113 分科數學甲 詳解試題分析

113 分科數學甲詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。

1	2	3	4	5	6
(5)	(2)	(4)	(1)(4)	(2)(3)(4)	(3)(4)
7	8	9	10	11	12
(1)(2)(5)	(2)(5)	\(x=-7,\ y=0\)	\(\frac{\sqrt5}{4}\)	\(\frac{25}{2}\)	\(P(1,2,4)\)

13	14	15	16	17
證明見內文	\(x+y-z=11\) 或 \(x+y-z=-13\)	(4)	\(y=3\)	108

一、單選題

1. 【三角比】

答：(5)

1° \(\tan B=\dfrac{\overline{AD}}{\overline{BD}}\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{12}{\overline{BD}}=\dfrac32\) \(\Rightarrow\) \(\overline{BD}=8\)

2° \(\tan C=\dfrac{\overline{AD}}{\overline{DC}}\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{12}{\overline{DC}}=\dfrac23\) \(\Rightarrow\) \(\overline{DC}=18\)

3° \(\overline{BC}=8+18=26\)

2. 【二次曲線】

答：(2)

1° 沿 \(x\) 軸伸縮 2 倍、沿 \(y\) 軸伸縮 3 倍：\(x\to\dfrac x2\)、\(y\to\dfrac y3\) \(\Rightarrow\) 新圖形 \(\dfrac{x^2}{(2a)^2}+\dfrac{y^2}{18^2}=1\)

2° 過 \((18,0)\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{18^2}{(2a)^2}=1\) \(\Rightarrow\) \(2a=18\) \(\Rightarrow\) \(a=9\)

3° 原橢圓 \(\dfrac{x^2}{9^2}+\dfrac{y^2}{6^2}=1\)，\(9>6\) \(\Rightarrow\) 橫躺，焦點在 \(x\) 軸上

4° \(c^2=9^2-6^2=45\) \(\Rightarrow\) \(c=3\sqrt5\) \(\Rightarrow\) 焦點 \((\pm3\sqrt5,0)\)

3. 【排列組合】

答：(4)

1° 先隨便放：選 4 列、選 4 行，再一一配對 \(\Rightarrow\) \(C^5_4\times C^5_4\times4!=600\)

2° 扣掉用到禁格的：固定一顆在某個禁格（第一列與該行都用掉），其餘 3 顆放在剩下的 \(4\times4\)：\(C^4_3\times C^4_3\times3!=96\)

3° 禁格有 3 個，都在第一列，同一列不會同時用兩格 \(\Rightarrow\) 沒有重複扣：\(96\times3=288\)

4° \(600-288=312\)

二、多選題

4. 【機率、幾何分布】

答：(1)(4)

(1) 中一次所需次數是幾何分布，\(p=\dfrac1{10}\) \(\Rightarrow\) \(E=\dfrac1p=10\)

(2) 兩次至少中一次 \(=1-0.9^2=0.19\)

(3) 10 次都沒中 \(=0.9^{10}\)；取 log：\(10(\log9-1)=10(2\times0.4771-1)=-0.458=-1+0.542\)

\(\log3<0.542<\log4\) \(\Rightarrow\) \(0.9^{10}=3.\cdots\times10^{-1}>0.1\)（抽 1 次就中的機率）

(4) 存 \(n\) 個：至少中一次 \(=1-0.9^n>0.9\) \(\Rightarrow\) \(0.9^n<0.1\) \(\Rightarrow\) \(n(2\log3-1)<-1\) \(\Rightarrow\) \(n>\dfrac1{0.0458}\approx21.8\) \(\Rightarrow\) 至少 22 個

(5) \(1-0.9^n<1\)，永遠到不了 1

5. 【多項式】

答：(2)(3)(4)

1° 實係數、\(-2-3i\) 是根 \(\Rightarrow\) \(-2+3i\) 也是根 \(\Rightarrow\) 因式 \((x+2)^2+9=x^2+4x+13\)

2° 設 \(f(x)=(x^2+4x+13)(ax+b)\)

3° \(x^2+x-2=(x+2)(x-1)\)，餘 18 \(\Rightarrow\) \(f(-2)=f(1)=18\)

4° \(f(-2)=9(-2a+b)=18\) \(\Rightarrow\) \(-2a+b=2\)；\(f(1)=18(a+b)=18\) \(\Rightarrow\) \(a+b=1\) \(\Rightarrow\) \(a=-\dfrac13\)，\(b=\dfrac43\)

5° \(f(x)=-\dfrac13(x^2+4x+13)(x-4)=-\dfrac13x^3+x+\dfrac{52}3\)

(1) 三根為 \(-2\pm3i\)、4，\(2+3i\) 不是根

(2) 由 3°，\(f(-2)=18\)

(3) 三次項係數 \(-\dfrac13<0\)

(4) 實根只有 4（\(x^2+4x+13\) 判別式 \(<0\)）\(\Rightarrow\) 恰一正實根

(5) 5° 沒有 \(x^2\) 項，已是標準式 \(\Rightarrow\) 對稱中心 \(\Big(0,\dfrac{52}3\Big)\) 在 \(y\) 軸上，不在第一象限

6. 【空間向量、外積】

答：(3)(4)

1° \(\vec u\cdot\vec v=|\vec u||\vec v|\cos\theta=\sqrt{15}\)；\(|\vec u\times\vec v|=|\vec u||\vec v|\sin\theta=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\)

(1) \(\tan\theta=\dfrac{|\vec u\times\vec v|}{\vec u\cdot\vec v}=\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{15}}<1\) \(\Rightarrow\) \(\theta<\dfrac\pi4\)

(2) \(\vec u\) 一定 \(\perp\vec u\times\vec v\)；\((1,0,-1)\cdot(-1,0,3)=-4\ne0\)

(3) \((\vec u\cdot\vec v)^2+|\vec u\times\vec v|^2=|\vec u|^2|\vec v|^2\) \(\Rightarrow\) \(|\vec u|^2|\vec v|^2=15+10=25\) \(\Rightarrow\) \(|\vec u||\vec v|=5\)

算幾不等式：\(|\vec u|+|\vec v|\ge2\sqrt{|\vec u||\vec v|}=2\sqrt5\)

(4) 已知 \(\vec v\)：\(\vec u\cdot\vec v=\sqrt{15}\) 與 \(\vec u\times\vec v=(-1,0,3)\) 共三個條件 \(\Rightarrow\) \(\vec u\) 唯一

(5) \(|\vec u|\)、\(|\vec v|\) 是 \(t^2-st+5=0\) 的兩根（\(s=|\vec u|+|\vec v|\)），兩根可以對調；例 \(s=6\)：\(|\vec v|=1\) 或 5

7. 【微分的應用、三角函數圖形】

答：(1)(2)(5)

1° \(f'(x)=5x^4-15x^2+10x=5x(x^3-3x+2)\)，猜 \(x=1\) 是根 \(\Rightarrow\) \(f'(x)=5x(x-1)^2(x+2)\)

2° \(f''(x)=20x^3-30x+10=10(2x^3-3x+1)\)，猜 \(x=1\) \(\Rightarrow\) \(f''(x)=10(x-1)(2x^2+2x-1)\)，\(2x^2+2x-1=0\) 的正根 \(\dfrac{-1+\sqrt3}2\approx0.37\)

3° 正負表（\(x\ge0\) 部分）：

區間	\(0\sim0.37\)	\(0.37\sim1\)	\(1\sim2\)	\(x>2\)
\(f'\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\(f''\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)

(1) \(f'(1)=5\cdot1\cdot0\cdot3=0\)

(2) \([0,2]\) 上 \(f'\ge0\)，只在 \(x=0\)、\(1\) 兩個孤立點為 0 \(\Rightarrow\) 遞增

(3) \(0.37<x<1\) 時 \(f''<0\)，凹向下（例 \(f''\big(\frac12\big)=\frac52-15+10<0\)）

(4) \(g\) 的週期 \(=2\pi\div\dfrac\pi3=6\)；\(g(6\pi)=\sin\Big(2\pi^2+\dfrac\pi2\Big)=\cos2\pi^2\)，\(\cos2\pi^2=1\) 要 \(2\pi^2=2k\pi\)，即 \(\pi=k\) 為整數，不可能 \(\Rightarrow\) \(g(6\pi)\ne g(0)=1\)

(5) \(x>0\) 時 \(f'\ge0\) \(\Rightarrow\) \(f\) 在 \([3,4]\) 遞增；\(3\le x\le4\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{3\pi}2\le\dfrac{\pi x}3+\dfrac\pi2\le\dfrac{11\pi}6\)，\(\sin\) 在 \(\Big[\dfrac{3\pi}2,2\pi\Big]\) 遞增 \(\Rightarrow\) \(g\) 遞增

8. 【複數、數列極限】

答：(2)(5)

1° \(z^n=\alpha^n(\cos n\beta+i\sin n\beta)\) \(\Rightarrow\) \(x_n=\alpha^n\cos n\beta\)，\(y_n=\alpha^n\sin n\beta\)

(1) \(x_{10}=\cos\dfrac{30\pi}7=\cos\Big(\dfrac{30\pi}7-4\pi\Big)=\cos\dfrac{2\pi}7>0\)；\(x_3=\cos\dfrac{9\pi}7<0\)（第三象限）

(2) \(y_3=0\) \(\Rightarrow\) \(\sin3\beta=0\) \(\Rightarrow\) \(\sin6\beta=2\sin3\beta\cos3\beta=0\) \(\Rightarrow\) \(y_6=0\)

(3) \(x_6=\alpha^6\cos6\beta=\alpha^6(2\cos^23\beta-1)=2(\alpha^3\cos3\beta)^2-\alpha^6=2-\alpha^6\)，推不出 \(x_6=1\)；例 \(\alpha=\sqrt2\)、\(\cos3\beta=\dfrac1{2\sqrt2}\)：\(x_3=1\)，\(x_6=2-8=-6\)

(4) 反例：\(\alpha=2\)、\(\beta=0\) \(\Rightarrow\) \(y_n=0\) 收斂，但 \(\alpha>1\)

(5) 由 (3) 的算法：\(x_{2n}=2x_n^2-\alpha^{2n}\)

\(\alpha<1\)：\(|y_n|\le\alpha^n\to0\) \(\Rightarrow\) 由夾擠，\(y_n\to0\) 收斂

\(\alpha>1\)：若 \(x_n\to L\)，則 \(x_{2n}\to L\)，但 \(2x_n^2-\alpha^{2n}\to-\infty\)，矛盾 \(\Rightarrow\) 不會發生

\(\alpha=1\)：\(x_n=\cos n\beta\to L\) \(\Rightarrow\) \(L=2L^2-1\) \(\Rightarrow\) \(L=1\) 或 \(-\dfrac12\)（\(L\ne0\)）；和角公式 \(\cos(n+1)\beta+\cos(n-1)\beta=2\cos n\beta\cos\beta\) 取極限 \(\Rightarrow\) \(2L=2L\cos\beta\) \(\Rightarrow\) \(\cos\beta=1\) \(\Rightarrow\) \(\beta=0\) \(\Rightarrow\) \(y_n=0\) 收斂

三、選填題

9. 【矩陣】

答：x = −7，y = 0

1° 化簡後的增廣矩陣讀出解：第一組 \(y=2\)、\(x=3+2=5\)；第二組 \(y=-1\)、\(x=2-1=1\)

2° 代回原方程組：\(\begin{cases}5a+2b=2\\a-b=-1\end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(a=0\)，\(b=1\)；\(\begin{cases}5c+2d=1\\c-d=-1\end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(c=-\dfrac17\)，\(d=\dfrac67\)

3° 係數矩陣 \(A=\begin{bmatrix}0&1\\-\frac17&\frac67\end{bmatrix}\)，\(\det A=0\cdot\dfrac67-1\cdot\Big(-\dfrac17\Big)=\dfrac17\) \(\Rightarrow\) \(A^{-1}=7\begin{bmatrix}\frac67&-1\\\frac17&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&-7\\1&0\end{bmatrix}\)

4° \(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=A^{-1}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-7\\0\end{bmatrix}\) \(\Rightarrow\) \(x=-7\)，\(y=0\)

10. 【圓】

答：√5/4

1° 設半徑 \(r\)，\(P(r,0)\)；圓心 \(O\) 到弦 \(PQ\) 作垂線，垂足 \(M\) 平分弦 \(\Rightarrow\) \(\overline{PM}=\dfrac12\)

2° 斜率 \(\dfrac12\) \(\Rightarrow\) 畫 \(2\times1\) 的直角三角形，\(PQ\) 與 \(x\) 軸夾角 \(\alpha\)：\(\cos\alpha=\dfrac2{\sqrt5}\)

3° 直角 \(\triangle OMP\)：\(\overline{PM}=r\cos\alpha\) \(\Rightarrow\) \(r\cdot\dfrac2{\sqrt5}=\dfrac12\) \(\Rightarrow\) \(r=\dfrac{\sqrt5}4\)

11. 【等差數列、對數】

答：25/2

1° \(\log_2a_3\)、\(\log_2b\)、\(\log_2a_9\) 成等差 \(\Rightarrow\) \(2\log_2b=\log_2a_3+\log_2a_9\) \(\Rightarrow\) \(b^2=a_3a_9\)（\(b>0\)）

2° 全部換成 \(a_3\)：\(b=a_3+2k\)（\(k=1\sim5\)），\(a_9=a_3+12\)

3° \((a_3+2k)^2=a_3(a_3+12)\) \(\Rightarrow\) \(4ka_3+4k^2=12a_3\) \(\Rightarrow\) \(a_3=\dfrac{k^2}{3-k}\)

4° \(a_3>0\) \(\Rightarrow\) \(k<3\)：\(k=1\)，\(a_3=\dfrac12\)，\(a_1=a_3-4=-\dfrac72\)；\(k=2\)，\(a_3=4\)，\(a_1=0\)（不合）

5° \(a_9=\dfrac12+12=\dfrac{25}2\)

第貳部分、混合題或非選擇題

12–14 題為題組

12. 【空間中的平面與直線】

答：P(1, 2, 4)

1° \(E_1+E_3\)：\(2x=2\) \(\Rightarrow\) \(x=1\)

2° \(E_1-E_2\)：\(2y=4\) \(\Rightarrow\) \(y=2\)

3° 代入 \(E_1\)：\(z=7-1-2=4\)

4° 驗證：\(E_2\)：\(1-2+4=3\)；\(E_3\)：\(1-2-4=-5\)，都成立 \(\Rightarrow\) \(P(1,2,4)\)

13. 【空間中的直線】

答：證明見內文

1° \(L_3\)（\(E_1\)、\(E_2\)）：兩式相減 \(2y=4\) \(\Rightarrow\) \(y=2\)，\(x+z=5\)，令 \(x=t\) \(\Rightarrow\) \((t,2,5-t)\)，方向 \(\vec l_3=(1,0,-1)\)

2° \(L_1\)（\(E_2\)、\(E_3\)）：兩式相減 \(2z=8\) \(\Rightarrow\) \(z=4\)，\(x-y=-1\)，令 \(x=t\) \(\Rightarrow\) \((t,t+1,4)\)，方向 \(\vec l_1=(1,1,0)\)

3° \(L_2\)（\(E_3\)、\(E_1\)）：兩式相加 \(2x=2\) \(\Rightarrow\) \(x=1\)，\(y+z=6\)，令 \(y=t\) \(\Rightarrow\) \((1,t,6-t)\)，方向 \(\vec l_2=(0,1,-1)\)

4° 三個方向向量長度都是 \(\sqrt2\)：

\(\cos\alpha=\dfrac{|\vec l_1\cdot\vec l_2|}{|\vec l_1||\vec l_2|}=\dfrac{|0+1+0|}{2}=\dfrac12\)

\(\cos\beta=\dfrac{|\vec l_2\cdot\vec l_3|}{|\vec l_2||\vec l_3|}=\dfrac{|0+0+1|}2=\dfrac12\)

\(\cos\gamma=\dfrac{|\vec l_3\cdot\vec l_1|}{|\vec l_3||\vec l_1|}=\dfrac{|1+0+0|}2=\dfrac12\)

5° \(\alpha=\beta=\gamma=60^\circ\)，任兩直線所夾的銳角皆為 \(60^\circ\)

14. 【空間中的平面】

答：x + y − z = 11 或 x + y − z = −13

1° 正四面體以 \(P\) 為頂點，三條邊在 \(L_1\)、\(L_2\)、\(L_3\) 上，三邊兩兩夾 \(60^\circ\) \(\Rightarrow\) 取兩兩內積為正的方向 \(\vec l_1=(1,1,0)\)、\(\vec l_2=(0,1,-1)\)、\(\vec l_3=(1,0,-1)\)（或三個都取反方向）

2° 邊長 \(6\sqrt2=6|\vec l_i|\) \(\Rightarrow\) 另三頂點 \(A=P+6\vec l_1=(7,8,4)\)、\(B=P+6\vec l_2=(1,8,-2)\)、\(C=P+6\vec l_3=(7,2,-2)\)

3° 正四面體 \(P\) 到底面的垂足是底面重心 \(G\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{PG}=\dfrac{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}}3\) \(\parallel\) \(\vec l_1+\vec l_2+\vec l_3=(2,2,-2)\parallel(1,1,-1)\) \(\Rightarrow\) \(E_4\) 的法向量 \((1,1,-1)\)

4° 設 \(E_4\)：\(x+y-z=c\)；正四面體的高 \(=\dfrac{\sqrt6}3\times6\sqrt2=4\sqrt3\) \(=\) \(P\) 到 \(E_4\) 的距離

5° \(\dfrac{|1+2-4-c|}{\sqrt3}=4\sqrt3\) \(\Rightarrow\) \(|c+1|=12\) \(\Rightarrow\) \(c=11\) 或 \(-13\)

6° 驗證：\(A\)、\(B\)、\(C\) 代入 \(x+y-z\) 都是 11；三個方向都取反時三頂點 \((-5,-4,4)\)、\((1,-4,10)\)、\((-5,2,10)\) 代入都是 \(-13\)

7° \(E_4\)：\(x+y-z=11\) 或 \(x+y-z=-13\)

15–17 題為題組

15. 【微分】

答：(4)

1° 次方拿下來、次方減 1：\(f'(x)=3x^2-18x+15\)

16. 【微分、切線】

答：y = 3

1° \(f(1)=1-9+15-4=3\) \(\Rightarrow\) \(P(1,3)\) 在 \(\Gamma\) 上

2° 切線斜率 \(m=f'(1)=3-18+15=0\)

3° \(L\)：\(y-3=0\cdot(x-1)\) \(\Rightarrow\) \(y=3\)

17. 【積分、面積】

答：108

1° 交點：\(f(x)=3\) \(\Rightarrow\) \(x^3-9x^2+15x-7=0\)，切點是二重根 \(\Rightarrow\) \((x-1)^2(x-7)=0\) \(\Rightarrow\) \(x=1\)、7

2° \(1<x<7\) 時 \(f(x)-3=(x-1)^2(x-7)<0\) \(\Rightarrow\) \(L\) 在上、\(\Gamma\) 在下

3° 上減下：面積 \(=\displaystyle\int_1^7\big(3-f(x)\big)dx=\int_1^7\big(-x^3+9x^2-15x+7\big)dx\)

4° \(=\Big[-\dfrac{x^4}4+3x^3-\dfrac{15}2x^2+7x\Big]_1^7=\dfrac{441}4-\dfrac94=108\)