113 學測數學A 詳解試題分析

巫老師幫同學整理了一份 113 學測數學 A 詳解，附上大考中心頒布的 113學測數學A試題，最底下有附上學測數學五標。

113 學測數學A詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。

1	2	3	4	5	6
(2)	(5)	(1)	(2)	(4)	(3)

7	8	9	10	11	12
(3)(4)	(2)(3)	(3)	(3)(5)	(2)(3)	(2)(4)(5)

13	14	15	16	17
\(2:3:5\)	\(a=-3\)，\(b=3\)	25	\(\frac{2\sqrt5}{5}\)	\(\frac13\)

18	19	20
(4)	見詳解	\(2-2\sqrt3\le c\le2+2\sqrt3\)，\(\overline{OP}\) 最小 \(4\sqrt3-4\)

一、單選題

1. 【指數衰退】

題目

研究顯示：服用某藥物後，在使用者體內的藥物殘留量隨時間呈指數型衰退。已知在服用某藥物 2 小時後，體內仍殘留有該藥物的一半劑量，試問下列哪一選項正確？

(1) 服用 3 小時後，體內仍殘留有該藥物的 \(\dfrac{1}{3}\) 劑量

(2) 服用 4 小時後，體內仍殘留有該藥物的 \(\dfrac{1}{4}\) 劑量

(3) 服用 6 小時後，體內仍殘留有該藥物的 \(\dfrac{1}{6}\) 劑量

(4) 服用 8 小時後，體內仍殘留有該藥物的 \(\dfrac{1}{8}\) 劑量

(5) 服用 10 小時後，體內仍殘留有該藥物的 \(\dfrac{1}{10}\) 劑量

答：(2)

詳解

1° 設週期 \(T\)：殘留量 \(=\Big(\dfrac12\Big)^{\frac tT}\)

2° \(\Big(\dfrac12\Big)^{\frac2T}=\dfrac12\) \(\Rightarrow\) \(T=2\) \(\Rightarrow\) 殘留量 \(=\Big(\dfrac12\Big)^{\frac t2}\)

3° 逐一代選項：

(1) \(t=3\)：\(\Big(\dfrac12\Big)^{1.5}=\dfrac1{2\sqrt2}\ne\dfrac13\)

(2) \(t=4\)：\(\Big(\dfrac12\Big)^2=\dfrac14\)

(3) \(t=6\)：\(\dfrac18\ne\dfrac16\)

(4) \(t=8\)：\(\dfrac1{16}\ne\dfrac18\)

(5) \(t=10\)：\(\dfrac1{32}\ne\dfrac1{10}\)

2. 【空間向量、外積】

題目

如圖，\(OABC-DEFG\) 為一正方體，試問向量外積 \(\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AG}\) 與下列哪一個向量平行？

(1) \(\overrightarrow{AE}\)

(2) \(\overrightarrow{BE}\)

(3) \(\overrightarrow{CE}\)

(4) \(\overrightarrow{DE}\)

(5) \(\overrightarrow{OE}\)

答：(5)

詳解

1° 設 \(O\) 為原點、邊長 1，依圖寫坐標

2° \(\overrightarrow{AD}=(-1,0,1)\)、\(\overrightarrow{AG}=(-1,1,1)\)

3° \(\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AG}=(0\cdot1-1\cdot1,\ 1\cdot(-1)-(-1)\cdot1,\ (-1)\cdot1-0\cdot(-1))=(-1,0,-1)\parallel(1,0,1)\)

4° 和選項比：\(\overrightarrow{AE}=(0,0,1)\)、\(\overrightarrow{BE}=(0,-1,1)\)、\(\overrightarrow{CE}=(1,-1,1)\)、\(\overrightarrow{DE}=(1,0,0)\)、\(\overrightarrow{OE}=(1,0,1)\) \(\Rightarrow\) 平行 \(\overrightarrow{OE}\)

3. 【三次函數】

題目

設 \(a\in\{-6,-4,-2,2,4,6\}\)，已知 \(a\) 為實係數三次多項式 \(f(x)\) 的最高次項係數，若函數 \(y=f(x)\) 的圖形與 \(x\) 軸交於三點，且其 \(x\) 坐標成首項為 \(-7\)、公差為 \(a\) 的等差數列。試問共有幾個 \(a\) 使得 \(f(0)>0\)？

(1) 1 個

(2) 2 個

(3) 3 個

(4) 4 個

(5) 5 個

答：(1)

詳解

1° 三根 \(-7\)、\(-7+a\)、\(-7+2a\) \(\Rightarrow\) \(f(x)=a(x+7)(x+7-a)(x+7-2a)\)

2° \(f(0)=7a(7-a)(7-2a)\)，\(a\) 只有 6 個，逐一代：

\(a=-6\)：\(7(-6)(13)(19)<0\)

\(a=-4\)：\(7(-4)(11)(15)<0\)

\(a=-2\)：\(7(-2)(9)(11)<0\)

\(a=2\)：\(7(2)(5)(3)>0\)

\(a=4\)：\(7(4)(3)(-1)<0\)

\(a=6\)：\(7(6)(1)(-5)<0\)

3° 只有 \(a=2\) \(\Rightarrow\) 1 個

4. 【三角函數圖形】

題目

試問有多少個實數 \(x\) 滿足 \(\sin(x+\dfrac{\pi}{6})=\sin x+\sin\dfrac{\pi}{6}\) 且 \(0\le x<2\pi\)？

(1) 1 個

(2) 2 個

(3) 3 個

(4) 4 個

(5) 5 個（含）以上

答：(2)

詳解

1° 看成 \(y=\sin(x+\frac{\pi}6)\) 與 \(y=\sin x+\frac12\) 兩圖形的交點，每 \(\frac{\pi}3\) 描一個點畫圖

2° 由圖，交點在 \(x=0\)、\(x=\dfrac{11\pi}6\)

3° 驗證：\(x=0\)：\(\sin\frac{\pi}6=\frac12=0+\frac12\)；\(x=\frac{11\pi}6\)：\(\sin2\pi=0=-\frac12+\frac12\) \(\Rightarrow\) 2 個

5. 【排列組合】

題目

將 1 到 50 這 50 個正整數平分成甲乙兩組，每組各 25 個數，使得甲組的中位數比乙組的中位數小 1。試問共有幾種分法？

(1) \(C^{50}_{25}\)

(2) \(C^{48}_{24}\)

(3) \(C^{24}_{12}\)

(4) \((C^{24}_{12})^2\)

(5) \(C^{48}_{24}\cdot C^{24}_{12}\)

答：(4)

詳解

1° 甲中位數比乙小 1，兩個中位數是相鄰的整數

2° 設甲中位數 \(m\)、乙 \(m+1\)：比 \(m\) 小的數 = 甲 12 個 + 乙 12 個（乙比 \(m+1\) 小的 12 個都 \(<m\)，因 \(m\) 在甲）\(=24\) \(\Rightarrow\) \(m=25\)

3° 甲：25 在中間 \(\Rightarrow\) 比 25 小的 12 個、比 25 大的 12 個；乙：26 在中間，同理

4° \(1\)～\(24\) 中甲、乙各拿 12 個：\(C^{24}_{12}\)；\(27\)～\(50\) 中甲、乙各拿 12 個：\(C^{24}_{12}\)

5° 共 \((C^{24}_{12})^2\) 種

6. 【餘弦定理】

題目

在同一平面上，相距 7 公里的 \(A,B\) 兩砲台，\(A\) 在 \(B\) 的正東方。某次演習時，\(A\) 向西偏北 \(\theta\) 方向發射砲彈，\(B\) 則向東偏北 \(\theta\) 方向發射砲彈，其中 \(\theta\) 為銳角，觀測回報兩砲彈皆命中 9 公里外的同一目標 \(P\)。接著 \(A\) 改向西偏北 \(\dfrac{\theta}{2}\) 方向發射砲彈，彈著點為 9 公里外的點 \(Q\)。試問砲台 \(B\) 與彈著點 \(Q\) 的距離 \(\overline{BQ}\) 為何？

(1) 4 公里

(2) 4.5 公里

(3) 5 公里

(4) 5.5 公里

(5) 6 公里

答：(3)

詳解

1° \(\triangle ABP\) 中 \(\overline{AP}=\overline{BP}=9\)（等腰），\(\overline{AB}=7\)

2° 餘弦定理：\(\cos\theta=\dfrac{7^2+9^2-9^2}{2\cdot7\cdot9}=\dfrac7{18}\)

3° 半角：\(\cos\dfrac{\theta}2=\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}2}=\sqrt{\dfrac{25}{36}}=\dfrac56\)（\(\frac{\theta}2\) 銳角取正）

4° \(\triangle ABQ\)：\(\overline{BQ}^2=7^2+9^2-2\cdot7\cdot9\cdot\dfrac56=130-105=25\) \(\Rightarrow\) \(\overline{BQ}=5\)

二、多選題

7. 【對數函數】

題目

令坐標平面上滿足 \(y=\log x\) 的點 \((x,y)\) 所成圖形為 \(\Gamma\)，試問滿足下列哪些關係式的 \((x,y)\) 所成圖形與 \(\Gamma\) 完全相同？

(1) \(y+\dfrac{1}{2}=\log(5x)\)

(2) \(2y=\log(x^2)\)

(3) \(3y=\log(x^3)\)

(4) \(x=10^y\)

(5) \(x^3=10^{(y^3)}\)

答：(3)(4)

詳解

1° \(\Gamma\)：\(y=\log x\)，\(x>0\)；化簡時注意定義域有沒有變

(1) \(y=\log5x-\frac12=\log x+\log5-\frac12\)，\(\log5\ne\frac12\)，圖形上下平移，不同

(2) \(2y=\log x^2\) 允許 \(x<0\)，多了左半邊，不同

(3) \(3y=\log x^3\) 仍要 \(x^3>0\) 即 \(x>0\) \(\Rightarrow\) \(3y=3\log x\) \(\Rightarrow\) \(y=\log x\)，相同

(4) \(x=10^y\) \(\Leftrightarrow\) \(y=\log x\)（\(x>0\) 自動成立），相同

(5) \(x^3=10^{y^3}\) \(\Rightarrow\) \(x>0\) 且 \(y^3=3\log x\)，不是 \(y=\log x\)（例：\(x=10\) 時 \(y=\sqrt[3]3\ne1\)）

8. 【正餘弦定理】

題目

對任一正整數 \(n\ge 2\)，令 \(T_n\) 表示邊長為 \(n,n+1,n+2\) 的三角形。試選出正確的選項。

（註：若三角形的三邊長分別為 \(a,b,c\)，令 \(s=\dfrac{a+b+c}{2}\)，則三角形面積為 \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)）

(1) \(T_n\) 皆為銳角三角形

(2) \(T_2,T_3,T_4,\cdots,T_{10}\) 的周長形成等差數列

(3) \(T_n\) 的面積隨 \(n\) 增大而增大

(4) \(T_5\) 的三高依序形成等差數列

(5) \(T_3\) 的最大角大於 \(T_2\) 的最大角

答：(2)(3)

詳解

1° 最大角對 \(n+2\)：\(\cos\theta=\dfrac{n^2+(n+1)^2-(n+2)^2}{2n(n+1)}=\dfrac{(n-3)(n+1)}{2n(n+1)}=\dfrac{n-3}{2n}\)

(1) \(n=2\)：\(\cos\theta<0\)，鈍角；\(n=3\) 直角

(2) 周長 \(3n+3\)，公差 3 的等差數列

(3) \(s=\dfrac{3n+3}2\)，\(s-a=\dfrac{n+3}2\)、\(s-b=\dfrac{n+1}2\)、\(s-c=\dfrac{n-1}2\) 都隨 \(n\) 增大 \(\Rightarrow\) 面積增大

(4) 三高比 = 三邊的倒數比：\(\dfrac13:\dfrac14:\dfrac15=20:15:12\)，\(20-15\ne15-12\)，不是等差

(5) \(T_3\)：\(\cos\theta=0\)，最大角 \(90^\circ\)；\(T_2\)：\(\cos\theta=-\frac14\)，鈍角 \(\Rightarrow\) \(T_2\) 的較大

9. 【二維數據、迴歸直線】

題目

某實驗室蒐集了大量的 \(A\)、\(B\) 兩相似物種，記錄其身長為 \(x\)（單位：公分）與體重 \(y\)（單位：公克），得 \(A\)、\(B\) 兩物種的平均身長分別為 \(\overline{x_A}=5.2\)、\(\overline{x_B}=6\)，標準差分別為 0.3、0.1。令 \(A\)、\(B\) 兩物種的平均體重分別為 \(\overline{y_A}\)、\(\overline{y_B}\)。若 \(A\)、\(B\) 兩物種其體重 \(y\) 對身長 \(x\) 的迴歸直線分別為 \(L_A:y=2x-0.6\)、\(L_B:y=1.5x+0.4\)，相關係數分別為 0.6、0.3。今發現一隻身長 5.6 公分、體重 8.6 公克的個體 \(P\)，試選出正確的選項。

(1) \(\overline{y_A}<\overline{y_B}\)

(2) \(A\) 物種的體重標準差小於 \(B\) 物種的體重標準差

(3) 就 \(A\) 物種而言，個體 \(P\) 的體重與平均體重 \(\overline{y_A}\) 之差的絕對值大於一個標準差

(4) 點 \((5.6,\ 8.6)\) 到直線 \(L_A\) 的距離小於其到直線 \(L_B\) 的距離

(5) 點 \((5.6,\ 8.6)\) 與點 \((\overline{x_A},\ \overline{y_A})\) 的距離小於其與點 \((\overline{x_B},\ \overline{y_B})\) 的距離

答：(3)

詳解

1° 平均點在迴歸線上：\(\overline{y_A}=2(5.2)-0.6=9.8\)、\(\overline{y_B}=1.5(6)+0.4=9.4\)

2° \(m=r\cdot\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}\)：\(2=0.6\cdot\dfrac{\sigma_{y_A}}{0.3}\) \(\Rightarrow\) \(\sigma_{y_A}=1\)；\(1.5=0.3\cdot\dfrac{\sigma_{y_B}}{0.1}\) \(\Rightarrow\) \(\sigma_{y_B}=0.5\)

(1) \(9.8>9.4\)

(2) \(1>0.5\)

(3) \(|8.6-9.8|=1.2>1\)

(4) 到 \(L_A\)：\(\dfrac{|2(5.6)-8.6-0.6|}{\sqrt5}=\dfrac2{\sqrt5}\approx0.89\)；到 \(L_B\)：\(\dfrac{|1.5(5.6)-8.6+0.4|}{\sqrt{3.25}}=\dfrac{0.2}{\sqrt{3.25}}\approx0.11\) \(\Rightarrow\) 到 \(L_A\) 較遠

(5) 距離平方：到 \((5.2,9.8)\)：\(0.4^2+1.2^2=1.6\)；到 \((6,9.4)\)：\(0.4^2+0.8^2=0.8\) \(\Rightarrow\) 到 \(B\) 平均點較近

10. 【平面向量、坐標】

題目

坐標平面上有一正方形與一正六邊形，正方形在正六邊形的右邊。已知兩正多邊形都有一邊在 \(x\) 軸上，且正方形中心 \(A\) 與正六邊形中心 \(B\) 都在 \(x\) 軸的上方，且兩多邊形恰有一個交點 \(P\)，又知正方形的邊長為 6，而點 \(P\) 到 \(x\) 軸的距離為 \(2\sqrt{3}\)。試選出正確的選項。

(1) 點 \(A\) 到 \(x\) 軸的距離大於點 \(B\) 到 \(x\) 軸的距離

(2) 正六邊形的邊長為 6

(3) \(\overrightarrow{BA}=(7,\ 3-2\sqrt{3})\)

(4) \(\overline{AP}>\sqrt{10}\)

(5) 直線 \(AP\) 斜率大於 \(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

答：(3)(5)

詳解

1° 兩多邊形只交一點 \(\Rightarrow\) \(P\) 是六邊形最右頂點，在正方形左邊上

2° 六邊形最右頂點高度 \(=\dfrac{\sqrt3}2s=2\sqrt3\) \(\Rightarrow\) 邊長 \(s=4\)

3° 設六邊形中心在 \(y\) 軸：\(B(0,2\sqrt3)\)、\(P(4,2\sqrt3)\)；正方形 \(x\) 從 4 到 10 \(\Rightarrow\) \(A(7,3)\)

(1) \(3<2\sqrt3\approx3.46\)

(2) 邊長 4

(3) \(\overrightarrow{BA}=(7-0,\ 3-2\sqrt3)=(7,\ 3-2\sqrt3)\)

(4) \(|\overrightarrow{AP}|^2=(-3)^2+(2\sqrt3-3)^2=30-12\sqrt3\approx9.2<10\)

(5) 斜率 \(=\dfrac{2\sqrt3-3}{4-7}=1-\dfrac2{\sqrt3}\approx-0.15>-\dfrac1{\sqrt3}\approx-0.58\)

11. 【機率、條件機率】

題目

考慮二元一次方程組 \(\begin{cases}ax+6y=6\\x+by=1\end{cases}\)，其係數 \(a,b\) 之值分別由投擲一顆公正骰子與一枚均勻硬幣來決定。令 \(a\) 值為骰子出現之點數；若硬幣出現正面時 \(b\) 值為 1，若硬幣出現反面時 \(b\) 值為 2。試選出正確的選項。

(1) 擲出 \(a=b\) 的機率為 \(\dfrac{1}{3}\)

(2) 此方程組無解的機率為 \(\dfrac{1}{12}\)

(3) 此方程組有唯一解的機率為 \(\dfrac{5}{6}\)

(4) 硬幣出現反面且此方程組有解的機率為 \(\dfrac{1}{2}\)

(5) 在硬幣出現反面且此方程組有解的條件下，\(x\) 值為正的機率為 \(\dfrac{2}{5}\)

答：(2)(3)

詳解

1° 先決定分母：\((a,b)\) 共 \(6\times2=12\) 種，等機率

2° 無解 \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac a1=\dfrac6b\ne\dfrac61\)；唯一解 \(\Leftrightarrow\) \(ab\ne6\)

(1) \(a=b\)：\((1,1)\)、\((2,2)\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac2{12}=\dfrac16\)

(2) \(ab=6\) 且 \(b\ne1\) \(\Rightarrow\) 只有 \((3,2)\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac1{12}\)（\((6,1)\) 是無限多解）

(3) \(ab=6\) 只有 \((6,1)\)、\((3,2)\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{10}{12}=\dfrac56\)

(4) \(b=2\) 且 \(a\ne3\)：5 種 \(\Rightarrow\) \(\dfrac5{12}\)

(5) 限定 \(b=2\)、\(a\ne3\)：\(x+2y=1\) 乘 3 相減 \(\Rightarrow\) \((a-3)x=3\) \(\Rightarrow\) \(x=\dfrac3{a-3}>0\) \(\Leftrightarrow\) \(a=4,5,6\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac35\)

12. 【線性變換】

題目

在坐標平面上給定三點 \(A(1,0)\)、\(B(0,1)\)、\(C(-1,0)\)，令 \(\Gamma\) 為 \(\Delta ABC\) 經矩陣 \(T=\begin{bmatrix}3&0\\a&1\end{bmatrix}\) 變換後的圖形，其中 \(a\) 為實數。試選出正確的選項。

(1) 若 \(a=0\)，則 \(\Gamma\) 為等腰直角三角形

(2) \(\Delta ABC\) 的邊上至少有兩點經 \(T\) 變換後坐標不變

(3) \(\Gamma\) 必有部分落在第四象限

(4) 平面上找得到一個圖形 \(\Omega\) 經 \(T\) 變換後為 \(\Delta ABC\)

(5) \(\Gamma\) 的面積為定值

答：(2)(4)(5)

詳解

1° 頂點逐一乘 \(T\)：\(A(1,0)\to(3,a)\)、\(B(0,1)\to(0,1)\)、\(C(-1,0)\to(-3,-a)\)

(1) \(a=0\)：\((3,0)\)、\((0,1)\)、\((-3,0)\)，三邊 \(\sqrt{10}\)、\(\sqrt{10}\)、\(6\)，\(10+10\ne36\) \(\Rightarrow\) 等腰但不是直角三角形

(2) 不動點：\(T\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\) \(\Rightarrow\) \(3x=x\)、\(ax+y=y\) \(\Rightarrow\) \(x=0\) 上的點都不動；\(\triangle ABC\) 邊上有 \((0,1)\)、\((0,0)\) 兩點

(3) \(a=0\) 時 \(\Gamma\) 在 \(x\) 軸上方，沒有落在第四象限

(4) \(\det T=3\ne0\) \(\Rightarrow\) \(T\) 有反矩陣，\(\Omega=T^{-1}(\triangle ABC)\)

(5) 面積變成 \(|\det T|=3\) 倍 \(\Rightarrow\) \(3\times1=3\)，定值

三、選填題

13. 【加權平均】

題目

某銷售站銷售甲、乙、丙三型手機，甲手機每支利潤 100 元，乙手機每支利潤 400 元，丙手機每支利潤 240 元。上年度甲、乙、丙手機各賣出 \(A,B,C\) 支，平均每支利潤為 260 元；且知銷售甲、乙兩型手機共 \(A+B\) 支的平均每支利潤為 280 元。則該站上年度售出的三型手機數量比為 \(A:B:C=\) _____ \(:\) _____ \(:\) _____。（化為最簡整數比）

答：2 : 3 : 5

詳解

1° 總利潤 = 支數 × 平均：\(100A+400B+240C=260(A+B+C)\)；\(100A+400B=280(A+B)\)

2° 第二式：\(120B=180A\) \(\Rightarrow\) \(A:B=2:3\)

3° 第一式：\(-160A+140B-20C=0\) \(\Rightarrow\) \(C=7B-8A\)

4° 取 \(A=2\)、\(B=3\) \(\Rightarrow\) \(C=21-16=5\) \(\Rightarrow\) \(2:3:5\)

14. 【多項式除法】

題目

已知 \(f(x)\)、\(g(x)\)、\(h(x)\) 皆為實係數三次多項式，且除以 \(x^2-2x+3\) 的餘式分別為 \(x+1\)、\(x-3\)、\(-2\)。若 \(xf(x)+ag(x)+bh(x)\) 可以被 \(x^2-2x+3\) 整除，其中 \(a,b\) 為實數，則 \(a=\) _____，\(b=\) _____。

答：a = −3，b = 3

詳解

1° 看到除以…餘…，先列式：\(f=(x^2-2x+3)Q_1+x+1\)、\(g=(x^2-2x+3)Q_2+x-3\)、\(h=(x^2-2x+3)Q_3-2\)

2° 代入 \(xf+ag+bh\)，含 \((x^2-2x+3)\) 的部分都被整除 \(\Rightarrow\) 只剩 \(x(x+1)+a(x-3)-2b\) 要被整除

3° 用除式降次 \(x^2=2x-3\)：\(x^2+x+ax-3a-2b=(3+a)x+(-3-3a-2b)\)

4° 餘式為 0 \(\Rightarrow\) \(3+a=0\)、\(-3-3a-2b=0\) \(\Rightarrow\) \(a=-3\)、\(b=3\)

15. 【期望值】

題目

某商場舉辦現場報名的摸彩箱抽獎活動，報名截止後，主持人依報名人數置入同數量的摸彩球，其中有 10 顆被標示為幸運獎，其獎項為 5000 元禮券及 8000 元禮券各 5 顆，每顆球被抽中的機率皆相同，抽後不放回。抽獎前，主辦單位依獎項個數與報名人數，主持人公告中獎機率為 0.4%。開始抽獎後，每人依序抽球，每個人只有一次抽獎機會。若前 100 位參加抽獎者，恰有 1 人抽中 5000 元禮券且沒有人抽中 8000 元禮券，則抽獎順序為第 101 號者可獲禮券金額的期望值為 _____ 元。

答：25

詳解

1° 設球數 \(x\)：\(\dfrac{10}x=0.4\%\) \(\Rightarrow\) \(x=2500\)

2° 前 100 人抽走 1 顆 5000 元、99 顆沒獎 \(\Rightarrow\) 剩 2400 顆：5000 元 4 顆、8000 元 5 顆

3° 期望值 \(=5000\times\dfrac4{2400}+8000\times\dfrac5{2400}=\dfrac{60000}{2400}=25\)

16. 【正射影】

題目

坐標平面上，已知向量 \(\vec{v}\) 在向量 \((2,-3)\) 方向的正射影長比原長少 1，而在向量 \((3,2)\) 方向的正射影長比原長少 2。若 \(\vec{v}\) 與兩向量 \((2,-3),(3,2)\) 的夾角皆為銳角，則 \(\vec{v}\) 在向量 \((4,7)\) 方向的正射影長為 \(\dfrac{\_\_\_\sqrt{\_\_\_}}{\_\_\_}\)。（化為最簡根式）

答：2√5/5

詳解

1° \((2,-3)\cdot(3,2)=0\) \(\Rightarrow\) 兩個正射影是 \(\vec v\) 的兩個直角分量

3° 夾角皆銳角 \(\Rightarrow\) \(\vec v=4\cdot\dfrac{(2,-3)}{\sqrt{13}}+3\cdot\dfrac{(3,2)}{\sqrt{13}}=\dfrac{(17,-6)}{\sqrt{13}}\)

4° 在 \((4,7)\) 方向的正射影長 \(=\dfrac{\vec v\cdot(4,7)}{|(4,7)|}=\dfrac{(68-42)/\sqrt{13}}{\sqrt{65}}=\dfrac{2\sqrt{13}}{\sqrt{65}}=\dfrac2{\sqrt5}=\dfrac{2\sqrt5}5\)

17. 【直線與區域】

題目

坐標平面上，在以 \(O(0,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0)\) 為頂點的正方形（含邊界）內，令 \(R\) 為滿足下述條件的點 \(P(x,y)\) 所成區域：與點 \(P(x,y)\) 的距離為 \(|x-y|\) 之所有點所成圖形完全落在正方形 \(OABC\)（含邊界）內。則區域 \(R\) 的面積為 \(\dfrac{\_\_\_}{\_\_\_}\)。（化為最簡分數）

答：1/3

詳解

1° 以 \(P\) 為圓心、半徑 \(r=|x-y|\) 的圓落在正方形內：\(x-r\ge0\)、\(y-r\ge0\)、\(x+r\le1\)、\(y+r\le1\)

2° \(x\ge y\)：\(r=x-y\) \(\Rightarrow\) \(y\ge0\)、\(x\le2y\)、\(2x-y\le1\)、\(x\le1\) \(\Rightarrow\) 頂點 \((0,0)\)、\((\frac23,\frac13)\)、\((1,1)\)

3° \(x<y\)：對稱 \(\Rightarrow\) \(y\le2x\)、\(2y-x\le1\) \(\Rightarrow\) 頂點 \((0,0)\)、\((\frac13,\frac23)\)、\((1,1)\)

4° 作圖得平行四邊形，面積 \(=\left|\det\begin{bmatrix}\frac23&\frac13\\\frac13&\frac23\end{bmatrix}\right|=\dfrac49-\dfrac19=\dfrac13\)

第貳部分、混合題或非選擇題

18–20 題為題組

坐標空間中，設 \(O\) 為原點，\(E\) 為平面 \(x-z=4\)。試回答下列問題。

18. 【空間平面、投影點】

題目

若原點 \(O\) 在平面 \(E\) 上的投影點為 \(Q\)，且向量 \(\overrightarrow{OQ}\) 與向量 \((1,0,0)\) 的夾角為 \(\alpha\)，則 \(\cos\alpha\) 之值為下列哪一選項？（單選題，3 分）

(1) \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

(2) \(-\dfrac{1}{2}\)

(3) \(\dfrac{1}{2}\)

(4) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

(5) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

答：(4)

詳解

1° 過 \(O\) 沿法向量 \((1,0,-1)\) 設 \(Q(t,0,-t)\)，代入 \(x-z=4\) \(\Rightarrow\) \(2t=4\) \(\Rightarrow\) \(t=2\) \(\Rightarrow\) \(Q(2,0,-2)\)

2° \(\cos\alpha=\dfrac{(2,0,-2)\cdot(1,0,0)}{2\sqrt2\cdot1}=\dfrac{\sqrt2}2\)

19. 【空間向量、夾角】

題目

已知空間中有一點 \(P(a,b,c)\) 滿足向量 \(\overrightarrow{OP}\) 與向量 \((1,0,0)\) 的夾角 \(\theta\le\dfrac{\pi}{6}\)。試說明實數 \(a,b,c\) 滿足不等式 \(a^2\ge 3(b^2+c^2)\)。（非選擇題，4 分）

答：a² ≥ 3(b² + c²)（證明如下）

詳解

1° \(\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{OP}\cdot(1,0,0)}{|\overrightarrow{OP}|}=\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

2° \(0\le\theta\le\dfrac{\pi}6\) \(\Rightarrow\) \(\cos\theta\ge\cos\dfrac{\pi}6=\dfrac{\sqrt3}2\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\ge\dfrac{\sqrt3}2>0\)（所以 \(a>0\)）

3° 兩邊都正，平方：\(\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac34\) \(\Rightarrow\) \(4a^2\ge3a^2+3b^2+3c^2\)

4° \(\Rightarrow\) \(a^2\ge3(b^2+c^2)\)

20. 【空間平面、二次函數最值】

題目

承 19 題，已知點 \(P\) 在平面 \(E\) 上且 \(b=0\)。試求 \(c\) 的最大可能範圍，並求線段 \(\overline{OP}\) 的最小可能長度。（非選擇題，8 分）

答：2 − 2√3 ≤ c ≤ 2 + 2√3，OP 最小 4√3 − 4

詳解

1° \(P\) 在 \(E\) 上：\(a-c=4\) \(\Rightarrow\) \(a=4+c\)；又 \(b=0\)

2° 代 19 題：\(a^2\ge3c^2\) 且 \(a>0\) \(\Rightarrow\) \((4+c)^2\ge3c^2\) \(\Rightarrow\) \(c^2-4c-8\le0\) \(\Rightarrow\) \(2-2\sqrt3\le c\le2+2\sqrt3\)

3° 檢查 \(a=4+c>0\)：\(c\ge2-2\sqrt3>-4\)，成立 \(\Rightarrow\) \(c\) 的最大可能範圍 \(2-2\sqrt3\le c\le2+2\sqrt3\)

4° \(\overline{OP}^2=a^2+c^2=(4+c)^2+c^2=2c^2+8c+16=2(c+2)^2+8\)

5° 頂點 \(c=-2\) 不在範圍內（\(2-2\sqrt3\approx-1.46\)），開口向上 \(\Rightarrow\) 最小在端點 \(c=2-2\sqrt3\)

6° \(\overline{OP}^2=2(4-2\sqrt3)^2+8=64-32\sqrt3\) \(\Rightarrow\) \(\overline{OP}=\sqrt{64-32\sqrt3}=\sqrt{48}-\sqrt{16}=4\sqrt3-4\)（雙重根號大減小）

113 學測數學五標

頂標：12
前標：10
均標：7
後標：5
底標：3