巫老師幫同學整理了一份 111 學測數學B詳解，附上大考中心頒布的 111學測數學B試題，最底下有附上 111 學測數學五標。
111 學測數學B詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| (1) | (3) | (2) | (2) | (5) | (3) | (5) |
| 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|
| (1)(2)(5) | (1) | (1)(2)(4) | (2)(3) | (3)(5) |
| 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
|---|---|---|---|---|
| 99 | 17 | \(\frac{14}{15}\) | \(\frac{31}{45}\) | 456 |
| 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|
| (4) | \(\theta_2>\theta_3>\theta_1\) | \(100\sqrt6-240\) 公尺 |
一、單選題
1. 【絕對值】
試問有多少個整數 \(x\) 滿足 \(2|x|+x<10\)？
(1) 13 個
(2) 14 個
(3) 15 個
(4) 16 個
(5) 無窮多個
答：(1)
1° 分 \(x\ge0\)、\(x<0\) 兩段去絕對值
2° \(x\ge0\)：\(2x+x<10\) \(\Rightarrow\) \(x<\dfrac{10}3\) \(\Rightarrow\) \(x=0,1,2,3\)，4 個
3° \(x<0\)：\(-2x+x<10\) \(\Rightarrow\) \(x>-10\) \(\Rightarrow\) \(x=-9,\dots,-1\)，9 個
4° 共 \(4+9=13\) 個
2. 【週期】
某燈會布置變色閃燈，每次啟動後的閃燈顏色會依照以下的順序做週期性變換：藍-白-紅-白-藍-白-紅-白-藍-白-紅-白…，每四次一循環，其中藍光每次持續 5 秒，白光每次持續 2 秒，而紅光每次持續 6 秒。假設換燈號的時間極短可被忽略，試選出啟動後第 99 至 101 秒之間的燈號。
(1) 皆為藍燈
(2) 皆為白燈
(3) 皆為紅燈
(4) 先亮藍燈再亮白燈
(5) 先亮白燈再亮紅燈
答：(3)
1° 一個週期：藍 5 + 白 2 + 紅 6 + 白 2 \(=15\) 秒
2° \(99=15\times6+9\) \(\Rightarrow\) 第 99～101 秒 = 週期中的第 9～11 秒
3° 週期中：藍 \(0\)～\(5\)、白 \(5\)～\(7\)、紅 \(7\)～\(13\) \(\Rightarrow\) 第 9～11 秒都在紅燈
3. 【排列組合】
有八棟大廈排成一列，由左至右分別編號 1,2,3,4,5,6,7,8。今電信公司想選取其中三棟大廈的屋頂分別設立一座電信基地台。若基地台不能設立於相鄰的兩棟大廈，以免訊號互相干擾，試問在 3 號大廈不設立基地台的情況下，有多少種設立基地台的選取方法？
(1) 12
(2) 13
(3) 20
(4) 30
(5) 35
答：(2)
1° 3 號不設 \(\Rightarrow\) 從 1、2、4、5、6、7、8 選 3 棟：\(C^7_3=35\)
2° 先隨便選，再扣掉有相鄰的；相鄰對：\((1,2)\)、\((4,5)\)、\((5,6)\)、\((6,7)\)、\((7,8)\)
3° 依序扣，後面的不再扣前面已扣過的三連號：
含 \((1,2)\)：5 種；含 \((4,5)\)：5 種；含 \((5,6)\)：\(5-1=4\) 種（扣掉 456）；含 \((6,7)\)：4 種（扣掉 567）；含 \((7,8)\)：4 種（扣掉 678）
4° \(35-5-5-4-4-4=13\)
4. 【對數、向量】
在坐標平面上，已知向量 \(\overrightarrow{PQ}=\left(\log\dfrac{1}{5},-10^{-5}\right)\)，其中點 \(P\) 的坐標為 \(\left(\log\dfrac{1}{2},2^{-5}\right)\)。試選出正確的選項。
(1) 點 \(Q\) 在第一象限
(2) 點 \(Q\) 在第二象限
(3) 點 \(Q\) 在第三象限
(4) 點 \(Q\) 在第四象限
(5) 點 \(Q\) 位於坐標軸上
答：(2)
1° \(Q=P+\overrightarrow{PQ}\)
2° \(x\) 坐標：\(\log\dfrac12+\log\dfrac15=\log\dfrac1{10}=-1<0\)
3° \(y\) 坐標：\(2^{-5}-10^{-5}=\dfrac1{32}-\dfrac1{100000}>0\)
4° \(Q(-1,\ \text{正})\) \(\Rightarrow\) 第二象限
5. 【矩陣】
設矩陣 \(A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\)，若 \(A^7-3A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)，則 \(a+b+c+d\) 之值為下列哪一個選項？
(1) \(-8\)
(2) \(-5\)
(3) 5
(4) 8
(5) 10
答：(5)
1° \(A^2=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}=2I\)
2° \(A^6=(A^2)^3=8I\) \(\Rightarrow\) \(A^7=8A\)
3° \(A^7-3A=5A=\begin{bmatrix}5&5\\5&-5\end{bmatrix}\) \(\Rightarrow\) \(a+b+c+d=5+5+5-5=10\)
6. 【弧度、球面】
假設地球為一半徑 \(r\) 的球體，有一質點自甲地沿著該地所在經線往北移動，抵達北極點時移動所經過的弧線之長度為 \(\dfrac{7}{12}\pi r\)。試問哪一個選項最可能是甲地的位置？
(1) 東經 \(75^\circ\)、北緯 \(15^\circ\)
(2) 東經 \(30^\circ\)、南緯 \(75^\circ\)
(3) 東經 \(75^\circ\)、南緯 \(15^\circ\)
(4) 西經 \(30^\circ\)、北緯 \(75^\circ\)
(5) 西經 \(15^\circ\)、南緯 \(30^\circ\)
答：(3)
1° 弧長 \(r\theta=\dfrac7{12}\pi r\) \(\Rightarrow\) \(\theta=\dfrac{7\pi}{12}=105^\circ\)（這是甲離北極的角度）
2° 北極到赤道 \(90^\circ\) \(\Rightarrow\) \(90^\circ-105^\circ=-15^\circ\) \(\Rightarrow\) 甲在南緯 \(15^\circ\)
3° 經度不影響 \(\Rightarrow\) 東經 \(75^\circ\)、南緯 \(15^\circ\)
7. 【數線、比例】
畫家把空間景物用單點透視法畫在平面的畫紙上時，有以下原則要遵守：
一、空間中的直線畫在畫紙上必須是一條直線。
二、空間直線上點的相關位置必須和畫紙所畫的點的相關位置一致。
三、空間直線上的任四個相異點的 \(K\) 值，和畫紙所畫的四個點之 \(K\) 值必須相同，其中 \(K\) 值的定義如下：直線上任給四個有順序的相異點 \(P_1,P_2,P_3,P_4\)，如下圖。
其所對應的 \(K\) 值定義為
\[K=\dfrac{\overline{P_1P_4}\times\overline{P_2P_3}}{\overline{P_1P_3}\times\overline{P_2P_4}}。\]
今某畫家依照以上原則，將空間中一直線及該線上的四相異點 \(Q_1,Q_2,Q_3,Q_4\) 描繪在畫紙上，其中 \(\overline{Q_1Q_2}=\overline{Q_2Q_3}=\overline{Q_3Q_4}\)。若將畫紙上所畫的直線視為一數線，並將線上的點用坐標來表示，則在下列選項的四個坐標中，試問哪一組最可能是該四點在畫紙上的坐標？
(1) 1, 2, 4, 8
(2) 3, 4, 6, 9
(3) 1, 5, 8, 9
(4) 1, 2, 4, 9
(5) 1, 7, 9, 10
答：(5)
1° 等距 \(Q_1Q_2=Q_2Q_3=Q_3Q_4=1\)：\(K=\dfrac{3\times1}{2\times2}=\dfrac34\)
2° 畫紙上的四點 \(K\) 值也要是 \(\dfrac34\)，各選項代入 \(K=\dfrac{\overline{P_1P_4}\times\overline{P_2P_3}}{\overline{P_1P_3}\times\overline{P_2P_4}}\)：
(1) \(\dfrac{7\times2}{3\times6}=\dfrac79\)
(2) \(\dfrac{6\times2}{3\times5}=\dfrac45\)
(3) \(\dfrac{8\times3}{7\times4}=\dfrac67\)
(4) \(\dfrac{8\times2}{3\times7}=\dfrac{16}{21}\)
(5) \(\dfrac{9\times2}{8\times3}=\dfrac34\)
二、多選題
8. 【直線與圓】
有一射擊遊戲，將發射台設置於坐標平面的原點，並放置三個半徑為 1 的圓盤靶子，其圓心分別為 \((2,2)\)、\((4,6)\) 與 \((8,1)\)。玩家選定一正數 \(a\)，並按下按鈕後，發射台將向點 \((1,a)\) 方向發射一道雷射光束（形成一射線）。假設雷射光束擊中靶子後可以穿透並繼續沿原方向前進（削過圓盤邊緣也視為擊中）。試選出正確的選項。
(1) 雷射光束落在通過原點且斜率為 \(a\) 的直線上
(2) 若 \(a=\dfrac{3}{2}\)，則雷射光束會擊中圓心為 \((4,6)\) 的圓盤靶子
(3) 玩家可以僅發射一道雷射光束就擊中三個圓盤靶子
(4) 玩家至少需要發射三道雷射光束才可擊中三個圓盤靶子
(5) 玩家發射一道雷射光束後，若擊中圓心為 \((8,1)\) 的圓盤靶子，則 \(a\le\dfrac{16}{63}\)
答：(1)(2)(5)
1° 光束過原點設 \(y=ax\)，即 \(ax-y=0\)；擊中圓盤 \(\Leftrightarrow\) 圓心到直線距離 \(d\le r=1\)，相切是邊界
2° \((2,2)\)：\(\dfrac{|2a-2|}{\sqrt{a^2+1}}\le1\) \(\Rightarrow\) \(3a^2-8a+3\le0\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{4-\sqrt7}3\le a\le\dfrac{4+\sqrt7}3\)（約 \(0.45\le a\le2.22\)）
3° \((4,6)\)：\(\dfrac{|4a-6|}{\sqrt{a^2+1}}\le1\) \(\Rightarrow\) \(15a^2-48a+35\le0\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{24-\sqrt{51}}{15}\le a\le\dfrac{24+\sqrt{51}}{15}\)（約 \(1.12\le a\le2.08\)）
4° \((8,1)\)：\(\dfrac{|8a-1|}{\sqrt{a^2+1}}\le1\) \(\Rightarrow\) \(63a^2-16a\le0\) \(\Rightarrow\) \(0<a\le\dfrac{16}{63}\)（約 \(0.25\)）
(1) 過 \((0,0)\)、\((1,a)\) \(\Rightarrow\) 斜率 \(a\)
(2) \(a=\frac32\)：\((4,6)\) 到 \(3x-2y=0\) 距離 \(\dfrac{|12-12|}{\sqrt{13}}=0\)，直接穿過圓心
(3) \((8,1)\) 的範圍 \(a\le0.25\) 與 \((2,2)\) 的範圍 \(a\ge0.45\) 沒有交集，不行
(4) \(a=\frac32\) 同時在 \((2,2)\)、\((4,6)\) 的範圍內，再加一道打 \((8,1)\) \(\Rightarrow\) 兩道就夠
(5) 由 4°，\(a\le\dfrac{16}{63}\)
9. 【三次函數】
設 \(f(x)=2x^3-3x+1\)，下列關於函數 \(y=f(x)\) 的圖形之描述，試選出正確的選項。
(1) \(y=f(x)\) 的圖形通過點 \((1,0)\)
(2) \(y=f(x)\) 的圖形與 \(x\) 軸只有一個交點
(3) 點 \((1,0)\) 是 \(y=f(x)\) 的圖形之對稱中心
(4) \(y=f(x)\) 的圖形在對稱中心附近會近似於一直線 \(y=3x-3\)
(5) \(y=3x^3-6x^2+2x\) 的圖形可由 \(y=f(x)\) 的圖形經適當平移得到
答：(1)
1° \(f(x)=2x^3-3x+1\) 沒有 \(x^2\) 項 \(\Rightarrow\) 已是標準式：對稱中心 \((0,1)\)，附近近似 \(y=-3x+1\)
(1) \(f(1)=2-3+1=0\)
(2) \(f(x)=(x-1)(2x^2+2x-1)\) \(\Rightarrow\) \(x=1\)、\(\dfrac{-1\pm\sqrt3}2\)，與 \(x\) 軸交 3 點
(3) 對稱中心是 \((0,1)\)
(4) 近似直線是 \(y=-3x+1\)
(5) \(x^3\) 係數 \(3\ne2\)，廣域特徵不一樣，就不只是平移
10. 【數據分析】
甲、乙兩班各有 40 位同學參加某次數學考試（總分為 100 分），考試後甲、乙兩班分別以 \(y_1=0.8x_1+20\) 和 \(y_2=0.75x_2+25\) 的方式來調整分數，其中 \(x_1,x_2\) 分別代表甲、乙兩班的原始考試分數，\(y_1,y_2\) 分別代表甲、乙兩班調整後的分數。已知調整後兩班的平均分數均為 60 分，調整後的標準差分別為 16 分和 15 分。試選出正確的選項。
(1) 甲班每位同學調整後的分數均不低於其原始分數
(2) 甲班原始分數的平均分數比乙班原始分數的平均分數高
(3) 甲班原始分數的標準差比乙班原始分數的標準差高
(4) 若甲班 A 同學調整後的分數比乙班 B 同學調整後的分數高，則 A 同學的原始分數比 B 同學的原始分數高
(5) 若甲班調整後不及格（小於 60 分）的人數比乙班調整後不及格的人數多，則甲班原始分數不及格的人數必定比乙班原始分數不及格的人數多
答：(1)(2)(4)
1° 調分前後相等的點：\(x=0.8x+20\) \(\Rightarrow\) \(x=100\)；\(x=0.75x+25\) \(\Rightarrow\) \(x=100\)
(1) \(y_1-x_1=20-0.2x_1\ge0\)（\(x_1\le100\)）\(\Rightarrow\) 低於 100 分都被調高
(2) \(60=0.8\mu_1+20\) \(\Rightarrow\) \(\mu_1=50\)；\(60=0.75\mu_2+25\) \(\Rightarrow\) \(\mu_2=\dfrac{140}3\approx46.7\) \(\Rightarrow\) \(\mu_1>\mu_2\)
(3) 標準差只乘倍數不加：\(16=0.8\sigma_1\) \(\Rightarrow\) \(\sigma_1=20\)；\(15=0.75\sigma_2\) \(\Rightarrow\) \(\sigma_2=20\)，一樣高
(4) \(0.8x_1+20>0.75x_2+25\) \(\Rightarrow\) \(16x_1>15x_2+100\ge15x_2+x_2\)（\(x_2\le100\)）\(\Rightarrow\) \(x_1>x_2\)
(5) 調整後不及格：甲 \(\Leftrightarrow x_1<50\)，乙 \(\Leftrightarrow x_2<\frac{140}3\)；原始不及格是 \(x<60\)，兩班分數分布不知道 \(\Rightarrow\) 不一定（反例：甲 \(50\)～\(59\) 分 0 人、乙 \(47\)～\(59\) 分很多人）
11. 【平面向量】
考慮坐標平面上的點 \(O(0,0)\)、\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)、\(F\)、\(G\)，如下圖所示：
其中 \(B\) 點、\(C\) 與 \(D\) 點、\(E\) 與 \(F\) 點、\(G\) 與 \(A\) 點依序在一、二、三、四象限內。若 \(\overrightarrow{v}\) 為坐標平面上的向量，且滿足 \(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{OA}>0\) 及 \(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{OB}>0\)，則 \(\overrightarrow{v}\) 與下列哪些向量的內積一定小於 0？
(1) \(\overrightarrow{OC}\)
(2) \(\overrightarrow{OD}\)
(3) \(\overrightarrow{OE}\)
(4) \(\overrightarrow{OF}\)
(5) \(\overrightarrow{OG}\)
答：(2)(3)
1° \(\vec v\cdot\overrightarrow{OA}>0\)、\(\vec v\cdot\overrightarrow{OB}>0\) \(\Rightarrow\) 對 \(\vec w=\alpha\overrightarrow{OA}+\beta\overrightarrow{OB}\)（\(\alpha,\beta>0\)），\(\vec v\cdot\vec w>0\)
2° 對頂區域：\(\vec w=-(\alpha\overrightarrow{OA}+\beta\overrightarrow{OB})\) \(\Rightarrow\) \(\vec v\cdot\vec w=-(\alpha\,\vec v\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\,\vec v\cdot\overrightarrow{OB})<0\)，一定小於 0
3° 由圖，夾在 \(-\overrightarrow{OA}\) 與 \(-\overrightarrow{OB}\) 之間的只有 \(D\)、\(E\)
(2)(3) \(D\)、\(E\) 在對頂區域 \(\Rightarrow\) 內積一定 \(<0\)
(1)(4)(5) \(C\)、\(F\)、\(G\) 不在 \(\overrightarrow{OA}\)、\(\overrightarrow{OB}\) 之間，也不在對頂區域，正負依 \(\vec v\) 而定，不一定
12. 【多項式不等式】
設 \(a,b,c\) 都是非零的實數，且二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) 的兩根都落在 1 和 3 之間。試選出兩根必定都落在 4 和 5 之間的方程式。
(1) \(a(x-2)^2+b(x-2)+c=0\)
(2) \(a(x+2)^2+b(x+2)+c=0\)
(3) \(a(2x-7)^2+b(2x-7)+c=0\)
(4) \(a(\dfrac{x+7}{2})^2+b(\dfrac{x+7}{2})+c=0\)
(5) \(a(3x-11)^2+b(3x-11)+c=0\)
答：(3)(5)
1° \(ax^2+bx+c=0\) 的兩根在 \(1\) 和 \(3\) 之間；新方程式把「原來 \(x\) 的位置」換成一整塊 \(\Rightarrow\) 令 \(1<\) 整塊 \(<3\) 解 \(x\)
2° 「必定落在 4 和 5 之間」\(\Rightarrow\) 解出的區間要包含於 \((4,5)\)
(1) \(1<x-2<3\) \(\Rightarrow\) \(3<x<5\)，不一定在 \((4,5)\)
(2) \(1<x+2<3\) \(\Rightarrow\) \(-1<x<1\)
(3) \(1<2x-7<3\) \(\Rightarrow\) \(4<x<5\)
(4) \(1<\dfrac{x+7}2<3\) \(\Rightarrow\) \(-5<x<-1\)
(5) \(1<3x-11<3\) \(\Rightarrow\) \(4<x<\dfrac{14}3\)，包含於 \((4,5)\)
三、選填題
13. 【指數與對數】
若 \(x,y\) 為兩正實數，且滿足 \(x^{\frac{-1}{3}}y^2=1\) 及 \(2\log y=1\)，則 \(\dfrac{x-y^2}{10}=\_\_\_\_\_\)。
答：99
1° \(2\log y=1\) \(\Rightarrow\) \(\log y^2=1\) \(\Rightarrow\) \(y^2=10\)
2° \(y^2\) 整塊代入：\(x^{-\frac13}\cdot10=1\) \(\Rightarrow\) \(x^{-\frac13}=10^{-1}\) \(\Rightarrow\) \(x=10^3=1000\)
3° \(\dfrac{x-y^2}{10}=\dfrac{1000-10}{10}=99\)
14. 【平面向量】
坐標平面上有一個半徑為 7 的圓，其圓心為 \(O\) 點。已知圓上有 \(A,B\) 兩點，且 \(\overline{AB}=8\)，則內積 \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\_\_\_\_\_\)。
答：17
1° \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos\angle AOB\)
2° 餘弦定理：\(\cos\angle AOB=\dfrac{7^2+7^2-8^2}{2\cdot7\cdot7}=\dfrac{34}{2\cdot49}=\dfrac{17}{49}\)
3° \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=7\cdot7\cdot\dfrac{17}{49}=17\)
15. 【條件機率】
根據某國對失蹤輕航機的調查得知：失蹤輕航機中有 70% 後來會被找到，在被找到的輕航機當中，有 60% 裝設緊急定位傳送器；而沒被找到的失蹤輕航機當中，則有 90% 未裝設緊急定位傳送器。緊急定位傳送器會在飛機失事墜毀時發送訊號，讓搜救人員可以定位。現有一架輕航機失蹤，若已知該機有裝設緊急定位傳送器，則它會被找到的機率為 \(\dfrac{\_\_\_}{\_\_\_}\)。（化為最簡分數）
答：14/15
1° 「已知…」\(\Rightarrow\) \(P(\text{找到}\mid\text{有裝})=\dfrac{P(\text{找到}\cap\text{有裝})}{P(\text{有裝})}\)
2° 畫樹狀圖：第一層找到／沒找到，第二層有無裝設
3° 分母：\(0.7\times0.6+0.3\times0.1=0.42+0.03=0.45\)
4° 所求 \(=\dfrac{0.42}{0.45}=\dfrac{14}{15}\)
16. 【機率】
袋中有藍、綠、黃三種顏色的球共 10 顆。今從袋中隨機抽取兩顆球（每顆球被抽中的機率相等），若抽出的兩顆球皆為藍色的機率為 \(\dfrac{1}{15}\)，皆為綠色的機率為 \(\dfrac{2}{9}\)，則從袋中隨機抽出兩球，此兩球為相異顏色的機率為 \(\dfrac{\_\_\_}{\_\_\_}\)。（化為最簡分數）
答：31/45
1° 先決定分母：\(C^{10}_2=45\)；設藍 \(a\)、綠 \(b\)、黃 \(c\) 顆
2° \(\dfrac{C^a_2}{45}=\dfrac1{15}\) \(\Rightarrow\) \(C^a_2=3\) \(\Rightarrow\) \(a=3\)
3° \(\dfrac{C^b_2}{45}=\dfrac29\) \(\Rightarrow\) \(C^b_2=10\) \(\Rightarrow\) \(b=5\) \(\Rightarrow\) \(c=10-3-5=2\)
4° 相異顏色 = 三種配對：\(C^3_1C^5_1+C^3_1C^2_1+C^5_1C^2_1=15+6+10=31\)
5° 所求 \(=\dfrac{31}{45}\)（或 \(1-\dfrac{3+10+1}{45}=\dfrac{31}{45}\)）
17. 【排列組合】
有三女三男共六位在校時和老師常有互動的同學，畢業後老師邀聚餐，餐後七人站一橫排照相留念。已知同學中有一女一男兩位曾有過不愉快，照相時不想相鄰，而老師站在正中間且三位男生不完全站在老師的同一側，則可能的排列方式共有 \(\_\_\_\_\_\) 種。
答：456
1° 老師固定正中間，六位同學排左右 6 個位置：\(6!=720\)
2° 扣「三男同側」：選哪一側 2 種，男生排那側 \(3!\)，女生排另一側 \(3!\) \(\Rightarrow\) \(2\times3!\times3!=72\)
3° 扣「那對男女相鄰」：相鄰位置只有左側 2 組、右側 2 組（隔著老師不算相鄰），共 4 種，兩人對調 \(2!\)，其餘 4 人 \(4!\) \(\Rightarrow\) \(4\times2!\times4!=192\)
4° 三男同側時那位女生在另一側，不會和那位男生相鄰 \(\Rightarrow\) 沒有重複扣，不用加回
5° \(720-72-192=456\)
第貳部分、混合題或非選擇題
18–20 題為題組
18-20 題為題組
瘦長的塔因為年代久遠，塔身容易傾斜。在下方右圖中，以粗黑線條代表塔身，而塔身的長度稱為塔高，塔身與鉛直虛線的夾角 \(\theta^\circ\) 稱為該塔的傾斜度（\(0\le\theta<90\)），又塔頂至鉛直虛線的距離稱為該塔的偏移距離。
根據上述資料，試回答下列問題。
18. 【弧度量】
已知世界上傾斜度最高的摩天大樓坐落於阿布達比，其傾斜度達到 \(18^\circ\)，此傾斜度換算成弳（或弧度）為下列哪一個選項？（單選題，5 分）
(1) \(\dfrac{\pi}{36}\)
(2) \(\dfrac{\pi}{18}\)
(3) \(\dfrac{\pi}{20}\)
(4) \(\dfrac{\pi}{10}\)
(5) \(\dfrac{\pi}{8}\)
答：(4)
1° \(\pi=180^\circ\) \(\Rightarrow\) \(18^\circ=18\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{10}\)
19. 【三角比】
中國虎丘塔、護珠塔與義大利的比薩斜塔是三座著名斜塔，它們的塔高分別為 48、19 與 57（公尺），偏移距離分別為 2.3、2.3 與 4（公尺），塔的傾斜度分別記為 \(\theta_1^\circ\)、\(\theta_2^\circ\) 與 \(\theta_3^\circ\)。試比較 \(\theta_1\)、\(\theta_2\) 與 \(\theta_3\) 三數的大小關係。（非選擇題，4 分）
答：θ₂ > θ₃ > θ₁
1° 塔身是斜邊、偏移距離是對邊 \(\Rightarrow\) \(\sin\theta^\circ=\dfrac{\text{偏移距離}}{\text{塔高}}\)
2° \(\sin\theta_1^\circ=\dfrac{2.3}{48}\)、\(\sin\theta_2^\circ=\dfrac{2.3}{19}\)、\(\sin\theta_3^\circ=\dfrac{4}{57}\)
3° 交叉相乘比大小：
\(\dfrac{2.3}{48}\) vs \(\dfrac4{57}\)：\(2.3\times57=131.1<4\times48=192\) \(\Rightarrow\) \(\sin\theta_1^\circ<\sin\theta_3^\circ\)
\(\dfrac4{57}\) vs \(\dfrac{2.3}{19}\)：\(4\times19=76<2.3\times57=131.1\) \(\Rightarrow\) \(\sin\theta_3^\circ<\sin\theta_2^\circ\)
4° \(0\le\theta<90\) 時 sin 越大角越大 \(\Rightarrow\) \(\theta_2>\theta_3>\theta_1\)
20. 【三角比】
假設有塔高相等的兩座鐵塔，它們的傾斜度 \(\alpha^\circ\)，\(\beta^\circ\) 分別滿足 \(\sin\alpha^\circ=\dfrac{1}{5}\) 與 \(\sin\beta^\circ=\dfrac{7}{25}\)。已知兩座鐵塔的偏移距離相差 20 公尺，試求它們的塔頂到地面之距離相差多少公尺。（非選擇題，6 分）
答：100√6 − 240
1° 兩塔塔高同設 \(x\)：偏移距離 \(x\sin\alpha^\circ\)、\(x\sin\beta^\circ\)，塔頂到地面距離 \(x\cos\alpha^\circ\)、\(x\cos\beta^\circ\)
2° \(\sin\beta^\circ>\sin\alpha^\circ\) \(\Rightarrow\) \(x\sin\beta^\circ-x\sin\alpha^\circ=20\) \(\Rightarrow\) \(x\Big(\dfrac7{25}-\dfrac5{25}\Big)=20\) \(\Rightarrow\) \(x=250\)
3° \(\cos\alpha^\circ=\sqrt{1-\dfrac1{25}}=\dfrac{2\sqrt6}5\)、\(\cos\beta^\circ=\sqrt{1-\dfrac{49}{625}}=\dfrac{24}{25}\)（銳角取正）
4° \(x\cos\alpha^\circ-x\cos\beta^\circ=250\times\dfrac{2\sqrt6}5-250\times\dfrac{24}{25}=100\sqrt6-240\)
5° 塔頂到地面的距離相差 \(100\sqrt6-240\)（約 \(4.9\)）公尺
111 學測數學B 五標
- 頂標：13
- 前標：11
- 均標：8
- 後標：4
- 底標：3