112 學測數學A 詳解試題分析

112 學測數學A詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。

1	2	3	4	5	6
(4)	(5)	(4)	(1)	(2)	(3)
7	8	9	10	11	12
(3)(5)	(1)(4)	(3)(5)	(1)(3)(5)	(2)(5)	(1)(5)

13	14	15	16	17
80	\((3,-9)\)	\(\frac34\)	\(2\sqrt2\)	\(5\sqrt2\)

18	19	20
(4)	\(Q\left(-\frac{36}{25},\frac{48}{25}\right)\)，\(\overrightarrow{BQ}=2\overrightarrow{AP}\)	距離 \(\frac{72}{25}\)，面積 \(\frac{108}{25}\)

一、單選題

1. 【指數】

答：(4)

1° 按 3 次 \(\sqrt{\ }\) \(\Rightarrow\) \(\Big(\big(N^{\frac12}\big)^{\frac12}\Big)^{\frac12}=N^{\frac18}=2\)

2° \(N=2^8\)

2. 【三角比】

答：(5)

1° \(\overline{OC}=1\)，切線 \(\perp\) 半徑 \(\Rightarrow\) \(\angle OCE=\angle OCD=90^\circ\)

2° \(\triangle OCE\)：\(\tan\theta=\dfrac{\overline{OC}}{\overline{CE}}=\dfrac1{\overline{CE}}\)，不是選項

3° \(\angle COD=90^\circ-\angle EOC=\theta\) \(\Rightarrow\) \(\triangle OCD\)：\(\tan\theta=\dfrac{\overline{CD}}{\overline{OC}}=\overline{CD}\)

3. 【迴歸直線、對數】

答：(4)

1° 點 \((s,\log t)\) 大致落在過 \((0,0)\)、\((2,1)\) 的直線上 \(\Rightarrow\) \(\log t=\dfrac s2\)

2° 對數定義：\(t=10^{\frac s2}\) \(\Rightarrow\) \(t^2=10^s\)

4. 【排列組合】

答：(1)

1° 第 5 位同時是遞增的最後、遞減的最前 \(\Rightarrow\) 最大的 9 一定在正中間

2° 剩下 8 個數字選 4 個放左邊（遞增只有一種排法），其餘 4 個放右邊（遞減也只有一種）

3° \(C^8_4=\dfrac{8!}{4!\,4!}\)

5. 【空間向量、行列式】

答：(2)

1° 行列式 \(=\) 第一列 \(\cdot\big(\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}\big)\)

2° \(\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}\) 垂直平面 \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}=k(2,-3,5)\)，五個選項的 \(k\) 都一樣

3° 只要比 \(|\text{第一列}\cdot(2,-3,5)|\)：

(1) \(|-2-3+5|=0\)

(2) \(|2+3+5|=10\)

(3) \(|2-3-5|=6\)

(4) \(|-2+3+5|=6\)

(5) \(|-2+3-5|=4\)

4° 第一列 \((1,-1,1)\) 和法向量夾角最小，絕對值最大

6. 【空間向量、期望值】

答：(3)

1° 設 \(O\) 為原點，其他頂點坐標如圖

2° 內積只有 \(0\)、\(1\)、\(2\) 三種；\(P\) 依序固定，列出每個 \(Q\) 的內積：

內積 \(1\)：共 12 組（例 \((1,0,0)\cdot(1,1,0)=1\)）

內積 \(2\)：共 3 組（\((1,1,0)\)、\((1,0,1)\)、\((0,1,1)\) 各和 \((1,1,1)\) 配對）

其餘 \(C^7_2-12-3=6\) 組內積 \(0\)

3° 期望值 \(=\dfrac{12\times1+3\times2}{C^7_2}=\dfrac{18}{21}=\dfrac67\)

二、多選題

7. 【數列】

答：(3)(5)

1° 甲在第 4、7、10、13、…個月各加 200；乙在第 13、25、…個月各加 1000

(1) 第 9 個月：只在第 4、7 月調過 2 次 \(\Rightarrow\) 多 400

(2) 第 13 個月：甲調 4 次多 800，乙多 1000

(3) 第 19 個月：甲調 6 次多 1200 \(>\) 乙 1000

(4) 只算多出來的部分，每段 3 個月分開加：

甲：\(3\times(200+400+600+800+1000)=9000\)；乙：\(6\times1000=6000\) \(\Rightarrow\) 甲比較多

(5) 第 3 年乙都多 2000；甲逐季列出：第 25 月多 1600、第 28 月多 1800、第 31 月多 2000、第 34 月多 2200 \(\Rightarrow\) 只有第 34～36 月高於乙，恰 3 個月

8. 【機率】

答：(1)(4)

1° 全 \(-\) 都沒中：\(p_n=1-0.9^n\)

(1) \(0.9^{n+1}<0.9^n\) \(\Rightarrow\) \(p_{n+1}>p_n\)

(2) \(p_3=1-0.729=0.271\)

(3) \(p_2-p_1=0.09\)、\(p_3-p_2=0.081\)，差不固定

(4) \(0.9\times0.1=0.09=p_2-p_1\)

(5) 至少中 2 次 \(=1-0.9^n-C^n_1\cdot0.1\cdot0.9^{n-1}\)；反例 \(n=2\)：\(0.01\ne2p_2=0.38\)

9. 【等比數列、對數】

答：(3)(5)

1° \(\log_3a_1=1\)，\(\log_3 r=\log_3 3^{\frac32}=\dfrac32\)

2° 兩項一組：\(\log_3a_1-\log_3a_2=\log_3\dfrac{a_1}{a_2}=\log_3\dfrac1r=-\dfrac32\)，每組都一樣

3° \(n\) 為偶數：和 \(=\dfrac n2\times\Big(-\dfrac32\Big)<0\)，不可能 \(>18\) \(\Rightarrow\) 刪 (2)(4)

4° \(n\) 為奇數：前 \(n-1\) 項共 \(\dfrac{n-1}2\) 組，再加最後一項 \(\log_3a_n=\log_3(a_1r^{n-1})=1+\dfrac32(n-1)\)

\(\Rightarrow\) 和 \(=-\dfrac34(n-1)+1+\dfrac32(n-1)=1+\dfrac34(n-1)\)

5° 逐一代：\(n=23\)：\(1+\dfrac{66}4=17.5\)，不合；\(n=25\)：\(1+18=19\)，可以；\(n=27\)：\(1+\dfrac{78}4=20.5\)，可以

10. 【直線方程式】

答：(1)(3)(5)

1° 整理成 \((-4x+5y)+k(2x-10)=0\) \(\Rightarrow\) 不論 \(k\)，\(L\) 都過 \(-4x+5y=0\) 與 \(2x-10=0\) 的交點 \((5,4)\)

(1) \(k=4\)：\(5y+4x-40=0\)，代 \(A(10,0)\)：\(40-40=0\)

(2) 代 \(C(0,6)\)：\(30-10k=0\) \(\Rightarrow\) \(k=3\)，\(L\)：\(2x+5y-30=0\)，斜率 \(-\dfrac25\)

(3) 令 \(x=0\)：\(5y=10k\) \(\Rightarrow\) \(y=2k\)，\(0\le2k\le6\) \(\Rightarrow\) \(0\le k\le3\)

(4) \(k=\dfrac12\)：\(5y-3x-5=0\)，\(x=10\) 時 \(y=7>6\)，\(E\) 跑出長方形

(5) \((5,4)\) 到四個角的斜率：\(C\)：\(-\dfrac25\)、\(O\)：\(\dfrac45\)、\(A\)：\(-\dfrac45\)、\(B\)：\(\dfrac25\) \(\Rightarrow\) 兩端都在範圍內要 \(-\dfrac25\le m\le\dfrac25\)，\(\dfrac3{10}\) 在範圍內

11. 【矩陣、線性變換】

答：(2)(5)

1° 旋轉 \(\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\)：\(A\) 代 \(-90^\circ\)、\(B\) 代 \(90^\circ\)

\(A=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\)

2° 鏡射 \(\begin{bmatrix}\cos2\theta&\sin2\theta\\\sin2\theta&-\cos2\theta\end{bmatrix}\)：\(C\) 代 \(45^\circ\)、\(D\) 代 \(135^\circ\)

\(C=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\)，\(D=\begin{bmatrix}0&-1\\-1&0\end{bmatrix}\)

(1) \(A\)：\((1,0)\to(0,-1)\)；\(C\)：\((1,0)\to(0,1)\)，不同點

(2) 由 1°，\(A=-B\)

(3) 鏡射的反矩陣是自己：\(D^{-1}=D=-C\ne C\)

(4) \(AB=I\)，\(CD=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}=-I\)

(5) \(AC=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\)，\(BD=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\)

12. 【疊合、三角函數圖形】

答：(1)(5)

1° 疊合：\(f(x)=2\Big(\dfrac12\sin x+\dfrac{\sqrt3}2\cos x\Big)=2\sin\Big(x+\dfrac\pi3\Big)\)

2° 對稱軸 \(=\) 最高點或最低點的 \(x\)

(1) \(x=\dfrac\pi6\)：\(x+\dfrac\pi3=\dfrac\pi2\)，最高點 \(\Rightarrow\) 是對稱軸

(2) \(a\) 取最高點、\(b\) 取最低點：\(f(a)=2\ne f(b)=-2\)

(3) \(\sin\Big(x+\dfrac\pi3\Big)=\dfrac{\sqrt3}2\)，\(x+\dfrac\pi3\in\Big[\dfrac\pi3,\dfrac{7\pi}3\Big)\) \(\Rightarrow\) \(x+\dfrac\pi3=\dfrac\pi3,\dfrac{2\pi}3\) \(\Rightarrow\) \(x=0,\dfrac\pi3\)，有 2 個

(4) \(\sin\Big(x+\dfrac\pi3\Big)=\dfrac14\) 不是特殊角，兩解對稱於最低點 \(x=\dfrac{3\pi}2-\dfrac\pi3=\dfrac{7\pi}6\) \(\Rightarrow\) \(x_1+x_2=\dfrac{7\pi}3>2\pi\)

(5) 半角：\(4\sin^2\dfrac x2=2-2\cos x=2\sin\Big(x-\dfrac\pi2\Big)+2\)，振幅、週期都和 \(f\) 相同 \(\Rightarrow\) 平移可得

三、選填題

13. 【三元一次聯立】

答：80

1° 設果汁、奶茶、咖啡每杯 \(x\)、\(y\)、\(z\) 元，三式先約（同除 10）：

\(\left[\begin{array}{ccc|c}6&8&5&1290\\3&4&3&685\\5&7&4&1080\end{array}\right]\)

2° 第一列 \(-\) 第二列 \(\times2\)：\(0x+0y-z=-80\)

3° \(z=80\)

14. 【多項式除法】

答：a = 3，b = −9

1° 直接長除法：商 \(a\)，餘式 \(\big[(2a+b)-a(2-a)\big]x+(2a^2-12)=(b+a^2)x+(2a^2-12)\)

2° 和餘式 6 比較係數：\(b+a^2=0\)、\(2a^2-12=6\)

3° \(a^2=9\)，\(a>0\) \(\Rightarrow\) \(a=3\)（\(-3\) 不合）\(\Rightarrow\) \(b=-9\)

15. 【平面向量】

答：3/4

1° \(3\overline{AD}=8\overline{BD}\) \(\Rightarrow\) \(AD:BD=8:3\)，\(D\) 在 \(AB\) 延長線上（\(B\) 外側）

2° 外分點：\(\overrightarrow{OD}=\dfrac{8\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OA}}5\)

3° \(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OD}=\dfrac1{25}\big(3\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}\big)\cdot\big(8\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OA}\big)=0\)

4° \(\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OB}\) \(\Rightarrow\) 交叉項 \(=0\)，只剩 \(-\dfrac9{25}|\overrightarrow{OA}|^2+\dfrac{16}{25}|\overrightarrow{OB}|^2=0\)

5° \(\dfrac{|\overrightarrow{OB}|}{|\overrightarrow{OA}|}=\dfrac34\)

16. 【空間中的平面】

答：2√2

1° 投影點與 \(A\)、\(B\)、\(C\) 等距 \(\Rightarrow\) 投影點是 \(\triangle ABC\) 的外心 \(H\) \(\Rightarrow\) \(P\) 在過 \(H\)、垂直 \(E\) 的直線上

2° 這條直線 = \(AB\)、\(AC\) 中垂面的交線：

\(AB\) 中垂面：法向量 \(\overrightarrow{AB}=(-2,2,2)\parallel(1,-1,-1)\)，過中點 \((1,0,1)\) \(\Rightarrow\) \(x-y-z=0\)

\(AC\) 中垂面：法向量 \(\overrightarrow{AC}=(-4,2,4)\parallel(2,-1,-2)\)，過中點 \((0,0,2)\) \(\Rightarrow\) \(2x-y-2z=-4\)

3° 兩式相減 \(x-z=-4\)，代回 \(y=-4\) \(\Rightarrow\) 參數式 \((t-4,\,-4,\,t)\)

4° \(z=1\) \(\Rightarrow\) \(P(-3,-4,1)\)

5° 距離 \(=\dfrac{|-3+1-2|}{\sqrt2}=\dfrac4{\sqrt2}=2\sqrt2\)

17. 【空間中的直線】

答：5√2

1° 方向向量 \((1,-1,1)\cdot(2,1,-1)=2-1-1=0\) \(\Rightarrow\) \(L_1\perp L_2\)

2° 公垂線段 \(\overline{H_1H_2}\) = 兩歪斜線的距離：

過 \(L_2\) 作平面，法向量 \((1,-1,1)\times(2,1,-1)=(0,3,3)\parallel(0,1,1)\)，代 \((2,5,6)\) \(\Rightarrow\) \(y+z=11\)

\(L_1\) 上 \((1,1,2)\) 到它的距離：\(\dfrac{|1+2-11|}{\sqrt2}=4\sqrt2\)

3° \(L_1\)、\(L_2\)、\(L_3\) 兩兩垂直 \(\Rightarrow\) \(\overline{PH_1}=\overline{QH_2}=3\)，\(\overline{PQ}\) 是長方體對角線

4° \(\overline{PQ}^2=3^2+3^2+(4\sqrt2)^2=9+9+32=50\) \(\Rightarrow\) \(\overline{PQ}=5\sqrt2\)

第貳部分、混合題或非選擇題

18–20 題為題組

18. 【正弦定理】

答：(4)

1° \(\overline{AP}=\overline{AO}=1\) \(\Rightarrow\) \(\angle APO=\theta\)、\(\angle A=180^\circ-2\theta\)

2° 正弦定理：\(\dfrac{\overline{OP}}{\sin(180^\circ-2\theta)}=\dfrac1{\sin\theta}\) \(\Rightarrow\) \(\overline{OP}=\dfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin\theta}=2\cos\theta\)

19. 【三角比、倍角】

答：Q(−36/25, 48/25)

1° 角度一路推：\(\angle QOB=180^\circ-90^\circ-\theta=90^\circ-\theta\)

2° \(\overline{BO}=\overline{BQ}=2\) \(\Rightarrow\) \(\angle BQO=90^\circ-\theta\) \(\Rightarrow\) \(\angle QBO=2\theta\)

3° \(Q=(-2+2\cos2\theta,\ 2\sin2\theta)\)

4° 倍角：\(\sin\theta=\dfrac35\)、\(\cos\theta=\dfrac45\) \(\Rightarrow\) \(\cos2\theta=1-2\cdot\dfrac9{25}=\dfrac7{25}\)、\(\sin2\theta=2\cdot\dfrac35\cdot\dfrac45=\dfrac{24}{25}\)

5° \(Q\Big(-2+\dfrac{14}{25},\ \dfrac{48}{25}\Big)=\Big(-\dfrac{36}{25},\ \dfrac{48}{25}\Big)\)

6° \(\angle QBO+\angle PAO=2\theta+(180^\circ-2\theta)=180^\circ\) \(\Rightarrow\) \(BQ\parallel AP\)，且方向相同（都朝上半平面）

7° \(\overline{BQ}=2\)、\(\overline{AP}=1\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{BQ}=2\overrightarrow{AP}\)

（驗算：\(P=(2\cos\theta\cdot\cos\theta,\ 2\cos\theta\cdot\sin\theta)=\Big(\dfrac{32}{25},\dfrac{24}{25}\Big)\)，\(\overrightarrow{AP}=\Big(\dfrac7{25},\dfrac{24}{25}\Big)\)，\(\overrightarrow{BQ}=\Big(\dfrac{14}{25},\dfrac{48}{25}\Big)\)）

20. 【三角形面積】

答：72/25，108/25

1° \(A\) 到直線 \(BQ\) 的距離 \(=\overline{AB}\sin\angle QBA=3\sin2\theta=3\cdot\dfrac{24}{25}=\dfrac{72}{25}\)

2° 由 19 題 \(BQ\parallel AP\) \(\Rightarrow\) \(PABQ\) 是梯形，兩底 \(\overline{AP}=1\)、\(\overline{BQ}=2\)，高 \(\dfrac{72}{25}\)

3° 面積 \(=\dfrac12(1+2)\times\dfrac{72}{25}=\dfrac{108}{25}\)