114 學測數學B 詳解試題分析

114 學測數學B詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。

1	2	3	4	5	6	7
(3)	(4)	(3)	(4)	(1)	(2)	(4)

8	9	10	11	12
(1)(5)	(2)(3)(4)	(1)(2)(5)	(1)(3)(4)	(1)(2)

13	14	15	16	17
0.51	\(\frac{5}{6}\)	36	\(\frac{\sqrt6}{2}\)	13

18	19	20
(3)	\(a=8\)，\(b=\frac{\pi}{12}\)	\(3\le t\le4\) 或 \(8\le t\le9\)

一、單選題

1. 【絕對值】

答：(3)

1° 設 \(P(x)\) \(\Rightarrow\) \(|x-1|+|x-4|=4\)，以 \(1\)、\(4\) 分三段去絕對值

2° \(x\ge4\)：\((x-1)+(x-4)=4\) \(\Rightarrow\) \(x=\dfrac92\)，在此段

3° \(1\le x<4\)：\((x-1)-(x-4)=4\) \(\Rightarrow\) \(3=4\)，無解

4° \(x<1\)：\(-(x-1)-(x-4)=4\) \(\Rightarrow\) \(x=\dfrac12\)，在此段

5° 共 2 個

2. 【矩陣】

答：(4)

1° 設 \(A=[\,c_1\ \ c_2\,]\)（\(c_1\)、\(c_2\) 為兩行）\(\Rightarrow\) \(A\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}=[\,c_1-c_2\ \ c_2\,]\)

2° 對照結果：\(c_2=\begin{bmatrix}-6\\1\\5\end{bmatrix}\)，\(c_1-c_2=\begin{bmatrix}4\\-2\\3\end{bmatrix}\) \(\Rightarrow\) \(c_1=\begin{bmatrix}-2\\-1\\8\end{bmatrix}\)

3° \(A\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=c_1\) \(\Rightarrow\) \(a+b+c=-2-1+8=5\)

3. 【對數】

答：(3)

1° 取 log 寫範圍：\(\log\dfrac12<\log a<\log1\) \(\Rightarrow\) \(-0.301<\log a<0\)；\(0<\log b<0.301\)

(2) \(-0.301<\log a<0\)

(3) \(\log a^2=2\log a\) \(\Rightarrow\) \(-0.602<\log a^2<0\)，且 \(\log a^2=2\log a<\log a\)

(4) \(0<\log b<0.301\)

(5) \(\dfrac1{\log b}>\dfrac1{0.301}>3\)

2° 只有 (2)(3) 是負的，\(\log a^2<\log a\) \(\Rightarrow\) 最小是 \(\log a^2\)

4. 【機率】

答：(4)

1° 先決定分母：\(4^4=256\)

2° 恰三種款式 \(\Rightarrow\) 一種重複兩次：選哪一種重複 \(4\) 種 × 另外兩種從 3 種選 \(C^3_2\) × 排列 \(\dfrac{4!}{2!}\)

3° \(\dfrac{4\times3\times12}{4^4}=\dfrac{144}{256}=\dfrac9{16}\)

5. 【圓錐截痕】

答：(1)

1° 平面 \(E\) 平行軸線 \(L\) \(\Rightarrow\) 與母線 \(M\) 不平行（母線和 \(L\) 夾 \(24^\circ\)）

2° 且 \(E\) 與上、下兩個錐面都相交 \(\Rightarrow\) 截痕是雙曲線

6. 【多項式】

答：(2)

1° 代 \(x=1\)：只剩 \(c\) 項 \(\Rightarrow\) \(c(-2)(-3)=1\) \(\Rightarrow\) \(c=\dfrac16\)

2° 代 \(x=3\)：只剩 \(b\) 項 \(\Rightarrow\) \(b(2)(-1)=9\) \(\Rightarrow\) \(b=-\dfrac92\)

3° 代 \(x=4\)：只剩 \(a\) 項 \(\Rightarrow\) \(a(3)(1)=16\) \(\Rightarrow\) \(a=\dfrac{16}3\)

4° \(a>c>b\)

7. 【透視、比例】

答：(4)

1° 畫簡圖以消失點 \(V\) 為準：相同柱子離消失點越遠，會看起來越遠

2° 同一根柱子沿地面前後移動，柱底、柱頂都沿著往 \(V\) 的直線跑 \(\Rightarrow\) \(\dfrac{\text{畫出的柱長}}{\text{柱底到地平線的距離}}\) 不變；這個比值越大，實際越高

3° 地平線 \(y=9\)：

\(A\)：\(\dfrac{2}{3}\)　\(B\)：\(\dfrac{3}{9}=\dfrac13\)　\(C\)：\(\dfrac{3}{6}=\dfrac12\)　\(D\)：\(\dfrac{3}{4}\)　\(E\)：\(\dfrac{4}{8}=\dfrac12\)　\(F\)：\(\dfrac23\)

4° \(A\)、\(F\) 同為 \(\dfrac23\)（和題目說的等高一致），\(D\) 的 \(\dfrac34\) 最大 \(\Rightarrow\) \(D\) 最高

二、多選題

8. 【三次函數】

答：(1)(5)

1° \(y=x^3-x\) 沒有 \(x^2\) 項 \(\Rightarrow\) 已是標準式：對稱中心 \((0,0)\)，在 \(x=0\) 附近近似 \(y=-x\)

(1) 對稱中心是原點

(2) 近似直線是 \(y=-x\)，不是 \(y=x\)

(3) \(x\) 的係數 \(-1\ne1\)，廣域特徵一樣但局部不一樣 \(\Rightarrow\) 不只是平移

(4) 對稱 \(x\) 軸 \(\Rightarrow\) \(y\) 變號：\(-y=x^3-x\) \(\Rightarrow\) \(y=-x^3+x\)，不是 \(y=x^3+x\)

(5) 對稱 \(y\) 軸 \(\Rightarrow\) \(x\) 變號：\(y=(-x)^3-(-x)=-x^3+x\)

9. 【平面向量】

答：(2)(3)(4)

1° \((2,2)=\alpha\overrightarrow{OA}+\beta\overrightarrow{OB}\) 列聯立解 \(\alpha\)、\(\beta\)，看是否都在 \([0,1]\)

(1) \(2\alpha-4\beta=2\)、\(-3\alpha+3\beta=2\) \(\Rightarrow\) \(\beta=-\dfrac53<0\)，不合

(2) \(3\alpha+3\beta=2\)、\(2\alpha+4\beta=2\) \(\Rightarrow\) \(\alpha=\beta=\dfrac13\)

(3) \(3\alpha+4\beta=2\)、\(4\alpha-\beta=2\) \(\Rightarrow\) \(\alpha=\dfrac{10}{19}\)、\(\beta=\dfrac2{19}\)

(4) \(\alpha+2\beta=2\)、\(2\alpha+\beta=2\) \(\Rightarrow\) \(\alpha=\beta=\dfrac23\)

(5) \(\alpha+\beta=2\)、\(-\alpha+\beta=2\) \(\Rightarrow\) \(\alpha=0\)、\(\beta=2>1\)，不合

10. 【數據分析】

答：(1)(2)(5)

(1) 平均 \(1.7\) 秒最多

(2) 總用時 = 次數 × 平均：甲 \(30\)、乙 \(21\)、丙 \(34\)、丁 \(36\) \(\Rightarrow\) 丁最多

(3) 平均相同不代表每次都相同（甲的標準差 \(0.5\ne0\)，每次用時不全相同）

(4) 標準差大不代表全距大，不一定

(5) 若都在 \(1.4\)～\(1.6\) 之間 \(\Rightarrow\) 每個離差 \(|x_i-1.5|\le0.1\) \(\Rightarrow\) 標準差 \(\le0.1\)，和 \(0.3\) 矛盾

11. 【球面、經緯度】

答：(1)(3)(4)

1° 經度 \(0^\circ\) 與 \(180^\circ\) 合起來是一個大圓（經線圈），五點都在上面

2° 最短路徑沿這個大圓走，圓心角由緯度讀：\(A\)、\(B\) 離北極 \(30^\circ\)，\(C\)、\(D\) 離北極 \(60^\circ\)，\(E\) 離北極 \(90^\circ\)

(1) 緯度相同 \(\Rightarrow\) 到北極距離相同，都是 \(30^\circ\) 的弧

(2) \(A\to B\)：\(30^\circ+30^\circ=60^\circ\)；\(C\to D\)：\(60^\circ+60^\circ=120^\circ\)，不相等

(3) \(A\)、\(C\)、\(E\) 在同一條經線上，沿經線走，必經過 \(C\)

(4) 經度相差 \(180^\circ\) \(\Rightarrow\) 最短路徑過北極

(5) \(90^\circ:120^\circ=3:4\)，不是 \(2:3\)

12. 【等差數列】

答：(1)(2)

1° 設 9 是第 \(n'\) 項：\(1+(n'-1)d=9\)、\(1+(n-1)d=81\)

2° 相除 \(\Rightarrow\) \(\dfrac{n'-1}{n-1}=\dfrac8{80}=\dfrac1{10}\) \(\Rightarrow\) \(n-1\) 是 10 的倍數 \(\Rightarrow\) \(n=11,21,\dots,91\)（\(n\le100\)）

(1) \(n=10k+1\) 都是奇數

(2) \(41=\dfrac{1+81}2\) 是首末兩項的中間，\(n\) 為奇數 ⇒ 正中間那項就是 41

(3) \(d=\dfrac{80}{n-1}\)：\(n=31\) 時 \(d=\dfrac83\) 不是整數

(4) \(n=11,21,\dots,91\) 共 9 個

(5) 7 的倍數有 \(21\)、\(91\) 兩個

三、選填題

13. 【機率】

答：0.51

1° 至少一個有空位 = \(1-\) 兩個都沒空位

2° \(1-0.7\times0.7=1-0.49=0.51\)

14. 【直線、面積】

答：5/6

1° 全面積 \(\dfrac12\times5\times2=5\)；\(y=mx\) 過原點 \(O\)（在 \(BC\) 上），交 \(AC\) 於 \(D\)

2° \(\triangle ODC=\dfrac52\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac12\times4\times h=\dfrac52\) \(\Rightarrow\) \(h=\dfrac54\)

3° \(AC\)：\(\dfrac x4+\dfrac y2=1\)，代 \(y=\dfrac54\) \(\Rightarrow\) \(x=\dfrac32\) \(\Rightarrow\) \(D\Big(\dfrac32,\dfrac54\Big)\)

4° 代入 \(y=mx\)：\(m=\dfrac{5/4}{3/2}=\dfrac56\)

15. 【排列組合】

答：36

1° 翻譯一個部門一人：\(2!\) 種

2° 工程師分「研發 2、測試 1」或「研發 1、測試 2」，每種再補助理湊滿 4 人：

研發 2、測試 1：\(C^3_2\)；研發已有 3 人，從 3 名助理選 1 名給研發：\(C^3_1\)

研發 1、測試 2：\(C^3_1\)；研發已有 2 人，選 2 名助理給研發：\(C^3_2\)

3° \(2!\times(C^3_2C^3_1+C^3_1C^3_2)=2\times(9+9)=36\)

16. 【空間向量】

答：√6/2

1° 牆角當原點：\(A(20,0,0)\)、\(B(0,20,0)\)、\(C(0,0,10)\)

2° \(\overrightarrow{AB}=(-20,20,0)\)、\(\overrightarrow{AC}=(-20,0,10)\)

3° \(\cos\angle CAB=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\dfrac{400}{20\sqrt2\cdot10\sqrt5}=\dfrac2{\sqrt{10}}\)

4° 畫直角三角形：鄰邊 \(2\)、斜邊 \(\sqrt{10}\) \(\Rightarrow\) 對邊 \(\sqrt6\) \(\Rightarrow\) \(\tan\angle CAB=\dfrac{\sqrt6}2\)

17. 【週期】

答：13

1° 紅 6 秒、綠 8 秒一循環；紅燈暗第 4 秒（每 6 秒），綠燈暗第 7、8 秒（每 8 秒）

2° 同時暗：第 16 秒，之後每 \([6,8]=24\) 秒一次 \(\Rightarrow\) 第 16、40、64、88、112 秒…（\([24,15]=120\)，5 次後重複）

3° 除以 15 看藍燈週期中的位置：\(16=15+1\)、\(40=30+10\)、\(64=60+4\)、\(88=75+13\)、\(112=105+7\) \(\Rightarrow\) 藍燈週期的第 1、10、4、13、7 秒

4° 這幾秒藍燈都要亮 \(\Rightarrow\) 藍燈亮前 \(k\) 秒要包含第 13 秒；答案格式是二位數 \(\Rightarrow\) 從 \(k=10\) 開始試：\(k=10\)、\(11\)、\(12\) 第 13 秒都暗，\(k=13\) 第一個可以

第貳部分、混合題或非選擇題

18–20 題為題組

18. 【指數】

答：(3)

1° 地面 UVI：\(\dfrac{400}{100}=4\)

2° 上升 \(4500\) 公尺 \(=15\) 次 300 公尺 \(\Rightarrow\) \(4(1+0.04)^{15}\)

19. 【三角函數圖形】

答：a = 8，b = π/12

1° \(f(0)=f(12)=0\) 且中間為正 \(\Rightarrow\) \(0\le x\le12\) 是半個週期 \(\Rightarrow\) 週期 24

2° \(\dfrac{2\pi}b=24\) \(\Rightarrow\) \(b=\dfrac{\pi}{12}\)

3° \(f(2)=a\sin\dfrac{\pi}6=\dfrac a2=4\) \(\Rightarrow\) \(a=8\)

20. 【三角函數圖形】

答：3 ≤ t ≤ 4，8 ≤ t ≤ 9

1° \(4\sqrt2\le8\sin\dfrac{\pi t}{12}\le4\sqrt3\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{\sqrt2}2\le\sin\dfrac{\pi t}{12}\le\dfrac{\sqrt3}2\)

2° 令 \(\theta=\dfrac{\pi t}{12}\)，\(0\le t\le12\) \(\Rightarrow\) \(0\le\theta\le\pi\)

3° 在 \([0,\pi]\) 內（\(\sin\) 先增後減）：\(\dfrac{\pi}4\le\theta\le\dfrac{\pi}3\) 或 \(\dfrac{2\pi}3\le\theta\le\dfrac{3\pi}4\)

4° 由圖，兩段對稱於 \(t=6\)

5° 乘 \(\dfrac{12}{\pi}\)：\(3\le t\le4\) 或 \(8\le t\le9\)