112 分科數學甲 詳解試題分析

112 分科數學甲詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。

1	2	3	4	5	6
(4)	(2)	(3)	(1)(2)	(1)(3)	(1)(4)(5)
7	8	9	10	11	15
(1)(4)	(2)(3)	\(\frac{13}{3}\)	\(\frac{21}{4}\)	1554	\(2\sqrt5\)

12	13	14	16	17
\(\frac{\sqrt2}{2}\)	共同切線 \(y=x-\frac12\)	\(\frac53-\frac\pi2\)	\(y=\frac{\sqrt5}{2}x\)，短軸長 4	\(P\big(\sqrt2,-\frac{\sqrt{10}}{2}\big)\)

一、單選題

1. 【平面向量】

答：(4)

1° 沿 \((a,1)\) 的方向移動 \(\Rightarrow\) 位移 \(=k(a,1)\)，\(k>0\)

2° 抵達 \(x\) 軸：\(y\) 坐標從 \(-2\) 變 \(0\)，要走兩個 \((a,1)\) \(\Rightarrow\) 位移 \(=2(a,1)=(2a,2)\)

3° 長度 5：\(|(2a,2)|=5\) \(\Rightarrow\) \(4a^2+4=25\) \(\Rightarrow\) \(a^2=\dfrac{21}4\) \(\Rightarrow\) \(a=\dfrac{\sqrt{21}}2\)（\(a>0\)）

2. 【指數（半衰期）】

答：(2)

1° 剩餘量 \(=\) 原量 \(\times\Big(\dfrac12\Big)^{\text{經過時間}\div\text{半衰期}}\)

2° 原量都設 \(X\)：\(A=X\Big(\dfrac12\Big)^{\frac{112}{T_A}}\)、\(B=X\Big(\dfrac12\Big)^{\frac{112}{T_B}}\)

3° \(B=\dfrac14A\)，\(\dfrac14\) 寫成 \(\Big(\dfrac12\Big)^2\) \(\Rightarrow\) \(\Big(\dfrac12\Big)^{\frac{112}{T_B}}=\Big(\dfrac12\Big)^{2}\Big(\dfrac12\Big)^{\frac{112}{T_A}}=\Big(\dfrac12\Big)^{2+\frac{112}{T_A}}\)

4° 指數相等 \(\Rightarrow\) \(2+\dfrac{112}{T_A}=\dfrac{112}{T_B}\)

3. 【積分（黎曼和）】

答：(3)

1° 每項提出 \(n\)：\(\sqrt{4n^2+9k^2}=n\sqrt{4+9\Big(\dfrac kn\Big)^2}=n\sqrt{4+\Big(\dfrac{3k}n\Big)^2}\)

2° 原式 \(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac3n\sqrt{4+\Big(\dfrac{3k}n\Big)^2}\)

3° 寬度是 \(\dfrac3n\)，裡面也要用成 \(\dfrac3n\)：\(x=\dfrac{3k}n\) 從 0 跑到 3（少最後一項，乘上寬度 \(\frac3n\to0\)，不影響極限）

4° \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\int_0^3\sqrt{4+x^2}\,dx\)

二、多選題

4. 【絕對值】

答：(1)(2)

1° \(|x-a|\le b\) \(\Leftrightarrow\) \(a-b\le x\le a+b\)（中點 \(a\)、半長 \(b\) 的區間）

2° 四數都在區間內 \(\Leftrightarrow\) 最小的 \(-3\)、最大的 \(7\) 在區間內：\(a-b\le-3\)、\(a+b\ge7\) \(\Rightarrow\) 兩式相減 \(2b\ge10\) \(\Rightarrow\) \(b\ge5\)

3° 最緊的情形：中點 2、半長 5 \(\Rightarrow\) \(|x-2|\le5\)

(1) \(-3<\sqrt{10}<7\) \(\Rightarrow\) \(\sqrt{10}\) 也在區間內

(2) \(x\) 變號：\(|x+a|=|(-x)-a|\)，而 \(3,1,-4,-7\) 變號後就是 \(-3,-1,4,7\)

(3) \(x\) 乘 \(\frac12\) 後中點應變 \(\frac a2\)，不是 \(a\)；反例 \(a=2\)、\(b=5\)：\(|x-2|\le\frac52\) \(\Rightarrow\) \(-\frac12\le x\le\frac92\)，\(-\frac32\) 不滿足

(4) 由 2°，\(b\ge5\)

(5) \(a=b\) \(\Rightarrow\) \(0\le x\le2a\)，包不到負數 \(-3\)

5. 【多項式、微分的應用】

答：(1)(3)

1° 實係數有虛根 \(1+2i\) \(\Rightarrow\) \(1-2i\) 也是根 \(\Rightarrow\) 因式 \((x-1)^2+4=x^2-2x+5\)

2° 長除法：\(f(x)=(x^2-2x+5)(x^2-2x-11)+(a-12)x+(b+55)\)

3° 整除 \(\Rightarrow\) 餘式 \(=0\) \(\Rightarrow\) \(a=12\)、\(b=-55\)

4° \(f'(x)=4x^3-12x^2-4x+12\)；猜 \(x=1\)：\(f'(1)=0\) \(\Rightarrow\) \(f'(x)=4(x-1)(x^2-2x-3)=4(x+1)(x-1)(x-3)\)

(1) 實係數，共軛根 \(1-2i\) 也是根

(2) \(b=-55<0\)

(3) 在 \(x=2\) 展開：\(f'(x)=4(x-2)^3+12(x-2)^2-4(x-2)-12\) \(\Rightarrow\) \(f'(2.1)=0.004+0.12-0.4-12<0\)

(4) 正負表：

區間	\(x<-1\)	\(-1\sim1\)	\(1\sim3\)	\(x>3\)
\(f'\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)

\(x=1\) 左正右負 \(\Rightarrow\) 局部極大，不是極小

(5) \(f''(x)=12x^2-24x-4=4(3x^2-6x-1)=0\) \(\Rightarrow\) \(x=1\pm\dfrac{2\sqrt3}3\)，兩側 \(f''\) 變號都是反曲點；\(1-\dfrac{2\sqrt3}3\approx1-1.15<0\)

6. 【空間向量、三階行列式】

答：(1)(4)(5)

1° 第三行只有 \(t\)，降階：\(\det A=t\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=t(ad-bc)\)（\(\det A\) 就是 \(\vec u\)、\(\vec v\)、\(\vec w\) 張出的平行六面體體積）

2° \(\vec u\)、\(\vec v\) 都在 \(xy\) 平面上：\(ad-bc=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\vec u\parallel\vec v\)

3° \(\vec u\nparallel\vec v\) 時，與兩者都垂直的向量都平行 \(\vec u\times\vec v=(0,0,ad-bc)\)

(1) \(\vec u\perp\vec v\) 且都非零 \(\Rightarrow\) 不平行 \(\Rightarrow\) \(ad-bc\ne0\)

(2) 反例：\(\vec u=\vec v=(1,0,0)\)、\(\vec w=(0,0,1)\)，\(t=1\ne0\) 但 \(ad-bc=0\)

(3) \(\vec w'\)、\(\vec w\) 都垂直 \(\vec u\)、\(\vec v\) 又不平行；若 \(\vec u\nparallel\vec v\)，由 3° \(\vec w'\parallel\vec w\)，矛盾 \(\Rightarrow\) \(\vec u\parallel\vec v\) \(\Rightarrow\) \(ad-bc=0\)

(4) 任意向量都能表示 \(\Rightarrow\) \(\vec u\)、\(\vec v\)、\(\vec w\) 不共平面 \(\Rightarrow\) \(\det A=t(ad-bc)\ne0\) \(\Rightarrow\) \(ad-bc\ne0\)

(5) \(ad-bc\ne0\) \(\Rightarrow\) \(\vec u\nparallel\vec v\) \(\Rightarrow\) 由 3° \(\vec w\parallel(0,0,1)\)，\(\vec w\) 非零 \(\Rightarrow\) \(t\ne0\) \(\Rightarrow\) \(\det A=t(ad-bc)\ne0\)

7. 【機率與期望值】

答：(1)(4)

1° 正面順時針 5（\(+5\)）、反面逆時針 5（等於順時針 7），機率各 \(\frac12\)

(1) \(X_1=5\) 或 \(7\) \(\Rightarrow\) \(E(X_1)=5\times\dfrac12+7\times\dfrac12=6\)

(2) 兩步回到 12 \(\Rightarrow\) 一正一反：\(C^2_1\Big(\dfrac12\Big)\Big(\dfrac12\Big)=\dfrac12\)（兩正到 10、兩反到 2）

(3) 每步走 5 格（奇數）\(\Rightarrow\) 鐘點奇偶每步交換；從 12（偶）出發，偶數步只走到偶數鐘點 \(\Rightarrow\) \(P(X_8=5)=0\)

(4) 正反對稱：\(h\) 個正面與 \(h\) 個反面的位置對 12 對稱（\(k\leftrightarrow12-k\)）\(\Rightarrow\) \(P(X_8=4)=P(X_8=8)\)

(5) 8 次中 \(h\) 次正面：位置 \(\equiv5h-5(8-h)=10h-40\pmod{12}\)，他問 \(X_8\)，表格上面就放位置：

\(h\)	0	1	2	3	4	5	6	7	8
\(X_8\)	8	6	4	2	12	10	8	6	4
\(C^8_h\)	1	8	28	56	70	56	28	8	1

\(E(X_8)=\dfrac{8+48+112+112+840+560+224+48+4}{256}=\dfrac{1956}{256}=\dfrac{489}{64}\approx7.6>7\)

8. 【複數】

答：(2)(3)

(1) \(z=2i\)：\(z^3=8i^3=-8i\)；\(4i\bar z=4i(-2i)=8\)，不相等

(2) 取絕對值：\(|\alpha|^3=4|\alpha|\)，\(\alpha\ne0\) \(\Rightarrow\) \(|\alpha|^2=4\) \(\Rightarrow\) \(|\alpha|=2\)

(3) \(\beta^3=i^3\alpha^3=-i\cdot4i\bar\alpha=4\bar\alpha\)；\(4i\bar\beta=4i\cdot(-i\bar\alpha)=4\bar\alpha\) \(\Rightarrow\) 相等

(4)(5) 由 (2) 設 \(z=2(\cos\theta+i\sin\theta)\)：\(z^3=8(\cos3\theta+i\sin3\theta)\)，\(4i\bar z=8\big[\cos(90^\circ-\theta)+i\sin(90^\circ-\theta)\big]\)

值相同不代表角度相同，要加同界角：\(3\theta=90^\circ-\theta+360^\circ k\) \(\Rightarrow\) \(\theta=22.5^\circ+90^\circ k\)

\(\Rightarrow\) \(\theta=22.5^\circ\)、\(112.5^\circ\)、\(202.5^\circ\)、\(292.5^\circ\)，共 4 個；最小主幅角 \(\dfrac\pi8\ne\dfrac\pi6\) \(\Rightarrow\) (4)(5) 都錯

三、選填題

9. 【正餘弦定理】

答：13/3

1° \(\overline{AC}^2+\overline{BC}^2=3+4=7=\overline{AB}^2\) \(\Rightarrow\) \(\angle C=90^\circ\)

2° 頂角 \(120^\circ\) 的等腰三角形：底角 \(30^\circ\)，腰 \(=\dfrac{\text{底}}{\sqrt3}\) \(\Rightarrow\) \(\overline{AM}=\dfrac{\sqrt7}{\sqrt3}\)、\(\overline{AN}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}=1\)

3° 兩個都作在外部 \(\Rightarrow\) \(\angle MAN=30^\circ+\angle BAC+30^\circ=60^\circ+\angle BAC\)

4° 餘弦定理：\(\cos\angle BAC=\dfrac{7+3-4}{2\sqrt7\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt7}\) \(\Rightarrow\) \(\sin\angle BAC=\dfrac2{\sqrt7}\)

5° 和角公式：\(\cos(60^\circ+\angle BAC)=\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt3}{\sqrt7}-\dfrac{\sqrt3}2\cdot\dfrac2{\sqrt7}=-\dfrac{\sqrt3}{2\sqrt7}\)

6° \(\triangle AMN\) 餘弦定理：\(\overline{MN}^2=\dfrac73+1-2\cdot\dfrac{\sqrt7}{\sqrt3}\cdot1\cdot\Big(-\dfrac{\sqrt3}{2\sqrt7}\Big)=\dfrac{10}3+1=\dfrac{13}3\)

10. 【空間中的平面與直線】

答：21/4

1° 兩平行平面距離 \(d=\dfrac{|10-(-4)|}{\sqrt{2^2+3^2+6^2}}=\dfrac{14}7=2\)

2° \(L\) 的方向與法向量的夾角 \(\theta\)：\(\cos\theta=\dfrac{|(1,-2,2)\cdot(2,3,6)|}{3\times7}=\dfrac{|2-6+12|}{21}=\dfrac8{21}\)

3° 線段長 \(\times\cos\theta=d\) \(\Rightarrow\) 線段長 \(=\dfrac{d}{\cos\theta}=2\times\dfrac{21}8=\dfrac{21}4\)

11. 【排列組合】

答：1554

1° 依千位（和百位）分段，得獎：大於 6400 或含兩個 8；卡片：非 8 的數字各一張（8 個），8 有兩張

2° 千位 1～5（5 種）：都小於 6400，只有含兩個 8 才得獎：後三位選兩位放 8（\(C^3_2\)），剩一位從 7 個非 8 數字選 \(\Rightarrow\) \(5\times3\times7=105\)

3° 千位 6：

• 百位 1、2、3（小於 6400）：後兩位必須是 88 \(\Rightarrow\) \(3\times1=3\)
• 百位 4、5、7、9（大於 6400，必得獎）：後兩位不含 88：從剩下 6 個非 8 數字和 8 共 7 種排 2 個 \(7\times6=42\)；含 88：1 種 \(\Rightarrow\) \(4\times43=172\)
• 百位 8（68 開頭，必得獎）：後兩位從 7 個非 8 數字和第二張 8 共 8 種排 2 個 \(\Rightarrow\) \(8\times7=56\)
• 小計 \(3+172+56=231\)

4° 千位 7、9（必得獎）：後三位不含 88：7 個非 8 數字和 8 共 8 種排 3 個 \(8\times7\times6=336\)；含 88：\(C^3_2\times7=21\) \(\Rightarrow\) \(2\times357=714\)

5° 千位 8（必得獎）：後三位從 8 個非 8 數字和第二張 8 共 9 種排 3 個 \(\Rightarrow\) \(9\times8\times7=504\)

6° \(105+231+714+504=1554\)

第貳部分、混合題或非選擇題

12–14 題為題組

12. 【平面向量（夾角）】

答：√2/2

1° \(f\) 過 \(P\)：\(a\cdot1^2=\dfrac12\) \(\Rightarrow\) \(a=\dfrac12\)；\(\Omega\) 過 \(P\)：\(1+\dfrac14-\dfrac32+b=0\) \(\Rightarrow\) \(b=\dfrac14\)

2° 配方：\(x^2+\Big(y-\dfrac32\Big)^2=\dfrac94-\dfrac14=2\) \(\Rightarrow\) 圓心 \(C\Big(0,\dfrac32\Big)\)、半徑 \(\sqrt2\)

3° \(\overrightarrow{CO}=\Big(0,-\dfrac32\Big)\)、\(\overrightarrow{CP}=(1,-1)\)

4° \(\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{CO}\cdot\overrightarrow{CP}}{|\overrightarrow{CO}||\overrightarrow{CP}|}=\dfrac{\frac32}{\frac32\cdot\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2\)

13. 【微分（切線）】

答：共同切線 y = x − 1/2

1° 拋物線：\(f(x)=\dfrac12x^2\) \(\Rightarrow\) \(f'(x)=x\) \(\Rightarrow\) 在 \(P\) 的切線斜率 \(f'(1)=1\) \(\Rightarrow\) 切線 \(y-\dfrac12=x-1\)，即 \(y=x-\dfrac12\)

2° 圓：\(m_{CP}=\dfrac{\frac12-\frac32}{1-0}=-1\)；圓的切線 \(\perp\) 半徑 \(\overline{CP}\) \(\Rightarrow\) 斜率 \(m\) 滿足 \(m\cdot(-1)=-1\) \(\Rightarrow\) \(m=1\)

3° 兩條切線都過 \(P\)、斜率都是 1 \(\Rightarrow\) 是同一條直線 \(y=x-\dfrac12\) \(\Rightarrow\) 兩圖形在 \(P\) 有共同的切線（證畢）

14. 【積分（面積）】

答：5/3 − 1/2 π

1° 交點：\(x^2+\Big(\dfrac{x^2}2-\dfrac32\Big)^2=2\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{x^4}4-\dfrac{x^2}2+\dfrac14=0\) \(\Rightarrow\) \((x^2-1)^2=0\) \(\Rightarrow\) \(x=\pm1\)（重根，在 \(P\) 和對稱點 \(\big(-1,\frac12\big)\) 相切）

2° 下半圓：\(\Big(y-\dfrac32\Big)^2=2-x^2\)，\(y\le\dfrac32\) \(\Rightarrow\) \(y=\dfrac32-\sqrt{2-x^2}\)

3° \(-1\le x\le1\) 時下半圓在拋物線上方（\(x=0\)：\(\frac32-\sqrt2\approx0.09>0\)），上減下：

面積 \(=\displaystyle\int_{-1}^{1}\Big[\Big(\dfrac32-\sqrt{2-x^2}\Big)-\dfrac12x^2\Big]dx=\int_{-1}^{1}\dfrac32\,dx-\int_{-1}^{1}\sqrt{2-x^2}\,dx-\int_{-1}^{1}\dfrac12x^2\,dx\)

4° \(\displaystyle\int_{-1}^{1}\dfrac32\,dx=3\)；\(\displaystyle\int_{-1}^{1}\dfrac12x^2\,dx=\Big[\dfrac{x^3}6\Big]_{-1}^{1}=\dfrac13\)

5° \(\displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{2-x^2}\,dx\) 不硬積：上半圓 \(x^2+y^2=2\) 下方，切成兩個三角形 \(+\) 扇形（圓心角 \(90^\circ\)，上圖右）\(=\dfrac12+\dfrac12+\dfrac12\cdot2\cdot\dfrac\pi2=1+\dfrac\pi2\)

6° 面積 \(=3-\Big(1+\dfrac\pi2\Big)-\dfrac13=\dfrac53-\dfrac\pi2\)

15–17 題為題組

15. 【二次曲線】

答：2√5

1° 長軸端點就是離中心（原點）最遠的點 \(\Rightarrow\) 半長軸 \(=\sqrt{\Big(\dfrac53\Big)^2+\Big(\dfrac{2\sqrt5}3\Big)^2}=\sqrt{\dfrac{45}9}=\sqrt5\)

2° 長軸長 \(=2\times\) 最遠點到原點距離 \(=2\sqrt5\)

16. 【二次曲線】

答：y = √5/2 x，短軸長 4

1° 長軸過原點和 \(\Big(-\dfrac53,\dfrac{2\sqrt5}3\Big)\) \(\Rightarrow\) 斜率 \(\dfrac{2\sqrt5/3}{-5/3}=-\dfrac2{\sqrt5}\)

2° 短軸 \(\perp\) 長軸且過中心原點 \(\Rightarrow\) 斜率取負倒數 \(\dfrac{\sqrt5}2\) \(\Rightarrow\) 短軸所在直線 \(y=\dfrac{\sqrt5}2x\)（即 \(\sqrt5x-2y=0\)）

3° 代入 \(\Gamma'\)：\(40x^2+4\sqrt5x\cdot\dfrac{\sqrt5}2x+41\cdot\dfrac54x^2=180\) \(\Rightarrow\) \(\Big(40+10+\dfrac{205}4\Big)x^2=180\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{405}4x^2=180\) \(\Rightarrow\) \(x^2=\dfrac{16}9\) \(\Rightarrow\) \(x=\pm\dfrac43\)

4° 短軸端點 \(\pm\Big(\dfrac43,\dfrac{2\sqrt5}3\Big)\)，到原點 \(\sqrt{\dfrac{16}9+\dfrac{20}9}=2\) \(\Rightarrow\) 短軸長 \(=4\)

17. 【線性變換】

答：P(√2, −√10/2)

1° 由 15、16：\(\Gamma\) 的長軸在 \(y\) 軸、半長軸 \(\sqrt5\)、半短軸 2 \(\Rightarrow\) \(\Gamma\)：\(\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}5=1\)

2° 旋轉矩陣 \(R=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\)；\(\Gamma\) 的長軸端點 \((0,\sqrt5)\) 轉到 \(\Gamma'\) 的長軸端點：

\[R\begin{bmatrix}0\\\sqrt5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\sqrt5\sin\theta\\\sqrt5\cos\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac53\\\frac{2\sqrt5}3\end{bmatrix}\]

3° \(\Rightarrow\) \(\sin\theta=\dfrac{\sqrt5}3\)、\(\cos\theta=\dfrac23\)（\(0<\theta<\pi\) 合；配另一端點 \(\big(\frac53,-\frac{2\sqrt5}3\big)\) 得 \(\sin\theta<0\)，不合）

4° \(P'\) 在 \(x\) 軸上：\(\Gamma'\) 代 \(y=0\) \(\Rightarrow\) \(40x^2=180\) \(\Rightarrow\) \(x=\dfrac3{\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt2}2\)（\(x>0\)）\(\Rightarrow\) \(P'\Big(\dfrac{3\sqrt2}2,0\Big)\)

5° \(P'=RP\) \(\Rightarrow\) 兩邊左乘 \(R^{-1}\)（轉 \(-\theta\)）：

\[P=\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{3\sqrt2}2\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{3\sqrt2}2\cdot\frac23\\-\frac{3\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt5}3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sqrt2\\-\frac{\sqrt{10}}2\end{bmatrix}\]

6° 驗算：\(\dfrac{2}4+\dfrac{10/4}5=\dfrac12+\dfrac12=1\)，\(P\) 在 \(\Gamma\) 上 \(\Rightarrow\) \(P\Big(\sqrt2,-\dfrac{\sqrt{10}}2\Big)\)