巫老師幫同學整理了一份 113 學測數學B詳解，附上大考中心頒布的 113學測數學B試題，最底下有提供學測數學五標。
113 學測數學B詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| (4) | (1) | (2) | (4) | (3) | (1) | (3) |
| 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|
| (1)(2)(5) | (2)(5) | (1)(3)(4) | (1)(4)(5) | (1)(4) |
| 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
|---|---|---|---|---|
| \(-1\) | \(\frac{2}{7}\) | \(3\)，\(-6\) | \(\frac{4}{3}\pi\) | 76 |
| 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|
| (4) | \(4\sqrt{65}\) | \(\overline{AD}=7\)，\(V=\frac{112}{3}\)，\(h=\frac{28\sqrt{65}}{65}\) |
一、單選題
1. 【數據分析】
某遊戲共有 210 位玩家，每位玩家均持有寶石，其中持有 1 顆的有 1 位，持有 2 顆的有 2 位，依此類推，持有 20 顆寶石的有 20 位。試問這些玩家每人持有寶石數量的第 90 百分位數為下列哪一個選項？
(1) 16
(2) 17
(3) 18
(4) 19
(5) 20
答：(4)
1° \(210\times0.9=189\) 是整數 \(\Rightarrow\) \(P_{90}\) = 第 189、190 筆的平均
2° 由小排到大，持有 \(1\)～\(n\) 顆的累計人數 \(1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2\)
3° \(n=18\)：\(171\)；\(n=19\)：\(190\) \(\Rightarrow\) 第 172～190 筆都是 19 顆
4° 第 189、190 筆都是 19 \(\Rightarrow\) \(P_{90}=19\)
2. 【對數】
已知 \(a,b,c\) 為實數，且滿足 \(1<a<10\)、\(b=\log a\)、\(c=\log b\)，試選出正確的選項。
(1) \(c<0<b<1\)
(2) \(0<c<1<b\)
(3) \(0<c<b<1\)
(4) \(1<c<b\)
(5) \(c<b<0\)
答：(1)
1° \(1<a<10\) \(\Rightarrow\) \(\log1<\log a<\log10\) \(\Rightarrow\) \(0<b<1\)
2° \(0<b<1\) \(\Rightarrow\) \(c=\log b<\log1=0\)
3° \(c<0<b<1\)
3. 【直線方程式】
某射擊遊戲的玩家要避開障礙物射擊目標。今在遊戲畫面中設立一直角坐標系，以長方形螢幕左下角點 \(O\) 為原點，螢幕下方的邊緣為 \(x\) 軸、螢幕左方的邊緣為 \(y\) 軸，目標物放在點 \(P(12,10)\)。畫面中有兩面牆（牆厚度可忽略不計），一面牆由點 \(A(10,5)\) 水平延伸到點 \(B(15,5)\)，另一面牆由點 \(C(0,6)\) 水平延伸到點 \(D(9,6)\)，如右圖之示意圖。若玩家在點 \(Q\) 可直線射擊點 \(P\) 的目標物，不會被兩面牆阻擋。下列哪一個選項有可能是點 \(Q\) 的坐標？
(1) \((6,3)\)
(2) \((7,3)\)
(3) \((8,5)\)
(4) \((9,1)\)
(5) \((9,2)\)
答：(2)
1° 不被擋 \(\Leftrightarrow\) 直線 \(PQ\) 從兩面牆的端點 \(D(9,6)\)、\(A(10,5)\) 中間穿過 \(\Leftrightarrow\) \(D\)、\(A\) 代入 \(PQ\) 的直線式異號
2° 各選項寫出 \(PQ\)（過 \(P(12,10)\)），代 \(D\)、\(A\)：
(1) \(Q(6,3)\)：\(7x-6y-24=0\)；\(D\)：\(3\)，\(A\)：\(16\)，同號，被擋
(2) \(Q(7,3)\)：\(7x-5y-34=0\)；\(D\)：\(-1\)，\(A\)：\(11\)，異號，可以
(3) \(Q(8,5)\)：\(5x-4y-20=0\)；\(D\)：\(1\)，\(A\)：\(10\)，同號，被擋
(4) \(Q(9,1)\)：\(3x-y-26=0\)；\(D\)：\(-5\)，\(A\)：\(-1\)，同號，被擋
(5) \(Q(9,2)\)：\(8x-3y-66=0\)；\(D\)：\(-12\)，\(A\)：\(-1\)，同號，被擋
4. 【平面向量】
已知坐標平面上有一向量 \(\vec{v}=(-2,3)\) 及兩點 \(A\)、\(B\)，且點 \(A\) 的 \(x\) 坐標和 \(y\) 坐標、點 \(B\) 的 \(x\) 坐標和 \(y\) 坐標都落在區間 \([0,1]\) 內，試問 \(\left|\vec{v}+\overrightarrow{AB}\right|\) 的最大值為下列哪一個選項？
(1) \(\sqrt{13}\)
(2) \(\sqrt{17}\)
(3) \(3\sqrt{2}\)
(4) \(5\)
(5) \(\sqrt{2}+\sqrt{13}\)
答：(4)
1° \(A\)、\(B\) 的坐標都在 \([0,1]\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AB}=(s,t)\)，\(-1\le s\le1\)、\(-1\le t\le1\)
2° \(\vec v+\overrightarrow{AB}=(-2+s,\ 3+t)\)
3° \(|-2+s|\le3\)（\(s=-1\)）、\(|3+t|\le4\)（\(t=1\)），兩個可同時取到（\(A(1,0)\)、\(B(0,1)\)）
4° 最大值 \(\sqrt{3^2+4^2}=5\)
5. 【二次函數】
設二次函數 \(f(x)=x^2+bx+c\)，其中 \(b,c\) 為實數。已知 \(f(x-2)=f(-x-2)\) 對任意實數 \(x\) 均成立，且當 \(-3\le x\le 1\) 時，\(f(x)\) 的最大值會是最小值的 4 倍，則 \(f(x)\) 的最小值是下列哪一個選項？
(1) \(0\)
(2) \(\dfrac{5}{3}\)
(3) \(3\)
(4) \(4\)
(5) \(6\)
答：(3)
1° \(f(x-2)=f(-x-2)\) \(\Rightarrow\) \(x-2\) 與 \(-x-2\) 的中點 \(-2\) 是對稱軸 \(\Rightarrow\) \(-\dfrac b2=-2\) \(\Rightarrow\) \(b=4\)
2° \(f(x)=(x+2)^2+c-4\)，開口向上
3° \(-3\le x\le1\)：最小在頂點 \(x=-2\)：\(c-4\)；最大在離軸較遠的 \(x=1\)：\(9+c-4=c+5\)
4° \(c+5=4(c-4)\) \(\Rightarrow\) \(c=7\) \(\Rightarrow\) 最小值 \(c-4=3\)
6. 【比例】
某大樓居民在大樓外牆展示聖誕樹造型燈飾，如圖所示，從五樓外牆某處 \(P\) 向四樓地板的兩端 \(A,B\) 拉小燈泡形成等腰三角形 \(PAB\)，其中 \(\overline{PA}=\overline{PB}\)；向三樓地板的兩端 \(C,D\) 拉小燈泡形成等腰三角形 \(PCD\)；向二樓地板的兩端 \(E,F\) 拉小燈泡形成等腰三角形 \(PEF\)。假設每層樓等高且樓地板等長。若五樓地板在三角形 \(PAB\) 內部所截出的線段長度為樓地板長度的 \(\dfrac{1}{3}\)，則五樓地板在三角形 \(PEF\) 內部所截出的線段長度是樓地板長度的幾分之幾？（燈飾粗細可忽略不計）
(1) \(\dfrac{1}{7}\)
(2) \(\dfrac{1}{6}\)
(3) \(\dfrac{1}{5}\)
(4) \(\dfrac{2}{9}\)
(5) \(\dfrac{1}{4}\)
答：(1)
1° 底邊比 = 高度比（\(P\) 到該線的距離）
2° 五樓地板截出的長 : \(\overline{AB}=1:3\) \(\Rightarrow\) \(P\) 到五樓地板 : \(P\) 到 \(\overline{AB}=1:3\)
3° 五樓地板到 \(\overline{AB}\) 是一層樓 \(=2\) 份 \(\Rightarrow\) 一層樓等於兩份
4° 五樓地板到二樓地板 \(\overline{EF}\) 有 3 層 \(\Rightarrow\) \(P\) 到 \(\overline{EF}=1+2\times3=7\) 份
5° 所求 \(=\dfrac17\)
7. 【數據分析】
有一城市分為東、西兩區。兩區各有一個氣溫偵測站，該城市當天的最高溫（單位：攝氏度）是取這兩區當天氣溫的最大值來記錄。下表顯示東、西兩區某月（共 30 天）每日最高溫分布的情形。
| 溫度 \(t\) | \(18\le t<24\) | \(24\le t<30\) | \(30\le t<36\) | \(36\le t\) |
|---|---|---|---|---|
| 東區（天數） | 0 | 11 | 14 | 5 |
| 西區（天數） | 3 | 12 | 15 | 0 |
根據上表，該城市當月每日最高溫分布的情形如下表。
| 溫度 \(t\) | \(18\le t<24\) | \(24\le t<30\) | \(30\le t<36\) | \(36\le t\) |
|---|---|---|---|---|
| 天數 | \(A\) | \(B\) | \(C\) | \(D\) |
試選出有可能為數組 \((A,B,C,D)\) 的選項。
(1) \((0,15,15,0)\)
(2) \((3,12,15,5)\)
(3) \((0,9,16,5)\)
(4) \((3,7,15,5)\)
(5) \((0,12,13,5)\)
答：(3)
1° 城市最高溫 = 兩區的最大值
2° 東區沒有低於 24 的天 \(\Rightarrow\) 每天最大值 \(\ge24\) \(\Rightarrow\) \(A=0\)
3° 西區沒有 \(\ge36\) 的天 \(\Rightarrow\) \(D\) = 東區 \(\ge36\) 的天數 \(=5\)
4° 東區 \(30\le t<36\) 的 14 天，最大值 \(\ge30\) 且不會 \(\ge36\)（那幾天東區 \(<36\)、西區也 \(<36\)）\(\Rightarrow\) \(C\ge14\)
5° \(B=30-0-5-C=25-C\)
(1) \(D=0\)，不合
(2)(4) \(A=3\)，不合
(3) \((0,9,16,5)\)：\(A=0\)、\(D=5\)、\(C=16\ge14\)、\(B=9=25-16\)，可能
(5) \(C=13<14\)，不合
二、多選題
8. 【數列】
已知正實數數列 \(a,b,c,d,e\) 為等比數列，且 \(a<b<c<d<e\)，試選出下列為等比數列的選項。
(1) \(a,-b,c,-d,e\)
(2) \(e,d,c,b,a\)
(3) \(\log a,\log b,\log c,\log d,\log e\)
(4) \(3^a,3^b,3^c,3^d,3^e\)
(5) \(abc,bcd,cde\)
答：(1)(2)(5)
1° 取一組例子 \(1,2,4,8,16\)（公比 \(r=2\)）代入，一般情形寫在後面
(1) \(1,-2,4,-8,16\)：公比 \(-2\) \(\Rightarrow\) 等比（一般公比 \(-r\)）
(2) \(16,8,4,2,1\)：公比 \(\dfrac12\) \(\Rightarrow\) 等比（一般公比 \(\dfrac1r\)）
(3) 取 log 變等差：\(\log b-\log a=\log r\ne0\)；若又等比 \(\Rightarrow\) \((\log a+\log r)^2=\log a(\log a+2\log r)\) \(\Rightarrow\) \((\log r)^2=0\)，矛盾
(4) \(3^1,3^2,3^4\)：\(\dfrac{3^2}{3^1}=3\ne\dfrac{3^4}{3^2}=9\) \(\Rightarrow\) 不等比（指數 \(a,b,c\) 不是等差）
(5) \(\dfrac{bcd}{abc}=\dfrac da=r^3\)、\(\dfrac{cde}{bcd}=\dfrac eb=r^3\) \(\Rightarrow\) 等比，公比 \(r^3\)
9. 【多項式】
已知多項式 \(f(x)\) 除以 \(x^2+5x+1\) 後，所得出的商式為 \(x^3+7x^2+x+3\)，試選出下列可能為 \(f(x)\) 的選項。
(1) \(2(x^3+7x^2+x+3)(x^2+5x+1)\)
(2) \((x^3+7x^2+x+3)(x^2+5x+1)-x\)
(3) \((x^3+7x^2+x+3)(x^2+5x+1)+x^2\)
(4) \((x^3+7x^2+x+4)(x^2+5x+1)-x\)
(5) \((x^3+7x^2+x+4)(x^2+5x+1)-x^2\)
答：(2)(5)
1° 令 \(D=x^2+5x+1\)、\(Q=x^3+7x^2+x+3\)；\(f=DQ+r\)，\(\deg r<2\) 才是商 \(Q\)
2° 「真的除除看」：餘式次數要小於除式
(1) 商是 \(2Q\)
(2) \(QD+(-x)\)，餘式 \(-x\) 一次，合格
(3) \(QD+x^2\)：\(x^2\) 還能再除（\(x^2=D-5x-1\)）\(\Rightarrow\) 商變 \(Q+1\)
(4) \((Q+1)D-x=QD+(x^2+4x+1)\)，二次還能再除 \(\Rightarrow\) 商是 \(Q+1\)
(5) \((Q+1)D-x^2=QD+(5x+1)\)，餘式一次，合格
10. 【週期】
有兩個光點在一條長度為 120 公分的直線形軌道上移動，碰到端點就反向繼續移動。一開始兩點分別在軌道的兩端相向而動，光點 A、光點 B 的移動速率分別為每秒 5 公分及每秒 10 公分。試選出正確的選項。
(1) 兩個光點第一次相遇的位置，與其中一個端點的距離為 40 公分
(2) 光點 A 的位置呈週期現象，週期為 24 秒
(3) 當光點 A 回到 A 的出發點時，光點 B 也在 B 的出發點
(4) 兩個光點第二次相遇在其中一個端點上
(5) 兩個光點在軌道上共有 3 個不同的相遇位置
答：(1)(3)(4)
1° 設 A 從位置 0 出發、B 從位置 120 出發；A 來回週期 \(\dfrac{240}5=48\) 秒，B 來回週期 \(\dfrac{240}{10}=24\) 秒
2° 第 \(n\) 次相遇：兩點合計走 \((2n-1)\times120\) \(\Rightarrow\) \(15t=(2n-1)\times120\) \(\Rightarrow\) \(t=8,24,40,56,\dots\)
(1) \(15t=120\) \(\Rightarrow\) \(t=8\)，A 走 40 \(\Rightarrow\) 離端點 40 公分
(2) A 週期 48 秒
(3) \(t=48\) 時 A 回到出發點，\(48=24\times2\) \(\Rightarrow\) B 也在出發點
(4) \(t=24\)：A 走 120 到另一端；B 走 240 剛好回到出發端 \(\Rightarrow\) 都在端點 120
(5) \(t=40\)：A 走 200，在 40；之後每 48 秒重複 \(t=8,24,40\) \(\Rightarrow\) 相遇位置只有 40 和 120 兩個
11. 【指數】
某國家過去五年的碳排放總量，由第 1 年的 \(X\) 億公噸二氧化碳當量（CO2e）下降至第 5 年的 \(Y\) 億公噸二氧化碳當量（CO2e），達到每年平均減碳 5% 的效益，亦即 \(Y=(1-0.05)^4X\)。將五年的碳排放總量與年成長率記錄如下表，其中
第 \(n\) 年碳排放成長率 \(=\dfrac{\text{（第 }n\text{ 年碳排放總量）}-\text{（第 }n-1\text{ 年碳排放總量）}}{\text{第 }n-1\text{ 年碳排放總量}}\)，\(n=2,3,4,5\)。
| 第 1 年 | 第 2 年 | 第 3 年 | 第 4 年 | 第 5 年 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 碳排放總量（億公噸 CO2e） | \(X\) | \(A\) | \(B\) | \(C\) | \(Y\) |
| 碳排放年成長率 | \(-0.07\) | \(p\) | \(q\) | \(r\) |
試選出正確的選項。
(1) \(A=0.93X\)
(2) \(Y\le 0.8X\)
(3) \(\dfrac{-0.07+p+q+r}{4}=-0.05\)
(4) \(\sqrt[4]{\dfrac{Y}{X}}-1=-0.05\)
(5) \(0.93(1+p)(1+q)(1+r)=(0.95)^4\)
答：(1)(4)(5)
1° 第 \(n\) 年 = 第 \(n-1\) 年 \(\times\)（1 + 成長率）
(1) \(A=X(1-0.07)=0.93X\)
(2) \(Y=0.95^4X\)，\(0.95^2=0.9025\)，\(0.9025^2\approx0.81\) \(\Rightarrow\) \(Y\approx0.81X>0.8X\)
(3) 平均成長率是幾何平均，不是四個成長率的算術平均（例：\(p=q=r\) 時 \(\dfrac{-0.07+3p}4\approx-0.0499\ne-0.05\)）
(4) \(\sqrt[4]{\dfrac YX}=0.95\) \(\Rightarrow\) \(\sqrt[4]{\dfrac YX}-1=-0.05\)
(5) \(Y=X(0.93)(1+p)(1+q)(1+r)=0.95^4X\) \(\Rightarrow\) \(0.93(1+p)(1+q)(1+r)=0.95^4\)
12. 【機率】
小明寫了一個程式讓機器人在 \(2\times 2\) 的棋盤中移動，如圖所示。每執行一次，程式會選擇「上、下、左、右」中的某一個方向，不同方向被選擇的機率均相等，並指示機器人依該方向移動一格，但若選到的方向會跑出棋盤，則機器人該次會停在原地。每次執行都是從上次所在位置依程式重新選取的方向移動，假設機器人的初始位置在 \(A\)。令執行程式 \(n\) 次後，機器人停留在 \(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\) 的機率分別為 \(a_n\)、\(b_n\)、\(c_n\) 和 \(d_n\)。試選出正確的選項。
(1) \(b_1=\dfrac{1}{4}\)
(2) \(b_2=\dfrac{1}{8}\)
(3) \(a_2+d_2=\dfrac{3}{4}\)
(4) \(b_{99}=c_{99}\)
(5) \(a_{100}+d_{100}>\dfrac{1}{2}\)
答：(1)(4)
1° 每一步各方向 \(\dfrac14\)，出界就留原地 \(\Rightarrow\) 每格都有 \(\dfrac12\) 留在原地、\(\dfrac14\) 走到兩個相鄰格各一
2° 由上一步各格轉過來的機率相加：
\(a_{n+1}=\dfrac12a_n+\dfrac14b_n+\dfrac14c_n\)，\(d_{n+1}=\dfrac12d_n+\dfrac14b_n+\dfrac14c_n\)
\(b_{n+1}=\dfrac12b_n+\dfrac14a_n+\dfrac14d_n\)，\(c_{n+1}=\dfrac12c_n+\dfrac14a_n+\dfrac14d_n\)
(1) 從 \(A\) 往右到 \(B\)：\(b_1=\dfrac14\)
(2) \(a_1=\dfrac12\)、\(b_1=c_1=\dfrac14\)、\(d_1=0\) \(\Rightarrow\) \(b_2=\dfrac12\cdot\dfrac14+\dfrac14\cdot\dfrac12+0=\dfrac14\)
(3) \(a_2=\dfrac14+\dfrac1{16}+\dfrac1{16}=\dfrac38\)、\(d_2=\dfrac18\) \(\Rightarrow\) \(a_2+d_2=\dfrac12\)
(4) \(b_1=c_1\)，\(b_{n+1}\)、\(c_{n+1}\) 的遞迴一樣 \(\Rightarrow\) \(b_n=c_n\) \(\Rightarrow\) \(b_{99}=c_{99}\)
(5) \(a_{n+1}+d_{n+1}=\dfrac12(a_n+d_n)+\dfrac12(b_n+c_n)=\dfrac12(a_n+b_n+c_n+d_n)=\dfrac12\) \(\Rightarrow\) \(a_{100}+d_{100}=\dfrac12\)
三、選填題
13. 【矩陣】
已知 \(a,b,c,d\) 為實數，且 \(\begin{bmatrix}1&-1\\3&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\)。若 \(\begin{bmatrix}1&-1\\3&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2a+1\\2b+1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}\)，則 \(c-3d\) 的值為 _____。
答：−1
1° 令 \(M=\begin{bmatrix}1&-1\\3&-2\end{bmatrix}\)；矩陣乘法的線性：\(M\begin{bmatrix}2a+1\\2b+1\end{bmatrix}=2M\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}+M\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\)
2° \(=2\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\)（不必解 \(a\)、\(b\)）
3° \(c-3d=2-3=-1\)
14. 【條件機率】
某校全體高三學生都有報考學測數學 \(A\) 或數學 \(B\)，在這些學生中只報考數學 \(A\) 的學生占全體高三學生的 \(\dfrac{3}{10}\)。報考數學 \(A\) 的學生中有 \(\dfrac{5}{8}\) 的學生同時也報考數學 \(B\)。則只報考數學 \(B\) 的學生在該校所有報考數學 \(B\) 的學生中所占的比例為 \(\dfrac{\_\_\_}{\_\_\_}\)。（化為最簡分數）
答：2/7
1° 全體設 1，設同時報考 \(x\)、只報 B \(y\)
2° 報考 A 的有 \(0.3+x\)，其中 \(\dfrac58\) 也報 B：\(\dfrac58(0.3+x)=x\) \(\Rightarrow\) \(x=0.5\)
3° \(y=1-0.3-0.5=0.2\)
4° 所求 \(=\dfrac{y}{x+y}=\dfrac{0.2}{0.7}=\dfrac27\)
15. 【平面向量】
已知 \(P_1\)、\(P_2\)、\(Q_1\)、\(Q_2\)、\(R\) 為平面上相異五點，其中 \(P_1\)、\(P_2\)、\(R\) 三點不共線，且滿足 \(\overrightarrow{P_1R}=4\overrightarrow{P_1Q_1}\)，\(\overrightarrow{P_2R}=7\overrightarrow{P_2Q_2}\)，則 \(\overrightarrow{Q_1Q_2}=\) _____ \(\overrightarrow{P_1Q_1}+\) _____ \(\overrightarrow{P_2Q_2}\)。
答：3，−6
1° \(\overrightarrow{Q_1R}=\overrightarrow{P_1R}-\overrightarrow{P_1Q_1}=3\overrightarrow{P_1Q_1}\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{RQ_1}=-3\overrightarrow{P_1Q_1}\)
2° \(\overrightarrow{Q_2R}=\overrightarrow{P_2R}-\overrightarrow{P_2Q_2}=6\overrightarrow{P_2Q_2}\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{RQ_2}=-6\overrightarrow{P_2Q_2}\)
3° 換出發點：\(\overrightarrow{Q_1Q_2}=\overrightarrow{RQ_2}-\overrightarrow{RQ_1}=3\overrightarrow{P_1Q_1}-6\overrightarrow{P_2Q_2}\)
16. 【球面】
在空間坐標系中，有一球心坐標在 \(O(0,0,0)\) 且北極點在 \(N(0,0,2)\) 的地球儀。已知球面上點 \(A\) 坐標為 \(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2},\sqrt{3}\right)\)，赤道上距離點 \(A\) 最遠的點為點 \(P\)，則在通過點 \(A\)、點 \(P\) 的大圓上這兩點的劣弧長為 \(\dfrac{\_\_\_\pi}{\_\_\_}\)。（化為最簡分數）
答：4/3 π
1° 半徑 \(2\)；\(z=\sqrt3=2\sin60^\circ\) \(\Rightarrow\) \(A\) 在北緯 \(60^\circ\)
2° 赤道上離 \(A\) 最遠的點在相對的經線上 \(\Rightarrow\) \(P=(-\sqrt3,-1,0)\)
3° 圓心角 \(\angle AOP=180^\circ-60^\circ=120^\circ=\dfrac{2\pi}3\)（驗算：\(\cos\angle AOP=\dfrac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}}{2\cdot2}=\dfrac{-\frac32-\frac12}4=-\dfrac12\)）
4° 劣弧長 \(=r\theta=2\times\dfrac{2\pi}3=\dfrac{4\pi}3\)
17. 【排列組合】
在一圓的圓周上取 12 個等分點並以順時針方向依序編 1 號至 12 號。由這 12 個點任取 3 點為頂點所形成的三角形中，三個內角的角度由小到大會成等差數列的三角形有 _____ 個。
答：76
1° 每段弧（相鄰兩點）圓心角 \(30^\circ\) \(\Rightarrow\) 對應的圓周角 \(15^\circ\)；三個角 = 三段弧的格數 \(\times15^\circ\)，三段共 12 格
2° 三角成等差 \(\Rightarrow\) 中間角 \(=60^\circ\) \(\Rightarrow\) 佔 4 格；剩下兩角共 8 格
3° \(1+7\)、\(2+6\)、\(3+5\)：三段弧 \((k,4,8-k)\) 繞圓的順序有 2 種、起點有 12 種 \(\Rightarrow\) 各 \(12\times2=24\) 個
4° \(4+4\)：正三角形，只有 4 個
5° \(24\times3+4=76\)
第貳部分、混合題或非選擇題
18–20 題為題組
如圖所示，考慮長方體的石塊上某一頂點 \(A\) 及包含點 \(A\) 的一個面，令這個面的各邊中點分別為 \(B,E,F,D\)。此長方體上包含點 \(B\) 的另一個面，令其各邊中點分別為 \(B,C,H,G\)。已知 \(\overline{BC}=8,\ \overline{BD}=\overline{DC}=9\)。現將此石塊截去八個角，使得每個截角的截面恰通過該截角之三鄰邊的中點。根據上述，試回答下列問題。
18. 【空間概念】
截角後的石塊為幾面體？（單選題，3 分）
(1) 八面體
(2) 十面體
(3) 十二面體
(4) 十四面體
(5) 十六面體
答：(4)
1° 原本 6 個面都還在，截八個角各多 1 個三角形截面
2° \(6+8=14\) \(\Rightarrow\) 十四面體
19. 【三角形面積】
試求 \(\Delta BCD\) 的面積。（非選擇題，4 分）
答：4√65
1° 海龍公式：\(s=\dfrac{9+9+8}2=13\)
2° \(\triangle BCD=\sqrt{13(13-9)(13-9)(13-8)}=\sqrt{13\cdot4\cdot4\cdot5}=4\sqrt{65}\)
（或：等腰三角形底邊 8 上的高 \(\sqrt{9^2-4^2}=\sqrt{65}\)，面積 \(\dfrac12\cdot8\cdot\sqrt{65}=4\sqrt{65}\)）
20. 【空間概念】
試求 \(\overline{AD}\) 的長度與四面體 \(ABCD\) 的體積，並求此四面體以 \(\Delta BCD\) 為底面時，頂點 \(A\) 到底面的高度。（角錐體積 \(=\dfrac{\text{底面積}\times\text{高}}{3}\)）（非選擇題，8 分）
答：AD = 7，V = 112/3，h = 28√65/65
1° \(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)、\(\overline{AD}\) 是長方體同一頂點出發的三條稜的一半 \(\Rightarrow\) 兩兩垂直；設 \(\overline{AB}=x\)、\(\overline{AC}=y\)、\(\overline{AD}=z\)
2° 畢氏：\(x^2+y^2=8^2=64\)、\(x^2+z^2=9^2=81\)、\(y^2+z^2=9^2=81\)
3° 後兩式相減 \(\Rightarrow\) \(x=y\) \(\Rightarrow\) \(x^2=y^2=32\) \(\Rightarrow\) \(z^2=81-32=49\) \(\Rightarrow\) \(\overline{AD}=7\)
4° 體積 \(V=\dfrac13\cdot\dfrac12xy\cdot z=\dfrac16xyz=\dfrac16\cdot32\cdot7=\dfrac{112}3\)
5° 以 \(\triangle BCD\) 為底：\(\dfrac13\cdot4\sqrt{65}\cdot h=\dfrac{112}3\) \(\Rightarrow\) \(h=\dfrac{112}{4\sqrt{65}}=\dfrac{28}{\sqrt{65}}=\dfrac{28\sqrt{65}}{65}\)
113 學測數B五標
- 頂標：12
- 前標：9
- 均標：6
- 後標：4
- 底標：3