巫老師幫同學整理了一份 112 學測數學B詳解，附上大考中心頒布的 112學測數B試題，最底下有附上學測數學五標。
112 學測數學B詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| (1) | (2) | (4) | (3) | (5) | (3) | (4) |
| 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|
| (2)(4) | (3)(4)(5) | (1)(5) | (1)(4) | (1)(3) |
| 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
|---|---|---|---|---|
| \(\frac{7}{3}\) | 90 | \(2\sqrt2\) | \(\frac{625}{24}\) | 108 |
| 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|
| \(\frac12\) | \(P(-3,1)\)，\(B_3(3,5)\) | \(Q(1,1)\) |
一、單選題
1. 【函數圖形】
某抽水站發現其用電量（單位：度）與抽水馬達轉速（單位：rpm）的三次方成正比。根據上述，試問下列這五個圖中，哪一個最可以描述此抽水站的用電量 \(y\)（度）與抽水馬達轉速 \(x\)（rpm）的對應關係？
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
答：(1)
1° 與三次方成正比 \(\Rightarrow\) \(y=kx^3\)（\(k>0\)）
2° \(x\ge0\) 時 \(y=kx^3\) 過原點、遞增，且越往右越陡 \(\Rightarrow\) 圖 (1)
(2) 是直線（一次）、(3) 越往右越平緩、(4)(5) 有遞減，都不是 \(y=kx^3\)
2. 【矩陣】
考慮實數二階方陣 \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)，若 \(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&-4\\-9&-7\end{bmatrix}\)，則 \(c-2b\) 的值為何？
(1) \(-11\)
(2) \(-4\)
(3) \(1\)
(4) \(10\)
(5) \(11\)
答：(2)
1° 橫配直：\(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c&d\\a&b\end{bmatrix}\)（上下兩列對調）
2° \(\begin{bmatrix}c&d\\a&b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c&-2d\\a&-2b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&-4\\-9&-7\end{bmatrix}\)
3° 逐元素比較：\(c=3\)、\(-2b=-7\) \(\Rightarrow\) \(b=\dfrac72\)
4° \(c-2b=3-7=-4\)
3. 【三角比、測量】
地面上有甲、乙兩大樓，已知甲的高度大於乙，且甲、乙兩大樓的水平距離為 150 公尺。某人從甲樓頂拉一條繩索到乙樓頂，並從甲樓頂測得乙樓頂的俯角為 \(22^\circ\)。假設該繩索被拉成直線，試問繩索的長度（單位：公尺）最接近下列哪個選項？（註：眼睛往下看目標物時，視線與水平線間的夾角稱為俯角）
(1) \(150\)
(2) \(150\sin22^\circ\)
(3) \(150\cos22^\circ\)
(4) \(\dfrac{150}{\cos22^\circ}\)
(5) \(\dfrac{150}{\sin22^\circ}\)
答：(4)
1° 俯角 \(22^\circ\) = 繩索與水平線的夾角；水平距離 150 是鄰邊、繩索 \(x\) 是斜邊
2° \(\cos22^\circ=\dfrac{150}{x}\) \(\Rightarrow\) \(x=\dfrac{150}{\cos22^\circ}\)
4. 【百分位數】
某校期中考試有 29 名考生，且成績均相異，統計後得到位於第 25、第 50、第 75 與第 95 百分位數的考生成績分別為 41、60、74 與 92 分。後來發現成績有誤需要調整分數，成績較高的前 15 名學生的分數應該要各加 5 分，其餘學生成績不變。假設調整後第 25、第 50、第 75 與第 95 百分位數的考生成績分別為 \(a\)、\(b\)、\(c\) 與 \(d\) 分，則數組 \((a,b,c,d)\) 為下列哪個選項？
(1) \((41,60,74,92)\)
(2) \((41,60,74,97)\)
(3) \((41,65,79,97)\)
(4) \((46,65,79,92)\)
(5) \((46,65,79,97)\)
答：(3)
1° 29 人由低到高排，\(29\times k\%\) 非整數取下一個整數位置：
\(P_{25}\)：\(29\times0.25=7.25\) \(\Rightarrow\) 第 8 名；\(P_{50}\)：\(14.5\) \(\Rightarrow\) 第 15 名
\(P_{75}\)：\(21.75\) \(\Rightarrow\) 第 22 名；\(P_{95}\)：\(27.55\) \(\Rightarrow\) 第 28 名
2° 前 15 高 = 由低到高第 \(15\)～\(29\) 名，各加 5 分；第 1～14 名不變，排序不變
3° 第 8 名不變：\(a=41\)；第 15、22、28 名各加 5：\(b=65\)、\(c=79\)、\(d=97\)
4° \((a,b,c,d)=(41,65,79,97)\)
5. 【條件機率】
袋子裡有編號分別為 \(1,2,\ldots,100\) 的 100 顆球，某甲從袋中隨機抽取一球，每顆球被抽到的機率均相等。試問在下列哪個選項的條件下，某甲抽到 7 號球的條件機率最大？
(1) 某甲抽到球的號碼是奇數
(2) 某甲抽到球的號碼是質數
(3) 某甲抽到球的號碼是 7 的倍數
(4) 某甲抽到球的號碼不是 5 的倍數
(5) 某甲抽到球的號碼小於 10
答：(5)
1° 每球等機率 \(\Rightarrow\) \(P(7\text{ 號}\mid\text{條件})=\dfrac1{\text{符合條件的球數}}\)（7 號都符合各條件），球數越少機率越大
(1) 奇數 50 個 \(\Rightarrow\) \(\dfrac1{50}\)
(2) 質數 25 個 \(\Rightarrow\) \(\dfrac1{25}\)
(3) 7 的倍數 14 個 \(\Rightarrow\) \(\dfrac1{14}\)
(4) 不是 5 的倍數 \(100-20=80\) 個 \(\Rightarrow\) \(\dfrac1{80}\)
(5) 小於 10 的有 9 個 \(\Rightarrow\) \(\dfrac19\)，最大
6. 【多項式除法】
某甲計算多項式 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) 除以 \(g(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) 的餘式，其中 \(a,b,c,d\) 為實數，且 \(a\ne0\)。他誤看成 \(g(x)\) 除以 \(f(x)\)，計算後得出餘式為 \(-3x-17\)。假設 \(f(x)\) 除以 \(g(x)\) 正確的餘式等於 \(px^2+qx+r\)，則 \(p\) 的值會等於下列哪個選項？
(1) \(-3\)
(2) \(-1\)
(3) \(0\)
(4) \(2\)
(5) \(3\)
答：(3)
1° 看到除以…餘…，先列式：\(g(x)\) 與 \(f(x)\) 同為三次 \(\Rightarrow\) 商是常數，\(g\) 首項 \(a\)、\(f\) 首項 1 \(\Rightarrow\) 商 \(=a\)
2° \(g(x)-af(x)=(b-a^2)x^2+(c-ab)x+(d-ac)=-3x-17\) \(\Rightarrow\) \(b=a^2\)
3° \(f(x)\div g(x)\)：商 \(=\dfrac1a\) \(\Rightarrow\) 餘式 \(f(x)-\dfrac1ag(x)\) 的 \(x^2\) 係數 \(p=a-\dfrac ba\)
4° \(b=a^2\) 代入 \(\Rightarrow\) \(p=a-a=0\)
7. 【圓錐截痕】
已知某手電筒照射的光線為直圓錐狀，且光發散的夾角為 \(60^\circ\)，如圖所示。設牆壁與地板垂直且交界處為直線 \(L\)，將此手電筒以垂直於 \(L\) 的方向照射，即此直圓錐的軸與 \(L\) 垂直。若手電筒照射在牆壁上的光線邊緣為拋物線的一部份，則在地板上的光線邊緣為下列哪種圖形的一部份？
(1) 兩相交直線
(2) 圓形
(3) 拋物線
(4) 長短軸不相等的橢圓
(5) 雙曲線
答：(4)
1° 取垂直 \(L\)、通過圓錐軸的截面來看：牆壁、地板都變成直線，圓錐變成夾角 \(60^\circ\) 的兩條母線
2° 牆上是拋物線 \(\Rightarrow\) 牆壁與一條母線平行 \(\Rightarrow\) 離牆較遠的那條母線鉛直，軸往牆的方向偏，與鉛直線夾 \(30^\circ\)
3° 軸與地板夾 \(90^\circ-30^\circ=60^\circ\)，大於母線與軸的夾角 \(30^\circ\) \(\Rightarrow\) 地板平面截圓錐是封閉曲線（靠牆那段被牆擋住，地板上只看到一部份）
4° 地板不垂直軸 \(\Rightarrow\) 不是圓 \(\Rightarrow\) 長短軸不相等的橢圓
二、多選題
8. 【週期】
某電子看板持續不斷的輪流播放 \(A\)、\(B\) 兩段廣告（\(A\)、\(B\)、\(A\)、\(B\) …），每個廣告播放時間皆為 \(T\) 分鐘（其中 \(T\) 為整數）。某甲經過時剛好開始播放 \(A\) 廣告，30 分鐘後，某甲回到該處，看到恰好開始播放 \(B\) 廣告。試選出可能是 \(T\) 值的選項。
(1) 15
(2) 10
(3) 8
(4) 6
(5) 5
答：(2)(4)
1° 一個週期 \(A\)、\(B\) 共 \(2T\)；\(A\) 開始播的時刻是 \(0,2T,4T,\dots\)，\(B\) 開始播的時刻是 \(T,3T,5T,\dots\)
2° 30 分鐘後恰好開始播 \(B\) \(\Rightarrow\) \(30=T\times(\text{奇數})\)
(1) \(30\div15=2\)，偶數，那時開始播 \(A\)
(2) \(30\div10=3\)，奇數
(3) \(30\div8\) 不是整數，不是剛好開始
(4) \(30\div6=5\)，奇數
(5) \(30\div5=6\)，偶數
9. 【實數與數線】
已知 \(a=6\)、\(b=\dfrac{20}{3}\)、\(c=2\sqrt{10}\) 和 \(d\)，且 \(d\) 為有理數，將這四個數標註在數線上，即 \(A(a)\)、\(B(b)\)、\(C(c)\) 和 \(D(d)\)。試選出正確的選項。
(1) \(a+b+c+d\) 必為一個有理數
(2) \(abcd\) 必為一個無理數
(3) 點 \(D\) 有可能與點 \(C\) 的距離等於 \(2\sqrt{10}+6\)
(4) 點 \(A\) 和點 \(B\) 的中點位在點 \(C\) 的右邊
(5) 數線上和點 \(B\) 距離小於 8 的所有點中，正整數有 14 個，負整數有 1 個
答：(3)(4)(5)
1° 先估值：\(a=6\)、\(b=6.66\cdots\)、\(c=2\sqrt{10}=\sqrt{40}=6.32\cdots\)
(1) \(a+b+d\) 是有理數，加上無理數 \(2\sqrt{10}\) \(\Rightarrow\) 無理數
(2) 反例：\(d=0\) \(\Rightarrow\) \(abcd=0\) 是有理數
(3) \(|d-2\sqrt{10}|=2\sqrt{10}+6\) \(\Rightarrow\) \(d=-6\)（有理數）或 \(4\sqrt{10}+6\)（無理數，不合）\(\Rightarrow\) 取 \(d=-6\) 可以
(4) 中點 \(\dfrac{6+\frac{20}3}2=\dfrac{19}3\)；平方比：\(\Big(\dfrac{19}3\Big)^2=\dfrac{361}9>40=(2\sqrt{10})^2\) \(\Rightarrow\) 中點在 \(C\) 右邊
(5) \(\Big|x-\dfrac{20}3\Big|<8\) \(\Rightarrow\) \(-\dfrac43<x<\dfrac{44}3\) \(\Rightarrow\) 正整數 \(1\)～\(14\) 共 14 個，負整數只有 \(-1\)
10. 【指數成長】
某機構在 12 點時將兩種不同的營養劑分別投入培養皿甲與培養皿乙中，此時甲、乙的細菌數量分別為 \(X\)、\(Y\)。已知甲的數量每 3 小時成長為原來的 2 倍，例如 15 點時甲的數量為 \(2X\)。乙的數量每 2 小時成長為原來的 2 倍，例如 14 點時乙的數量為 \(2Y\)、16 點時乙的數量為 \(4Y\)，測量所得結果部分記錄於下表。該機構在 18 點時測量發現甲、乙的數量相同，欲以細菌數量隨時間呈指數成長的模型來預估甲、乙 12 點至 24 點的細菌數量。根據上述，試選出正確的選項。
| 時刻（點） | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 甲數量 | \(X\) | \(2X\) | |||||||||||
| 乙數量 | \(Y\) | \(2Y\) | \(4Y\) |
(1) \(X>Y\)
(2) 在 13 點時，甲的數量為 \(\dfrac{4}{3}X\)
(3) 在 15 點時，乙的數量為 \(3Y\)
(4) 在 19 點時，乙的數量為甲的 1.5 倍
(5) 在 24 點時，乙的數量為甲的 2 倍
答：(1)(5)
1° 原量 × 倍率\(^{\text{經過時間}\div\text{週期}}\)：\(t\) 點時 甲 \(=X\cdot2^{\frac{t-12}3}\)、乙 \(=Y\cdot2^{\frac{t-12}2}\)
2° 18 點相等：\(X\cdot2^2=Y\cdot2^3\) \(\Rightarrow\) \(X=2Y\)
3° \(\dfrac{\text{乙}}{\text{甲}}=\dfrac{Y\cdot2^{\frac{t-12}2}}{2Y\cdot2^{\frac{t-12}3}}=2^{\frac{t-12}6-1}=2^{\frac{t-18}6}\)
(1) \(X=2Y>Y\)
(2) \(2^{\frac13}\approx1.26\ne\dfrac43\)（\(\big(\frac43\big)^3=\frac{64}{27}\ne2\)）
(3) \(2^{\frac32}=2\sqrt2\ne3\)
(4) \(t=19\)：\(2^{\frac16}\approx1.12\ne1.5\)
(5) \(t=24\)：\(2^{\frac66}=2\)
11. 【圓】
坐標平面上有一圓，其圓心為 \(A(a,b)\)，且此圓與兩坐標軸皆相切，另有一點 \(P(c,c)\)，其中 \(a>c>0\)，且已知 \(\overline{PA}=a+c\)，試選出正確的選項。
(1) \(a=b\)
(2) 點 \(P\) 位於直線 \(x+y=0\) 上
(3) 點 \(P\) 在此圓內
(4) \(\dfrac{a+c}{b-c}=\sqrt{2}\)
(5) \(\dfrac{a}{c}=2+3\sqrt{2}\)
答：(1)(4)
1° 與兩軸都相切 \(\Rightarrow\) 半徑 \(r=|a|=|b|\) \(\Rightarrow\) \(b=a\) 或 \(b=-a\)
2° \(b=-a\)：\(\overline{PA}^2=(a-c)^2+(a+c)^2=(a+c)^2\) \(\Rightarrow\) \(a=c\)，與 \(a>c\) 矛盾，不合
3° \(b=a\)：\(A(a,a)\)、\(P(c,c)\) 都在 \(y=x\) 上 \(\Rightarrow\) \(\overline{PA}=\sqrt2(a-c)=a+c\)
4° \((\sqrt2-1)a=(\sqrt2+1)c\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac ac=\dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}=(\sqrt2+1)^2=3+2\sqrt2\)
(1) 由 2°、3°，\(a=b\)
(2) \(c+c=2c\ne0\)，\(P\) 在 \(y=x\) 上
(3) \(\overline{PA}=a+c>a=r\) \(\Rightarrow\) \(P\) 在圓外
(4) \(\dfrac{a+c}{b-c}=\dfrac{a+c}{a-c}=\sqrt2\)（由 3°）
(5) \(\dfrac ac=3+2\sqrt2\)
12. 【球面、經緯度】
在球心為 \(O\) 的球形地球儀上，有 \(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\) 五個點，其中 \(A\)、\(B\)、\(C\) 三點都在赤道上，且經度分別為東經 \(0^\circ\)、\(60^\circ\) 和 \(90^\circ\)；\(D\)、\(E\) 兩點都在北緯 \(30^\circ\) 線上，且經度分別為東經 \(0^\circ\)、\(180^\circ\)。試選出正確的選項。
(1) 赤道的長度等於東經 \(0^\circ\) 和 \(180^\circ\) 這兩條經線長度的總和
(2) 北緯 \(45^\circ\) 線的長度等於赤道長度的 \(\dfrac{1}{2}\)
(3) 「由 \(A\) 沿赤道移動到 \(B\) 的最短路徑長」等於「由 \(D\) 沿東經 \(0^\circ\) 經線移動到北極點的路徑長」
(4) 「由 \(D\) 沿北緯 \(30^\circ\) 線移動到 \(E\) 的路徑長」等於「由 \(D\) 沿東經 \(0^\circ\) 經線移動到北極點，再由北極點沿東經 \(180^\circ\) 經線移動到 \(E\) 的路徑長的總和」
(5) 通過北極點與 \(A\) 點的直線與通過北極點與 \(C\) 點的直線互相垂直
答：(1)(3)
1° 設地球儀半徑 \(r\)；北緯 \(\theta\) 線的半徑 \(r\cos\theta\)；沿大圓走圓心角 \(\alpha\) 的弧長 \(r\alpha\)
(1) 赤道 \(2\pi r\)；東經 \(0^\circ\)、\(180^\circ\) 經線各是半個大圓 \(\pi r\)，和 \(2\pi r\)
(2) 北緯 \(45^\circ\) 線 \(2\pi r\cos45^\circ=\sqrt2\pi r\ne\pi r\)
(3) \(A\to B\)：圓心角 \(60^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{\pi}3r\)；\(D\to\) 北極：\(90^\circ-30^\circ=60^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac\pi3r\)，相等
(4) 沿北緯 \(30^\circ\) 線走半圈：\(\pi r\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}2\pi r\)；經北極：\(60^\circ+60^\circ=120^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{2\pi}3r\)；\(\dfrac{\sqrt3}2\approx0.87\ne\dfrac23\)
(5) 設 \(O\) 為原點、北極 \(N(0,0,r)\)、\(A(r,0,0)\)、\(C(0,r,0)\)：\(\overrightarrow{NA}\cdot\overrightarrow{NC}=(r,0,-r)\cdot(0,r,-r)=r^2\ne0\)，不垂直（\(\triangle NAC\) 是正三角形，夾 \(60^\circ\)）
三、選填題
13. 【指數與對數】
有兩個正實數 \(a\)、\(b\)，已知 \(ab^2=10^5\)，\(a^2b=10^3\)，則 \(\log b=\dfrac{\_\_\_\_\_}{\_\_\_\_\_}\)。（化為最簡分數）
答：7/3
1° 兩式取 log：令 \(x=\log a\)、\(y=\log b\) \(\Rightarrow\) \(x+2y=5\)、\(2x+y=3\)
2° 第一式 × 2 減第二式：\(3y=7\) \(\Rightarrow\) \(\log b=\dfrac73\)
14. 【數列、計數】
從 1 到 20 的 20 個整數中，取出相異的 3 個數 \(a\)、\(b\)、\(c\)，使其成為等差數列，且 \(a<b<c\)，則 \((a,b,c)\) 的取法有 _____ 種。
答：90
1° \(a<b<c\) 成等差 \(\Leftrightarrow\) \(2b=a+c\) \(\Rightarrow\) 選好 \(a\)、\(c\)，\(b\) 就決定
2° \(b\) 是整數 \(\Leftrightarrow\) \(a+c\) 是偶數 \(\Leftrightarrow\) \(a\)、\(c\) 同奇或同偶
3° 1～20 中奇數 10 個、偶數 10 個：\(C^{10}_2+C^{10}_2=45+45=90\)
15. 【平面向量】
如圖所示，平面上有一點 \(P_0\) 先朝某方向前進 2 個單位長到達點 \(P_1\) 後，依前進方向左轉 15 度；朝新方向前進 2 個單位長到達點 \(P_2\) 後，然後再依前進方向左轉 15 度；再朝新方向前進 2 個單位長到達點 \(P_3\) 後，…依此類推。
則向量 \(\overrightarrow{P_2P_3}\) 與 \(\overrightarrow{P_5P_6}\) 的內積為 \(\_\_\_\_\_\sqrt{\_\_\_\_\_}\)。（化為最簡根式）
答：2√2
1° 每段長 2、每次左轉 \(15^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{P_kP_{k+1}}\) 的方向比 \(\overrightarrow{P_0P_1}\) 多轉 \(15^\circ\times k\)
2° \(\overrightarrow{P_2P_3}\) 轉 \(30^\circ\)、\(\overrightarrow{P_5P_6}\) 轉 \(75^\circ\) \(\Rightarrow\) 夾角 \(45^\circ\)
3° \(\overrightarrow{P_2P_3}\cdot\overrightarrow{P_5P_6}=2\cdot2\cos45^\circ=2\sqrt2\)
16. 【直線方程式】
正方形紙張上有一點 \(P\)，\(P\) 點距離紙張左邊界 6 公分，距離下邊界 8 公分。今將紙張的左下角 \(O\) 點往內摺至 \(P\) 點，如圖所示。則摺進去的三角形面積是 \(\dfrac{\_\_\_\_\_}{24}\) 平方公分。
答：625/24
1° 設坐標：\(O(0,0)\)、\(P(6,8)\)；\(O\) 摺到 \(P\) \(\Rightarrow\) 摺痕是 \(\overline{OP}\) 的中垂線
2° 中點 \((3,4)\)、法向量 \(\overrightarrow{OP}=(6,8)\parallel(3,4)\) \(\Rightarrow\) 摺痕 \(3x+4y=25\)
3° 截距 \(x=\dfrac{25}3\)、\(y=\dfrac{25}4\) \(\Rightarrow\) 摺進去的三角形與兩軸圍成
4° 面積 \(=\dfrac12\cdot\dfrac{25}3\cdot\dfrac{25}4=\dfrac{625}{24}\)
17. 【排列組合】
考慮所有只用 0, 1, 2 三種數字組成的序列，序列長度 \(n\) 是指該序列由 \(n\) 個數字組成（可重複出現）。令 \(a(n)\) 為在所有長度 \(n\) 的序列中連續兩個零（即 00）出現的次數總和。例如長度 3 的序列中含有連續兩個零的有 000，001，002，100，200，其中 000 貢獻 2 次 00，其餘各貢獻 1 次 00，故 \(a(3)=6\)。則 \(a(5)\) 的值為 _____。
答：108
1° 長度 5 的序列有 4 個相鄰位置：第 1-2、2-3、3-4、4-5 位
2° 換個方式數：每個位置是 00 的序列有幾個，再相加（000 這種會在兩個位置各算一次，剛好就是「貢獻 2 次」）
3° 固定某兩位是 00，其餘 3 位各 3 種 \(\Rightarrow\) \(3^3=27\)
4° \(a(5)=4\times27=108\)（驗證：\(a(3)=2\times3=6\) ✓）
第貳部分、混合題或非選擇題
18–20 題為題組
空地上有三根與地面垂直且等高的電線桿，其底座在一直線上且間距相等。某甲以單點透視法在畫布上畫這三根電線桿。在畫布上設坐標系，使得電線桿皆與 \(y\) 軸平行，三根底座的點分別為 \(A_1(0,0)\)、\(A_2\)、\(A_3\)，都在直線 \(L:x+3y=0\) 上；三根頂端的點分別為 \(B_1(0,3)\)、\(B_2\)、\(B_3\)，都在直線 \(M:2x-3y+9=0\) 上，如圖所示。已知 \(\overline{A_3B_3}=2\overline{A_1B_1}\)，且由單點透視法可知直線 \(A_1B_3\) 與直線 \(A_3B_1\) 的交點在直線 \(A_2B_2\) 上。設 \(L\) 和 \(M\) 相交於 \(P\) 點（此點又稱為「消失點」）。根據上述，試回答下列問題。
18. 【直線、比例】
若向量 \(\overrightarrow{PA_1}=k\overrightarrow{PA_3}\)，則 \(k\) 的值為 \(\dfrac{\_\_\_\_\_}{\_\_\_\_\_}\)。（化為最簡分數）（選填題，3 分）
答：1/2
1° 消失點 \(P\)：\(\begin{cases}x+3y=0\\2x-3y+9=0\end{cases}\) 相加 \(\Rightarrow\) \(3x+9=0\) \(\Rightarrow\) \(P(-3,1)\)
2° 電線桿都和 \(y\) 軸平行 \(\Rightarrow\) \(\triangle PA_1B_1\sim\triangle PA_3B_3\)（\(A_1B_1\parallel A_3B_3\)）
3° \(\overline{A_3B_3}=2\overline{A_1B_1}\) \(\Rightarrow\) \(\overline{PA_1}:\overline{PA_3}=1:2\)，且 \(A_1\)、\(A_3\) 在 \(P\) 同側
4° \(\overrightarrow{PA_1}=\dfrac12\overrightarrow{PA_3}\) \(\Rightarrow\) \(k=\dfrac12\)
19. 【直線方程式】
試求 \(P\) 與 \(B_3\) 這兩點的坐標。（非選擇題，6 分）
答：P(−3, 1)，B₃(3, 5)
1° 由 18 題，\(P(-3,1)\)
2° \(\overrightarrow{PA_3}=2\overrightarrow{PA_1}=2(3,-1)=(6,-2)\) \(\Rightarrow\) \(A_3=P+\overrightarrow{PA_3}=(3,-1)\)
3° \(B_3\) 在 \(A_3\) 正上方（與 \(y\) 軸平行）且在 \(M\) 上：\(x=3\) 代入 \(2x-3y+9=0\) \(\Rightarrow\) \(y=5\)
4° 檢查：\(\overline{A_3B_3}=5-(-1)=6=2\times3=2\overline{A_1B_1}\) ✓
5° \(P(-3,1)\)，\(B_3(3,5)\)
20. 【直線方程式、分點】
若有隻蜜蜂恰好停在中間那根電線桿上距離底座與頂端的長度比為 1：2 的位置上。某甲想在這個畫布的線段 \(A_2B_2\) 上畫出這隻蜜蜂，假設畫布上蜜蜂位置為 \(Q\) 點，即點 \(Q\) 到線段 \(A_2B_2\) 的底座 \(A_2\) 與到線段 \(A_2B_2\) 頂端 \(B_2\) 的長度比為 1：2，試求 \(Q\) 點坐標。（非選擇題，6 分）
答：Q(1, 1)
1° 先求 \(A_2B_2\) 的位置：\(A_1B_3\) 與 \(A_3B_1\) 的交點在 \(A_2B_2\) 上
2° \(A_1B_3\)：過 \((0,0)\)、\((3,5)\) \(\Rightarrow\) \(y=\dfrac53x\)；\(A_3B_1\)：過 \((3,-1)\)、\((0,3)\) \(\Rightarrow\) \(y=3-\dfrac43x\)
3° 聯立：\(\dfrac53x=3-\dfrac43x\) \(\Rightarrow\) \(3x=3\) \(\Rightarrow\) \(x=1\) \(\Rightarrow\) \(A_2B_2\) 在直線 \(x=1\) 上
4° \(x=1\) 代入 \(L\)、\(M\)：\(A_2\Big(1,-\dfrac13\Big)\)、\(B_2\Big(1,\dfrac{11}3\Big)\)
5° \(\overline{A_2Q}:\overline{QB_2}=1:2\)，分點比例交叉放：\(Q=\dfrac{2A_2+B_2}3=\Big(1,\ \dfrac{-\frac23+\frac{11}3}3\Big)=(1,1)\)
6° 看法：每根桿子「離底座 \(\frac13\)」的點都在過 \(P\) 的同一條直線上；\(A_1B_1\) 上那點是 \((0,1)\)，和 \(P(-3,1)\) 連成 \(y=1\)，交 \(x=1\) 也得 \(Q(1,1)\)
112學測數學B五標
- 頂標：12
- 前標：10
- 均標：7
- 後標：4
- 底標：3