(2^{x^2-3}=2^{2x-y^2}\) \(\Rightarrow\) \(x^2-3=2x-y^2\)
2° 配方：\((x-1)^2+y^2=4\)，圓心 \((1,0)\)、半徑 \(2\)
(1) \(x=3\)：\(4+y^2=4\) \(\Rightarrow\) \(y=0\)，只有 1 個
(2) 反例：\((3,0)\) 在圓上，\((-3,0)\)：\(16+0\ne4\)
(3) 由 2°，是一個圓
(4) 圓心到 \(x+y=4\) 的距離 \(\dfrac{|1+0-4|}{\sqrt2}=\dfrac3{\sqrt2}\approx2.12>2\)，沒有交點
(5) \(x-y=k\) 與圓相切：\(\dfrac{|1-k|}{\sqrt2}=2\) \(\Rightarrow\) \(k=1\pm2\sqrt2\) \(\Rightarrow\) 最大值 \(1+2\sqrt2\)
9. 【二次方程式】
設 \(b\)、\(c\) 為實數。已知二次方程式 \(x^2+bx+c=0\) 有實根，但二次方程式 \(x^2+(b+2)x+c=0\) 沒有實根。試選出正確的選項。
(1) \(c<0\)
(2) \(b<0\)
(3) \(x^2+(b+1)x+c=0\) 有實根
(4) \(x^2+(b+2)x-c=0\) 有實根
(5) \(x^2+(b-2)x+c=0\) 有實根
答：(2)(4)(5)
1° 有實根 \(\Rightarrow\) \(b^2-4c\ge0\)；沒實根 \(\Rightarrow\) \((b+2)^2-4c<0\)
2° \((b+2)^2<4c\le b^2\) \(\Rightarrow\) \(4b+4<0\) \(\Rightarrow\) \(b<-1\)；又 \(4c>(b+2)^2\ge0\) \(\Rightarrow\) \(c>0\)
(1) 由 2°，\(c>0\)
(2) 由 2°，\(b<-1<0\)
(3) \((b+1)^2-4c\) 不一定：\(b=-3\)、\(c=\dfrac12\) 符合條件，\(4-2>0\) 有實根；\(b=-3\)、\(c=2\) 也符合，\(4-8<0\) 沒實根
(4) \((b+2)^2+4c>0\)（\(c>0\)）
(5) \((b-2)^2-4c=(b^2-4c)+(4-4b)>0\)（\(b^2-4c\ge0\)、\(b<0\)）
10. 【三角函數圖形】
令 \(\Gamma\) 為坐標平面上 \(y=\sin\pi x\) 在 \(0\le x\le3\) 內之函數圖形。一水平直線 \(L:y=k\) 與 \(\Gamma\) 相交，其中三交點 \(P(x_1,k)\), \(Q(x_2,k)\), \(R(x_3,k)\) 滿足 \(x_1<x_2<1<x_3\)。試選出正確的選項。
(1) \(k>0\)
(2) \(L\) 與 \(\Gamma\) 恰有 \(3\) 個交點
(3) \(x_1+x_2<1\)
(4) 若 \(2\overline{PQ}=\overline{QR}\)，則 \(k=\dfrac{1}{2}\)
(5) \(L\) 與 \(\Gamma\) 所有交點的 \(x\) 坐標之和大於 \(5\)
答：(1)(4)(5)
1° \(y=\sin\pi x\) 週期 \(\dfrac{2\pi}\pi=2\)；\(0<x<1\) 在 \(x\) 軸上方、\(1<x<2\) 在下方、\(2<x<3\) 又在上方
2° 同一個波內的兩交點對稱於波峰 \(x=\dfrac12\) \(\Rightarrow\) \(x_1+x_2=1\)；下一個波對稱於 \(x=\dfrac52\)
(1) \(x_1,x_2\) 在 \((0,1)\)，那一段 \(\sin\pi x>0\) \(\Rightarrow\) \(k>0\)
(2) \(0<k<1\)：\([0,1]\)、\([2,3]\) 各交 2 點，共 4 點
(3) 由 2°，\(x_1+x_2=1\)
(4) \(x_3=x_1+2\)（差一個週期）\(\Rightarrow\) \(\overline{PQ}+\overline{QR}=2\)，配 \(2\overline{PQ}=\overline{QR}\) \(\Rightarrow\) \(\overline{PQ}=\dfrac23\)；\(x_1+x_2=1\)、\(x_2-x_1=\dfrac23\) \(\Rightarrow\) \(x_1=\dfrac16\) \(\Rightarrow\) \(k=\sin\dfrac\pi6=\dfrac12\)
(5) 四個交點：\(x_1+x_2=1\)、另兩點和 \(=2\times\dfrac52=5\) \(\Rightarrow\) 共 \(6>5\)
11. 【平面向量】
在 \(\triangle ABC\) 中，\(\overline{AB}=6\), \(\overline{AC}=5\), \(\overline{BC}=4\)。令 \(\overline{AB}\) 中點為 \(D\)，\(P\) 為 \(\angle ABC\) 之角平分線與 \(\overline{CD}\) 之交點，如圖所示。試選出正確的選項。
(1) \(\overline{CP}=\dfrac{3}{7}\overline{CD}\)
(2) \(\overrightarrow{AP}=\dfrac{3}{7}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{7}\overrightarrow{AC}\)
(3) \(\cos\angle BAC=\dfrac{3}{4}\)
(4) \(\triangle ACP\) 面積為 \(\dfrac{15}{14}\sqrt{7}\)
(5) （內積）\(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{120}{7}\)
答：(3)(4)(5)
1° 角平分線分對邊成鄰邊比：\(\overline{CP}:\overline{PD}=\overline{BC}:\overline{BD}=4:3\)
2° 分點公式比例交叉放：\(\overrightarrow{AP}=\dfrac37\overrightarrow{AC}+\dfrac47\overrightarrow{AD}\)，\(\overrightarrow{AD}=\dfrac12\overrightarrow{AB}\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AP}=\dfrac27\overrightarrow{AB}+\dfrac37\overrightarrow{AC}\)
(1) \(\overrightarrow{CP}=\dfrac47\overrightarrow{CD}\)
(2) 由 2°，係數對調了
(3) \(\cos\angle BAC=\dfrac{6^2+5^2-4^2}{2\cdot6\cdot5}=\dfrac{45}{60}=\dfrac34\)
(4) \(\sin A=\dfrac{\sqrt7}4\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ABC=\dfrac12\cdot6\cdot5\cdot\dfrac{\sqrt7}4=\dfrac{15\sqrt7}4\)；\(\triangle ACD=\dfrac12\triangle ABC\)、\(\triangle ACP=\dfrac47\triangle ACD\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{15\sqrt7}4\cdot\dfrac12\cdot\dfrac47=\dfrac{15}{14}\sqrt7\)
(5) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\cdot5\cdot\dfrac34=\dfrac{45}2\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac27\cdot\dfrac{45}2+\dfrac37\cdot25=\dfrac{45+75}7=\dfrac{120}7\)
12. 【數據分析】
某種合金由甲和乙兩種金屬組成，某生想知道其中金屬比例與合金的波長關係。他做實驗測量「甲占比為 \(x\%\) 的合金所對應的波長 \(y\)（單位：奈米）」，並將得到的 \(20\) 筆數據 \((x_k,y_k)\)，\(k=1,\cdots,20\)，在 \(xy\) 平面上標出對應的點，其迴歸直線（最適直線）為 \(y=21.3x-40\)。
為符合投稿規範，須將報告描述為「乙占比為 \(u\%\) 的合金所對應的波長 \(v\)（單位：微米）」，他將數據 \((x_k,y_k)\) 轉換為 \((u_k,v_k)\)，\(k=1,\cdots,20\)，得到在 \(uv\) 平面的迴歸直線為 \(v=au+b\)。
已知 \(1\) 奈米 \(=10^{-9}\) 公尺，\(1\) 微米 \(=10^{-6}\) 公尺。試選出正確的選項。
(1) \(u_k=100-x_k\)，\(k=1,\cdots,20\)
(2) \(v_k=1000y_k\)，\(k=1,\cdots,20\)
(3) \(u_1,u_2,u_3,\ldots,u_{20}\) 的標準差等於 \(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{20}\) 的標準差
(4) \(b=2.09\)
(5) 某生發現有另一筆數據 \((u_{21},v_{21})\)，且滿足 \(v_{21}=au_{21}+b\)；若將這 \(21\) 筆數據 \((u_k,v_k)\)，\(k=1,\cdots,21\)，在 \(uv\) 平面上標出對應的點，則其迴歸直線仍為 \(v=au+b\)
答：(1)(3)(4)(5)
1° 單位換算：1 奈米 \(=10^{-9}\) 公尺 \(=10^{-3}\) 微米 \(\Rightarrow\) \(v=\dfrac{y}{1000}\)；乙占比 \(u=100-x\)
(1) 甲、乙兩種組成 \(\Rightarrow\) \(u_k=100-x_k\)
(2) \(v_k=\dfrac{y_k}{1000}\)，不是乘 1000
(3) \(u=-x+100\)，標準差只乘倍數的絕對值：\(\sigma_u=|-1|\sigma_x=\sigma_x\)
(4) 線性變換後迴歸直線跟著換：\(v=\dfrac{21.3(100-u)-40}{1000}=2.09-0.0213u\) \(\Rightarrow\) \(b=2.09\)
(5) 在迴歸直線上新增一點，新的迴歸直線和原本相同
三、選填題
13. 【三次函數】
已知實係數三次多項式 \(f(x)\) 除以 \(x+6\) 得商式 \(q(x)\) 和餘式 \(3\)。若 \(q(x)\) 在 \(x=-6\) 有最大值 \(8\)，則 \(y=f(x)\) 圖形的對稱中心坐標為 \((\_\_\_\_\_,\_\_\_\_\_)\)。
答：(−6, 3)
1° 列式：\(f(x)=(x+6)q(x)+3\)
2° \(q(x)\) 在 \(x=-6\) 有最大值 8 \(\Rightarrow\) \(q(x)=a(x+6)^2+8\)（\(a<0\)）
3° \(f(x)=a(x+6)^3+8(x+6)+3\)，已是標準式 \(\Rightarrow\) 對稱中心 \((-6,3)\)
14. 【空間平面】
坐標空間中，已知點 \(A\) 的坐標為 \((a,b,c)\)，其中 \(a,b,c\) 皆為小於 \(0\) 的實數，且知點 \(A\) 與三平面 \(E_1:4y+3z=2\)、\(E_2:3y+4z=-5\)、\(E_3:x+2y+2z=-2\) 的距離都是 \(6\)，則 \(a+b+c=\_\_\_\_\_\)。
答：−11
1° \(a,b,c<0\) 判斷絕對值內的正負，直接去掉絕對值
2° \(E_1\)：\(\dfrac{|4b+3c-2|}5=6\)，\(4b+3c-2<0\) \(\Rightarrow\) \(4b+3c=-28\)
3° \(E_2\)：\(\dfrac{|3b+4c+5|}5=6\) \(\Rightarrow\) \(3b+4c+5=\pm30\)；\(3b+4c=25\) 不合（\(b,c<0\)）\(\Rightarrow\) \(3b+4c=-35\)
4° 2°、3° 相加：\(7(b+c)=-63\) \(\Rightarrow\) \(b+c=-9\)
5° \(E_3\)：\(\dfrac{|a+2(b+c)+2|}3=6\) \(\Rightarrow\) \(|a-16|=18\) \(\Rightarrow\) \(a=34\)（不合）或 \(a=-2\)
6° \(a+b+c=-2-9=-11\)
15. 【期望值】
假日市集有個攤位推出「試試手氣，定價 \(480\) 元的可愛玩偶最低只要 \(240\) 元」。規則為：顧客投擲一枚均勻硬幣至多 \(5\) 次，前 \(3\) 次連續擲得 \(3\) 個正面者則只能以 \(240\) 元購得一個玩偶，擲到第 \(4\) 次才累積得 \(3\) 個正面者則只能以 \(320\) 元購得一個，擲到第 \(5\) 次才累積得 \(3\) 個正面者則只能以 \(400\) 元購得一個；\(5\) 次投完仍未累積 \(3\) 個正面者則只能以 \(480\) 元購得一個。參與此遊戲的顧客購得一個玩偶所花金額的期望值為 \(\_\_\_\_\_\) 元。
答：405
1° 第 \(n\) 次剛好累積第 3 個正面 \(\Rightarrow\) 前 \(n-1\) 次恰 2 正、第 \(n\) 次正
2° 第 3 次：\(\Big(\dfrac12\Big)^3=\dfrac18\)；第 4 次：\(\dfrac{C^3_2}{2^4}=\dfrac3{16}\)；第 5 次：\(\dfrac{C^4_2}{2^5}=\dfrac3{16}\)
3° 剩下 \(=1-\dfrac18-\dfrac3{16}-\dfrac3{16}=\dfrac12\)
4° 列表：
| 金額 | 240 | 320 | 400 | 480 |
|---|---|---|---|---|
| 機率 | \(\frac18\) | \(\frac3{16}\) | \(\frac3{16}\) | \(\frac12\) |
5° 期望值 \(=30+60+75+240=405\) 元
16. 【直線與圓】
坐標平面上，設 \(L_1\)、\(L_2\) 為通過點 \((3,1)\) 且斜率分別為 \(m\)、\(-m\) 的兩條直線，其中 \(m\) 為一實數。另設 \(\Gamma\) 為圓心在原點的一個圓。已知 \(\Gamma\) 與 \(L_1\) 交於相異兩點 \(A\)、\(B\)，且知圓心到 \(L_1\) 的距離為 \(1\)，又 \(\Gamma\) 與 \(L_2\) 相切，則弦 \(\overline{AB}\) 的長度為 \(\dfrac{\_\_\_}{\_\_\_}\)。（化為最簡分數）
答：24/5
1° \(L_1\)：\(y-1=m(x-3)\) \(\Rightarrow\) \(mx-y+1-3m=0\)；圓心到 \(L_1\) 距離 \(=1\)：\(\dfrac{|1-3m|}{\sqrt{m^2+1}}=1\)
2° 平方：\(9m^2-6m+1=m^2+1\) \(\Rightarrow\) \(8m^2-6m=0\) \(\Rightarrow\) \(m=0\) 或 \(\dfrac34\)
3° \(m=0\) 時 \(L_1\)、\(L_2\) 重合，和「交兩點又相切」矛盾，不合 \(\Rightarrow\) \(m=\dfrac34\)
4° \(L_2\)：\(y-1=-\dfrac34(x-3)\) \(\Rightarrow\) \(3x+4y-13=0\)；圓心到 \(L_2\) 的距離就是半徑 \(r=\dfrac{13}5\)
5° 弦長 \(=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{\dfrac{169}{25}-1}=2\cdot\dfrac{12}5=\dfrac{24}5\)
17. 【正弦定理、餘弦定理】
\(\triangle ABC\) 中，已知 \(\overline{AB}=\overline{BC}=3\)，\(\cos\angle ABC=-\dfrac{1}{8}\)。在 \(\triangle ABC\) 的外接圓上有一點 \(D\) 滿足 \(\overline{BD}=4\)，且 \(\overline{AD}\le\overline{CD}\)，則 \(\overline{CD}=\_\_\_+\sqrt{\_\_\_}\)。（化為最簡根式）
答：3 + √2
1° 餘弦定理：\(\overline{AC}^2=3^2+3^2-2\cdot3\cdot3\cdot\Big(-\dfrac18\Big)=\dfrac{81}4\) \(\Rightarrow\) \(\overline{AC}=\dfrac92\)
2° 正弦定理：\(\sin B=\sqrt{1-\dfrac1{64}}=\dfrac{3\sqrt7}8\) \(\Rightarrow\) \(2R=\dfrac{9/2}{3\sqrt7/8}=\dfrac{12}{\sqrt7}\)
3° \(\triangle BDC\) 同一個外接圓：\(\dfrac{\overline{BD}}{\sin\angle DCB}=2R\) \(\Rightarrow\) \(\sin\angle DCB=\dfrac{4\sqrt7}{12}=\dfrac{\sqrt7}3\)
4° \(\overline{AD}\le\overline{CD}\) \(\Rightarrow\) \(D\) 和 \(A\) 在 \(BO\) 同側（如圖），\(\angle DCB\) 為銳角 \(\Rightarrow\) \(\cos\angle DCB=\dfrac{\sqrt2}3\)
5° 設 \(\overline{CD}=y\)，餘弦定理：\(16=9+y^2-2\cdot3\cdot y\cdot\dfrac{\sqrt2}3\) \(\Rightarrow\) \(y^2-2\sqrt2y-7=0\)
6° \(y=\sqrt2\pm3\)，刪負根 \(\Rightarrow\) \(\overline{CD}=3+\sqrt2\)（另一點 \(D'\) 對稱於 \(BO\)，\(\overline{CD'}=3-\sqrt2<\overline{AD'}\)，不合）
第貳部分、混合題或非選擇題
18–20 題為題組
已知 \(A=\begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix}\)、\(B=\begin{bmatrix}b_1&b_2\\b_3&b_4\end{bmatrix}\) 皆為坐標平面上以原點 \(O\) 為中心，逆時針旋轉一銳角的旋轉矩陣，且滿足 \(A^2=B^3=\begin{bmatrix}0&c\\1&d\end{bmatrix}\)，其中 \(c,d\) 為實數。
設點 \(P(1,1)\) 經 \(A^3\) 變換後為點 \(Q\)，且點 \(Q\) 經 \(B^4\) 變換後為點 \(R\)。根據上述，試回答下列問題。
18. 【矩陣】
試問 \(c\) 之值為何？（單選題，3 分）
(1) \(0\)
(2) \(-1\)
(3) \(1\)
(4) \(-\dfrac{1}{2}\)
(5) \(\dfrac{1}{2}\)
答：(2)
1° 旋轉 \(\theta\) 的矩陣 \(\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\)；\(A^2=B^3\) 也是旋轉矩陣
2° \(\begin{bmatrix}0&c\\1&d\end{bmatrix}\)：\(\cos\theta=0\)、\(\sin\theta=1\) \(\Rightarrow\) 旋轉 \(90^\circ\) \(\Rightarrow\) \(c=-1\)（\(d=0\)）
19. 【矩陣】
試求點 \(Q\) 的坐標，以及 \(\overrightarrow{OR}\) 與向量 \((1,0)\) 的夾角。（非選擇題，6 分）
答：Q(−√2, 0)，60°
1° \(A\) 轉銳角 \(\alpha\)，\(A^2\) 轉 \(2\alpha=90^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\alpha=45^\circ\) \(\Rightarrow\) \(A^3\) 轉 \(135^\circ\)
2° \(B\) 轉銳角 \(\beta\)，\(B^3\) 轉 \(3\beta=90^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\beta=30^\circ\) \(\Rightarrow\) \(B^4\) 轉 \(120^\circ\)
3° \(P(1,1)\) 長 \(\sqrt2\)、角度 \(45^\circ\)；轉 \(135^\circ\) 到 \(180^\circ\) \(\Rightarrow\) \(Q(-\sqrt2,0)\)
4° 再轉 \(120^\circ\)：\(R\) 的角度 \(300^\circ\) \(\Rightarrow\) \(R\Big(\dfrac{\sqrt2}2,-\dfrac{\sqrt6}2\Big)\)
5° \(\overrightarrow{OR}\) 與 \((1,0)\) 的夾角 \(=360^\circ-300^\circ=60^\circ\)
20. 【直線、矩陣】
設 \(L\) 為過點 \(P\) 且與直線 \(OQ\) 平行的直線，點 \(S\) 為 \(L\) 和直線 \(OR\) 的交點，試求 \(\angle OSP\)，並求點 \(S\) 的坐標。（非選擇題，6 分）
答：60°，S(−√3/3, 1)
1° \(\overrightarrow{OQ}\) 在 \(x\) 軸上 \(\Rightarrow\) \(L\)：過 \(P(1,1)\) 的水平線 \(y=1\)
2° \(\overleftrightarrow{OR}\) 過原點、斜角 \(300^\circ\) \(\Rightarrow\) 斜率 \(\tan300^\circ=-\sqrt3\) \(\Rightarrow\) \(y=-\sqrt3x\)
3° 夾角：\(\tan\theta=\Big|\dfrac{0-(-\sqrt3)}{1+0}\Big|=\sqrt3\) \(\Rightarrow\) \(60^\circ\) 或 \(120^\circ\)；由圖 \(\angle OSP\) 是銳角 \(\Rightarrow\) \(\angle OSP=60^\circ\)
4° 交點：\(y=1\) 代入 \(y=-\sqrt3x\) \(\Rightarrow\) \(x=-\dfrac1{\sqrt3}=-\dfrac{\sqrt3}3\) \(\Rightarrow\) \(S\Big(-\dfrac{\sqrt3}3,1\Big)\)
114學測數A五標
- 頂標：11
- 前標：9
- 均標：6
- 後標：4
- 底標：3