114 分科數甲詳解試題分析

114 分科數學甲詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。

1	2	3	4	5	6
(2)	(1)	(3)	(3)(4)	(3)(5)	(1)(3)
7	8	9	10	11	12
(2)(4)(5)	(2)(3)(5)	\(-\frac{1}{2}\)	\(\sqrt{185}\)	204	(3)

13	14	15	16	17
\(E(X)=\frac52\)	方式一 252 元 \(>\) 方式二 250 元	證明見內文	面積皆為 2	不都相等，\(a=1\) 時最大值 \(\frac{18}{5}\pi\)

一、單選題

1. 【三角函數圖形】

答：(2)

1° \(y=\sin x\) 的圖形對稱 \(x=\dfrac\pi2\) \(\Rightarrow\) 函數值相同的兩點對稱於 \(x=\dfrac\pi2\)

2° \(\theta\ne\theta+\dfrac\pi5\) \(\Rightarrow\) 兩角的中點是 \(\dfrac\pi2\)：\(\dfrac{\theta+\big(\theta+\frac\pi5\big)}2=\dfrac\pi2\) \(\Rightarrow\) \(2\theta=\dfrac{4\pi}5\) \(\Rightarrow\) \(\theta=\dfrac{2\pi}5\)

3° 下一條對稱軸 \(x=\dfrac{3\pi}2\)：\(2\theta+\dfrac\pi5=3\pi\) \(\Rightarrow\) \(\theta=\dfrac{7\pi}5>\pi\)（不合）

4° 只有 \(\theta=\dfrac{2\pi}5\)

2. 【空間中的平面】

答：(1)

1° 設坐標（邊長 1，\(A\) 為原點），各頂點坐標標在圖上

2° 平面 \(BGH\)：\(\overrightarrow{BG}=(0,1,1)\)、\(\overrightarrow{BH}=(-1,1,1)\) \(\Rightarrow\) \(\vec n_1=\overrightarrow{BG}\times\overrightarrow{BH}=(0,-1,1)\) \(\Rightarrow\) \(-y+z=0\)（\(A\) 也在上面，就是平面 \(ABGH\)，藍色）

3° 平面 \(CFE\)：\(\overrightarrow{CF}=(0,-1,1)\)、\(\overrightarrow{CE}=(-1,-1,1)\) \(\Rightarrow\) \(\vec n_2=(0,-1,-1)\parallel(0,1,1)\) \(\Rightarrow\) \(y+z=1\)（\(D\) 也在上面，就是平面 \(CDEF\)，紅色）

4° 與兩平面都垂直 \(\Rightarrow\) \(\vec n\perp\vec n_1\)、\(\vec n\perp\vec n_2\) \(\Rightarrow\) \(\vec n\parallel\vec n_1\times\vec n_2=(-2,0,0)\parallel(1,0,0)\) \(\Rightarrow\) 所求平面為 \(x=k\) 的形式

(1) \(A\)、\(D\)、\(H\) 的 \(x\) 坐標都是 0 \(\Rightarrow\) 平面 \(x=0\)（綠色）

(2)(3) 平面 \(BCD\)：\(z=0\)；平面 \(CDG\)：\(y=1\)，法向量不平行 \((1,0,0)\)

(4)(5) \(D\)、\(F\) 的 \(x\) 坐標不同（0 與 1），不是 \(x=k\) 的形式

3. 【圓與直線、計數】

答：(3)

1° 8 個點：\(\Gamma_1\) 與兩軸交於 \((\pm2,0)\)、\((0,\pm2)\)；\(\Gamma_2\) 與 \(x-y=0\)：\(2x^2=2\) \(\Rightarrow\) \((1,1)\)、\((-1,-1)\)；與 \(x+y=0\)：\((1,-1)\)、\((-1,1)\)

2° 畫圖找三點共線：\(x+y=\pm2\)、\(x-y=\pm2\) 各過 3 點，共 4 組，沒有 4 點共線

3° 先隨便連：\(C^8_2=28\)；每組 3 點共線，\(C^3_2=3\) 條其實只有 1 條，多算 2 條

4° \(28-4\times2=20\)

二、多選題

4. 【二次曲線】

答：(3)(4)

1° 「與所有鉛直線都相交」\(\Rightarrow\) 代 \(x=k\)，對每個實數 \(k\) 都解得出實數 \(y\)

(1) \(y^2=4\Big(1-\dfrac{k^2}9\Big)\)，要 \(|k|\le3\)；反例 \(k=4\) 無交點

(2) \(y^2=4\Big(\dfrac{k^2}9-1\Big)\)，要 \(|k|\ge3\)；反例 \(k=0\) 無交點

(3) \(y^2=4\Big(1+\dfrac{k^2}9\Big)>0\)，每個 \(k\) 都有解

(4) \(y=\dfrac49k^2\)，每個 \(k\) 都有解

(5) \(y^2=\dfrac94k\)，要 \(k\ge0\)；反例 \(k=-1\) 無交點

5. 【數列極限、無窮等比級數】

答：(3)(5)

1° 「奇變偶不變」：\(n\pi\) 是 \(\dfrac\pi2\) 的偶數倍 \(\Rightarrow\) 不變，正負看象限

2° \(n\) 偶數：\(a_n=\cos\Big(-\dfrac\pi6\Big)=\dfrac{\sqrt3}2\)；\(n\) 奇數：\(a_n=\cos\Big(\pi-\dfrac\pi6\Big)=-\dfrac{\sqrt3}2\) \(\Rightarrow\) \(a_n=(-1)^n\dfrac{\sqrt3}2\)

(1) \(a_1=-\dfrac{\sqrt3}2\)

(2) \(a_2=\dfrac{\sqrt3}2\)、\(a_3=-\dfrac{\sqrt3}2\)

(3) 4、24 都是偶數 \(\Rightarrow\) \(a_4=a_{24}=\dfrac{\sqrt3}2\)

(4) 奇數項 \(-\dfrac{\sqrt3}2\)、偶數項 \(\dfrac{\sqrt3}2\)，不趨近一個定值 \(\Rightarrow\) 發散

(5) \((a_n)^n=(-1)^{n^2}\Big(\dfrac{\sqrt3}2\Big)^n\)，\(n^2\) 與 \(n\) 同奇偶 \(\Rightarrow\) \((a_n)^n=\Big(-\dfrac{\sqrt3}2\Big)^n\)，公比 \(r=-\dfrac{\sqrt3}2\)，\(-1<r<1\) 收斂

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_n)^n=\dfrac{-\frac{\sqrt3}2}{1+\frac{\sqrt3}2}=\dfrac{-\sqrt3}{2+\sqrt3}=-\sqrt3(2-\sqrt3)=3-2\sqrt3\)

6. 【指數與對數函數】

答：(1)(3)

(1) \(f(0)=1.2^0=1>0\)

(2) 取 log：\(\log1.2=\log\dfrac{12}{10}=2\log2+\log3-1\approx0.0791\) \(\Rightarrow\) \(\log f(10)=10\log1.2\approx0.791<1\) \(\Rightarrow\) \(f(10)<10\)

(3) 令 \(g(x)=1.2^x-x\)（連續）：\(g(0)=1>0\)；由 (2)，\(g(10)=f(10)-10<0\) \(\Rightarrow\) 由中間值定理，\((0,10)\) 內有 \(t\) 使 \(g(t)=0\) \(\Rightarrow\) 兩圖形相交

(4) \(y=\log(1.2^x)=x\log1.2\) 是直線；\(y=1.2^x\) 對 \(y=x\) 對稱（\(x\)、\(y\) 對調）的是反函數 \(y=\log_{1.2}x\)。反例：\((0,1)\) 的對稱點 \((1,0)\)，但 \(1\cdot\log1.2\ne0\)

(5) 畫圖：\(y=1.2^x\) 與 \(y=\log_{1.2}x\) 互為反函數，對稱於 \(y=x\)；由 (3)，\(y=1.2^x\) 與 \(y=x\) 交於 \((t_1,t_1)\)，這點對 \(y=x\) 對稱還是自己 \(\Rightarrow\) 也在 \(y=\log_{1.2}x\) 上 \(\Rightarrow\) \(b=t_1\) 時 \(\log_{1.2}b=1.2^b\)，不成立

7. 【微分的應用】

答：(2)(4)(5)

1° 1、2 都是極小 \(\Rightarrow\) 中間一定有極大值，設在 \(x=c\)（\(1<c<2\)）

2° 5 是極大、首項係數為正 \(\Rightarrow\) \(x\to\infty\) 時 \(f(x)\to\infty\) \(\Rightarrow\) 5 右邊一定再有極小值，設在 \(x=d\)（\(d>5\)）

3° 正負表（極小：左負右正；極大：左正右負）：

區間	\(x<1\)	\(1\sim c\)	\(c\sim2\)	\(2\sim3\)	\(3\sim4\)	\(4\sim5\)	\(5\sim d\)	\(x>d\)
\(f'\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)

(1) 極小值不一定比極大值小：示意圖中 \(f(1)>f(3)\) 也符合條件（例：\(f'(x)=(x-1)\big(x-\frac54\big)(x-2)(x-3)(x-4)^3(x-5)^3(x-6)\)，算得 \(f(3)-f(1)<0\)）

(2) 由正負表，\(f'\) 在 \((1,c)\) 為正、在 \((c,2)\) 為負 \(\Rightarrow\) 取 \(a\in(1,c)\)、\(b\in(c,2)\) 即可

(3) 3 是極大 \(\Rightarrow\) \(f''(3)\le0\)（若 \(f''(3)>0\)，由二階檢驗 3 是極小，矛盾）

(4) \(x>d\) 時 \(f'(x)>0\)

(5) \(f'\) 至少有 \(1\)、\(c\)、\(2\)、\(3\)、\(4\)、\(5\)、\(d\) 七個相異實根 \(\Rightarrow\) \(\deg f'\ge7\) \(\Rightarrow\) \(\deg f\ge8>7\)

8. 【複數】

答：(2)(3)(5)

1° 換出發點：\(1\)、\(z\)、\(z^3\) 共線 \(\Rightarrow\) \(z^3-1=t(z-1)\)，\(t\) 為實數 \(\Rightarrow\) \(\dfrac{z^3-1}{z-1}=z^2+z+1\) 為實數

2° 設 \(z=x+yi\)（\(y\ne0\)）：\(z^2+z+1=(x^2-y^2+x+1)+(2xy+y)i\) \(\Rightarrow\) 虛部 \(y(2x+1)=0\) \(\Rightarrow\) \(x=-\dfrac12\)

3° \(x^2+y^2=4\) \(\Rightarrow\) \(y=\pm\dfrac{\sqrt{15}}2\) \(\Rightarrow\) \(z=-\dfrac12\pm\dfrac{\sqrt{15}}2i\)

(1) \(z\cdot\bar z=|z|^2=4\)

(2) \(\dfrac{z^3-z}{z-1}=\dfrac{z(z-1)(z+1)}{z-1}=z^2+z=(z^2+z+1)-1\) 為實數

(3) 由 2°，實部 \(-\dfrac12\)

(4) \(z+\bar z=-1\)、\(z\bar z=4\) \(\Rightarrow\) \(z\) 是 \(z^2+z+4=0\) 的根 \(\Rightarrow\) \(z^2-z+4=(z^2+z+4)-2z=-2z\ne0\)

(5) 由 (4)，\(z^2=-z-4\) \(\Rightarrow\) \(z^2-(-2)=-z-2=-\big(z-(-2)\big)\) \(\Rightarrow\) \(-2\)、\(z\)、\(z^2\) 共線

三、選填題

9. 【線性變換】

答：−1/2

1° 旋轉 \(\theta\)：\(A=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\)；對 \(x\) 軸鏡射：\(B=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\)

2° 橫配直：\(BA=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\-\sin\theta&-\cos\theta\end{bmatrix}\)

3° \(a_1+a_2+a_3+a_4=2\cos\theta\)、\(c_1+c_2+c_3+c_4=-2\sin\theta\)

4° \(2\cos\theta=2(-2\sin\theta)\) \(\Rightarrow\) \(\cos\theta=-2\sin\theta\)（\(\cos\theta\ne0\)，否則 \(\sin\theta\) 也是 0）\(\Rightarrow\) \(\tan\theta=-\dfrac12\)

10. 【空間中的直線】

答：√185

1° \(L_1\) 在平面 \(x=0\) 上 \(\Rightarrow\) 方向向量 \((0,b,c)\)；\(L_2\) 在平面 \(z=0\) 上 \(\Rightarrow\) 方向向量 \((p,q,0)\)

2° 平行 \(\Rightarrow\) 兩方向成比例 \(\Rightarrow\) \(p=0\)、\(c=0\) \(\Rightarrow\) 方向 \(\parallel(0,1,0)\)，兩線都平行 \(y\) 軸

3° \(L_1\)：\(x=0\)、\(z=-11\)；\(L_2\)：\(x=8\)、\(z=0\)

4° 兩線都平行 \(y\) 軸 \(\Rightarrow\) 取同一個 \(y\) 的兩點 \((0,21,-11)\)、\((8,21,0)\)，連線垂直兩線

5° 距離 \(=\sqrt{(8-0)^2+(0+11)^2}=\sqrt{64+121}=\sqrt{185}\)

11. 【坐標、行列式】

答：204

1° 設坐標：\(P(0,0)\) \(\Rightarrow\) \(Q(10,-1)\)，\(Q\) 是對角線中點 \(\Rightarrow\) 對頂點 \(R(20,-2)\)

2° 過 \(P\) 的兩邊：平行 \(5x-y=0\) \(\Rightarrow\) \(y=5x\)；垂直 \(3x-2y=0\) \(\Rightarrow\) 斜率 \(-\dfrac23\)，\(y=-\dfrac23x\)

3° 過 \(R\) 的兩邊：\(y+2=5(x-20)\)、\(y+2=-\dfrac23(x-20)\)

4° 另兩頂點：

\(y=5x\) 與 \(y+2=-\frac23(x-20)\) 聯立 \(\Rightarrow\) \(15x+6=-2x+40\) \(\Rightarrow\) \(x=2\) \(\Rightarrow\) \(S(2,10)\)

\(y=-\frac23x\) 與 \(y+2=5(x-20)\) 聯立 \(\Rightarrow\) \(-2x+6=15x-300\) \(\Rightarrow\) \(x=18\) \(\Rightarrow\) \(T(18,-12)\)

5° 面積 \(=\left|\det\begin{bmatrix}2&10\\18&-12\end{bmatrix}\right|=|-24-180|=204\)

第貳部分、混合題或非選擇題

12–14 題為題組

12. 【機率】

答：(3)

1° 付 300 元 \(=225+75\) \(\Rightarrow\) 兩次都沒抽中

2° \(\dfrac35\times\dfrac35=\Big(\dfrac35\Big)^2\)

13. 【期望值、無窮級數】

答：5/2

1° 設 \(X\) 為抽獎次數：\(X=k\) \(\Leftrightarrow\) 前 \(k-1\) 次沒中、第 \(k\) 次中 \(\Rightarrow\) \(P(X=k)=\Big(\dfrac35\Big)^{k-1}\cdot\dfrac25\)，\(k=1,2,3,\cdots\)

2° 期望值定義：\(E(X)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot\Big(\dfrac35\Big)^{k-1}\cdot\dfrac25\)

3° 令 \(r=\dfrac35\)，\(S_n=1+2r+3r^2+\cdots+nr^{n-1}\)

4° \(S_n-rS_n=1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}-nr^n=\dfrac{1-r^n}{1-r}-nr^n\)

5° \(0<r<1\) \(\Rightarrow\) \(n\to\infty\) 時 \(r^n\to0\)、\(nr^n\to0\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\dfrac1{(1-r)^2}=\dfrac1{(2/5)^2}=\dfrac{25}4\)

6° \(E(X)=\dfrac25\times\dfrac{25}4=\dfrac52\)（次）

14. 【期望值】

答：方式一 252 元 > 方式二 250 元

1° 方式一：前兩次有中付 225 元，機率 \(1-\Big(\dfrac35\Big)^2=\dfrac{16}{25}\)；都沒中付 300 元，機率 \(\dfrac9{25}\)

金額	225	300
機率	\(\frac{16}{25}\)	\(\frac9{25}\)

2° \(E_1=225\times\dfrac{16}{25}+300\times\dfrac9{25}=144+108=252\)（元）

3° 方式二：金額 \(=100X\) \(\Rightarrow\) \(E_2=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}100k\cdot\Big(\dfrac35\Big)^{k-1}\cdot\dfrac25=100E(X)=100\times\dfrac52=250\)（元）

4° \(E_1=252>E_2=250\) \(\Rightarrow\) 方式一所需金額的期望值較大（方式二較划算）

15–17 題為題組

15. 【函數性質】

答：證明見內文

1° 令 \(t=x^2\)，\(-1\le x\le1\) \(\Rightarrow\) \(0\le t\le1\)

2° \(f(x)=g(t)=3at+(1-a)\)，是 \(t\) 的一次（或常數）函數，圖形是線段 \(\Rightarrow\) 最小值在端點

3° \(g(0)=1-a\ge0\)（\(a\le1\)）；\(g(1)=3a+1-a=1+2a\ge0\)（\(a\ge-\dfrac12\)）

4° 兩端點都 \(\ge0\) \(\Rightarrow\) \(0\le t\le1\) 時 \(g(t)\ge0\) \(\Rightarrow\) \(-1\le x\le1\) 時 \(f(x)\ge0\)

16. 【積分】

答：2

1° 由 15 題，\(f(x)\ge0\) \(\Rightarrow\) \(\Gamma\) 的面積 \(=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)\,dx\)

2° \(f\) 是偶函數 \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)\,dx=2\int_0^1\big(3ax^2+(1-a)\big)dx=2\Big[ax^3+(1-a)x\Big]_0^1\)

3° \(=2\big(a+1-a\big)=2\)，與 \(a\) 無關 \(\Rightarrow\) 對所有 \(a\in\big[-\frac12,1\big]\) 面積都是 2

4° 看法：\(f(x)=1+a(3x^2-1)\)，\(\displaystyle\int_{-1}^{1}(3x^2-1)\,dx=0\)，所有曲線都過 \(\Big(\pm\dfrac1{\sqrt3},1\Big)\)（上圖）

17. 【旋轉體體積】

答：不都相等；a = 1 時最大，V = 18π/5

1° 繞 \(x\) 軸旋轉：\(V=\pi\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)^2\,dx=2\pi\int_0^1\big(3ax^2+(1-a)\big)^2dx\)（偶函數）

2° 展開：\(\big(3ax^2+(1-a)\big)^2=9a^2x^4+6a(1-a)x^2+(1-a)^2\)

3° \(\displaystyle\int_0^1=\dfrac{9a^2}5+2a(1-a)+(1-a)^2=\dfrac{9a^2}5+2a-2a^2+1-2a+a^2=\dfrac{4a^2}5+1\)

4° \(V=2\pi\Big(\dfrac45a^2+1\Big)\)，會隨 \(a\) 改變 \(\Rightarrow\) 不都相等（例：\(a=0\) 時 \(V=2\pi\)，\(a=1\) 時 \(V=\dfrac{18}5\pi\)）

5° \(a\in\big[-\frac12,1\big]\) \(\Rightarrow\) \(0\le a^2\le1\)，\(a=1\) 時 \(a^2\) 最大

6° \(a=1\) 時 \(V\) 有最大值 \(2\pi\Big(\dfrac45+1\Big)=\dfrac{18}5\pi\)