巫老師幫同學整理了一份 111 學測數學A詳解，附上大考中心頒布的 111學測數學A試題
111 學測數學A詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| (4) | (1) | (5) | (3) | (2) | (5) |
| 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| (2)(4) | (1)(4) | (3)(4) | (1)(2) | (2)(3)(4) | (1)(2) |
| 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
|---|---|---|---|---|
| 4.2 | \(a=2\)，\(b=\frac12\) | 192 | \(x-3y-2z=5\) | 21 |
| 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|
| (4) | \(\cos\angle OA'B'=0\)，\(A'\left[\sqrt3,\frac{5\pi}{6}\right]\) | \(\Omega=\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{12}\)，\(R=\frac{5\pi}{12}\) |
第壹部分、選擇（填）題
一、單選題
1. 【排列組合】
某冰淇淋店最少需準備 \(n\) 桶不同口味的冰淇淋，才能滿足廣告所稱「任選兩球不同口味冰淇淋的組合數超過 100 種」。試問來店顧客從 \(n\) 桶中任選兩球（可為同一口味）共有幾種方法？
(1) 101
(2) 105
(3) 115
(4) 120
(5) 225
答：(4)
1° 不同口味兩球：\(C^n_2>100\) \(\Rightarrow\) \(C^{14}_2=91\)、\(C^{15}_2=105\) \(\Rightarrow\) \(n=15\)
2° 可為同一口味，分「同／異」：同 \(C^{15}_1=15\)；異 \(C^{15}_2=105\)
3° 共 \(15+105=120\)
2. 【對數】
某品牌計算機在計算對數 \(\log_a b\) 時需按 \(\boxed{\log}\ \boxed{(}\ \boxed{a}\ \boxed{,}\ \boxed{b}\ \boxed{)}\)。某生在計算 \(\log_a b\) 時（其中 \(a>1\) 且 \(b>1\)）順序弄錯，誤按 \(\boxed{\log}\ \boxed{(}\ \boxed{b}\ \boxed{,}\ \boxed{a}\ \boxed{)}\)，所得為正確值的 \(\dfrac{9}{4}\) 倍。試選出 \(a,b\) 間的關係式。
(1) \(a^2=b^3\)
(2) \(a^3=b^2\)
(3) \(a^4=b^9\)
(4) \(2a=3b\)
(5) \(3a=2b\)
答：(1)
1° 誤按得 \(\log_b a\) \(\Rightarrow\) \(\log_b a=\dfrac94\log_a b\)
2° 換底：\(\dfrac{\log a}{\log b}=\dfrac94\cdot\dfrac{\log b}{\log a}\) \(\Rightarrow\) \(9(\log b)^2=4(\log a)^2\)
3° \(a,b>1\) \(\Rightarrow\) \(\log a,\log b>0\)，開根號：\(3\log b=2\log a\)
4° 係數放回真數：\(\log b^3=\log a^2\) \(\Rightarrow\) \(a^2=b^3\)
3. 【數據分析】
在處理二維數據時，有種方法是將數據垂直投影到某一直線，並以該直線為數線，進而了解投影點所成一維數據的變異。下圖的一組二維數據，試問投影到哪一選項的直線，所得之一維投影數據的變異數會是最小？
(1) \(y=2x\)
(2) \(y=-2x\)
(3) \(y=-x\)
(4) \(y=\dfrac{x}{2}\)
(5) \(y=-\dfrac{x}{2}\)
答：(5)
1° 數據大致沿 \(y=2x\) 分布 \(\Rightarrow\) 投影到 \(y=2x\) 上最分散
2° 投影到和它垂直、過原點的直線（斜率 \(-\dfrac12\)）\(\Rightarrow\) 投影點全擠在原點附近，最集中，變異數最小
3° \(y=-\dfrac x2\) 即選項 (5)
註：題目沒解釋垂直投影，要自己猜，這是素養題的特色
4. 【等差數列、對數】
設等差數列 \(\langle a_n\rangle\) 之首項 \(a_1\) 與公差 \(d\) 皆為正數，且 \(\log a_1,\log a_3,\log a_6\) 依序也成等差數列。試選出數列 \(\log a_1,\log a_3,\log a_6\) 的公差。
(1) \(\log d\)
(2) \(\log\dfrac{2}{3}\)
(3) \(\log\dfrac{3}{2}\)
(4) \(\log 2d\)
(5) \(\log 3d\)
答：(3)
1° 成等差 \(\Rightarrow\) 後項 − 前項相等：\(\log a_3-\log a_1=\log a_6-\log a_3\)
2° log 相減變相除：\(\dfrac{a_3}{a_1}=\dfrac{a_6}{a_3}\) \(\Rightarrow\) \(a_3^2=a_1a_6\)
3° 換成 \(a_1\)、\(d\)：\((a_1+2d)^2=a_1(a_1+5d)\) \(\Rightarrow\) \(4a_1d+4d^2=5a_1d\) \(\Rightarrow\) \(a_1=4d\)（\(d>0\)）
4° 公差 \(=\log\dfrac{a_3}{a_1}=\log\dfrac{6d}{4d}=\log\dfrac32\)
5. 【條件機率】
已知某地區有 30% 的人口感染某傳染病。針對該傳染病的快篩試劑檢驗，有陽性或陰性兩結果。已知該試劑將染病者判為陽性的機率為 80%，將未染病者判為陰性的機率則為 60%。為降低該試劑將染病者誤判為陰性的情況，專家建議連續採檢三次。若單次採檢判為陰性者中，染病者的機率為 \(P\)；而連續採檢三次皆判為陰性者中，染病者的機率為 \(P'\)。試問 \(\dfrac{P}{P'}\) 最接近哪一選項？
(1) 7
(2) 8
(3) 9
(4) 10
(5) 11
答：(2)
1° 「…判為陰性者中，染病者的機率」\(\Rightarrow\) \(P=P(\text{染病}\mid\text{陰})\)；先畫樹狀圖
2° 一次：\(P=\dfrac{0.3\times0.2}{0.3\times0.2+0.7\times0.6}=\dfrac{0.06}{0.48}=\dfrac18\)
3° 三次：\(P'=\dfrac{0.3\times0.2^3}{0.3\times0.2^3+0.7\times0.6^3}\)
4° \(\dfrac{P}{P'}=P\times\dfrac1{P'}\)，先約掉共同部分：\(\dfrac1{P'}=1+\dfrac{0.7\times0.6^3}{0.3\times0.2^3}=1+\dfrac{7}{3}\times27=64\)
5° \(\dfrac{P}{P'}=\dfrac18\times64=8\)
6. 【直線方程式】
設坐標平面上兩直線 \(L_1,L_2\) 的斜率皆為正，且 \(L_1,L_2\) 有一夾角的平分線斜率為 \(\dfrac{11}{9}\)。另一直線 \(L\) 通過點 \((2,\dfrac{1}{3})\) 且與 \(L_1,L_2\) 所圍的有界區域為正三角形，試問 \(L\) 的方程式為下列哪一選項？
(1) \(11x-9y=19\)
(2) \(9x+11y=25\)
(3) \(11x+9y=25\)
(4) \(27x-33y=43\)
(5) \(27x+33y=65\)
答：(5)
1° \(L_1\)、\(L_2\) 斜率都正 \(\Rightarrow\) 兩線夾的銳角由斜率正的平分線（\(\frac{11}9\)）平分；正三角形這個角是 \(60^\circ\)
2° 正三角形頂角的平分線也是高 \(\Rightarrow\) \(L\perp\) 平分線 \(\Rightarrow\) \(L\) 斜率 \(-\dfrac9{11}\)
3° 先用斜率刪選項（(1) 斜率 \(\frac{11}9\) 和平分線平行，不合）：只剩 (2) \(9x+11y=25\)、(5) \(27x+33y=65\)
4° 代點 \((2,\frac13)\)：(2) \(18+\frac{11}3\ne25\)；(5) \(54+11=65\) ✓
二、多選題
7. 【絕對值不等式】
設整數 \(n\) 滿足 \(|5n-21|\ge 7|n|\)。試選出正確的選項。
(1) \(|5n-7n|\ge 21\)
(2) \(-1\le\dfrac{7n}{5n-21}\le 1\)
(3) \(7n\le 5n-21\)
(4) \((5n-21)^2\ge 49n^2\)
(5) 滿足題設不等式的整數 \(n\) 有無窮多個
答：(2)(4)
1° 不能直接拿掉絕對值（兩邊不一定正）；先用反例 \(n=0\)：\(|-21|\ge0\) 成立
(1) \(n=0\)：\(|0|\ge21\) 不成立
(2) \(5n-21\ne0\)（\(n\) 為整數），同除 \(|5n-21|\)：\(\left|\dfrac{7n}{5n-21}\right|\le1\)
(3) \(n=0\)：\(0\le-21\) 不成立
(4) 兩邊都非負，可平方
(5) 移項用平方差：\((5n-21)^2-(7n)^2=(-2n-21)(12n-21)\ge0\) \(\Rightarrow\) \(-\dfrac{21}2\le n\le\dfrac74\) \(\Rightarrow\) \(n=-10,\dots,1\)，有限個
8. 【正弦定理、餘弦定理】
坐標平面上，\(\Delta ABC\) 三頂點的坐標分別為 \(A(0,2),B(1,0),C(4,1)\)，試選出正確的選項。
(1) \(\Delta ABC\) 的三邊中，\(\overline{AC}\) 最長
(2) \(\sin A<\sin C\)
(3) \(\Delta ABC\) 為銳角三角形
(4) \(\sin B=\dfrac{7\sqrt{2}}{10}\)
(5) \(\Delta ABC\) 的外接圓半徑比 2 小
答：(1)(4)
1° 距離公式，留平方值比較：\(\overline{AB}^2=5\)、\(\overline{BC}^2=10\)、\(\overline{AC}^2=17\)
(1) \(17\) 最大 \(\Rightarrow\) \(\overline{AC}\) 最長
(2) 大邊對大角：\(a=\overline{BC}=\sqrt{10}>c=\overline{AB}=\sqrt5\) \(\Rightarrow\) \(\sin A>\sin C\)
(3) \(17>5+10\) \(\Rightarrow\) \(\angle B\) 是鈍角
(4) \(\cos B=\dfrac{5+10-17}{2\sqrt5\sqrt{10}}=-\dfrac{1}{5\sqrt2}\) \(\Rightarrow\) \(\sin B=\sqrt{1-\dfrac1{50}}=\dfrac{7}{5\sqrt2}=\dfrac{7\sqrt2}{10}\)
(5) \(2R=\dfrac{\sqrt{17}}{\sin B}=\dfrac{10\sqrt{17}}{7\sqrt2}\) \(\Rightarrow\) \(R=\dfrac{5\sqrt{34}}{14}\approx\dfrac{5\times5.83}{14}\approx2.08>2\)
9. 【平面向量、面積】
已知 \(P\) 為 \(\Delta ABC\) 內一點，且 \(\overrightarrow{AP}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}\)，其中 \(a,b\) 為相異實數。設 \(Q,R\) 在同一平面上，且 \(\overrightarrow{AQ}=b\overrightarrow{AB}+a\overrightarrow{AC}\)，\(\overrightarrow{AR}=a\overrightarrow{AB}+(b-0.05)\overrightarrow{AC}\)。試選出正確的選項。
(1) \(Q,R\) 也都在 \(\Delta ABC\) 內部
(2) \(\left|\overrightarrow{AP}\right|=\left|\overrightarrow{AQ}\right|\)
(3) \(\Delta ABP\) 面積 \(=\Delta ACQ\) 面積
(4) \(\Delta BCP\) 面積 \(=\Delta BCQ\) 面積
(5) \(\Delta ABP\) 面積 \(>\Delta ABR\) 面積
答：(3)(4)
1° \(P\) 在內部 \(\Leftrightarrow\) \(a>0\)、\(b>0\)、\(a+b<1\)；面積用 \(\dfrac12|\det|\)
(1) \(Q\) 係數 \(b,a\) 一樣滿足，在內部；\(R\) 的係數 \(b-0.05\) 可能變負 \(\Rightarrow\) 不一定
(2) \(|\overrightarrow{AP}|^2-|\overrightarrow{AQ}|^2=(a^2-b^2)\big(|\overrightarrow{AB}|^2-|\overrightarrow{AC}|^2\big)\)，\(a\ne b\) 且 \(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\) 不一定等長 \(\Rightarrow\) 不一定
(3) 和 \(\overrightarrow{AB}\) 同方向的部分消掉：\(\triangle ABP=\dfrac12|\det(\overrightarrow{AB},b\overrightarrow{AC})|=b\cdot\triangle ABC\)；同理 \(\triangle ACQ=b\cdot\triangle ABC\)
(4) 同 (3)：\(\triangle ACP=a\cdot\triangle ABC\) \(\Rightarrow\) \(\triangle BCP=(1-a-b)\triangle ABC\)；\(\triangle BCQ=(1-b-a)\triangle ABC\)，相等
(5) \(\triangle ABR=|b-0.05|\,\triangle ABC\)；反例 \(b=0.01\)：\(|b-0.05|=0.04>0.01\)
10. 【三次函數】
給定一實係數三次多項式函數 \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+3\)。令 \(g(x)=f(-x)-3\)，已知 \(y=g(x)\) 圖形的對稱中心為 \((1,0)\) 且 \(g(-1)<0\)。試選出正確的選項。
(1) \(g(x)=0\) 有三相異整數根
(2) \(a<0\)
(3) \(y=f(x)\) 圖形的對稱中心為 \((-1,-3)\)
(4) \(f(100)<0\)
(5) \(y=f(x)\) 的圖形在點 \((-1,f(-1))\) 附近會近似於一條斜率為 \(a\) 的直線
答：(1)(2)
1° \(g(x)=f(-x)-3=-ax^3+bx^2-cx\)
2° 對稱中心 \((1,0)\) 拆兩式：\(-\dfrac{b}{3(-a)}=1\) \(\Rightarrow\) \(b=3a\)；\(g(1)=-a+b-c=0\) \(\Rightarrow\) \(c=2a\)
3° 換掉 \(b\)、\(c\) 後提 \(-ax\)：\(g(x)=-ax(x^2-3x+2)=-ax(x-1)(x-2)\)
(1) 根 \(0,1,2\)
(2) \(g(-1)=-a(-1)(-2)(-3)=6a<0\) \(\Rightarrow\) \(a<0\)
(3) \(f(x)=g(-x)+3\)：\(g\) 中心 \((1,0)\) 對 \(y\) 軸翻到 \((-1,0)\)，再上移 3 \(\Rightarrow\) \((-1,3)\)
(4) \(f(100)=a(10^6+3\times10^4+200)+3=1030200a+3\)，不確定 \(a\) 值（如 \(a=-10^{-9}\) 時為正）\(\Rightarrow\) 不一定
(5) \(f(x)=g(-x)+3=ax(x+1)(x+2)+3=a(x+1)^3-a(x+1)+3\) \(\Rightarrow\) 在 \(x=-1\) 附近近似 \(y=-a(x+1)+3\)，斜率 \(-a\)
11. 【空間概念】
下圖為一個積木的示意圖，其中 \(ABC\) 為一直角三角形，\(\angle ACB=90^\circ\)，\(\overline{AC}=5\)、\(\overline{BC}=6\)，且 \(ADEB\) 與 \(ADFC\) 皆為矩形。試選出正確的選項。
(1) 將此積木沿平面 \(ACE\) 切下，可切得兩個四面體
(2) 平面 \(ADEB\) 與 \(ADFC\) 所夾銳角大於 \(45^\circ\)
(3) \(\angle CEB<\angle AEB\)
(4) \(\tan\angle AEC<\sin\angle CEB\)
(5) \(\angle CEB<\angle AEC\)
答：(2)(3)(4)
1° 兩矩形 \(\Rightarrow\) \(\overline{AD}\perp\overline{AB}\)、\(\overline{AD}\perp\overline{AC}\) \(\Rightarrow\) \(\overline{AD}\perp\) 平面 \(ABC\)，是直角柱；設 \(\overline{AD}=\overline{EB}=x\)
2° \(\overline{EB}\perp\overline{BC}\)、\(\overline{EB}\perp\overline{AB}\)；\(\overline{AC}\perp\overline{BC}\)、\(\overline{AC}\perp\overline{CF}\) \(\Rightarrow\) \(\overline{AC}\perp\) 平面 \(BCFE\) \(\Rightarrow\) \(\overline{AC}\perp\overline{CE}\)
(1) 切成四面體 \(E\text{-}ABC\) 和四角錐 \(E\text{-}ACFD\)，不是兩個四面體
(2) 交線 \(\overline{AD}\)，\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\) 本來就垂直交線 \(\Rightarrow\) 兩面角 \(=\angle BAC\)；\(\tan\angle BAC=\dfrac65>1\) \(\Rightarrow\) \(>45^\circ\)
(3) \(\tan\angle CEB=\dfrac6x\)、\(\tan\angle AEB=\dfrac{\overline{AB}}x=\dfrac{\sqrt{61}}x\) \(\Rightarrow\) \(\angle CEB<\angle AEB\)
(4) \(\tan\angle AEC=\dfrac{5}{\overline{CE}}\)、\(\sin\angle CEB=\dfrac{6}{\overline{CE}}\) \(\Rightarrow\) \(\tan\angle AEC<\sin\angle CEB\)
(5) 同一個角 \(\tan>\sin\)：\(\tan\angle AEC<\sin\angle CEB<\tan\angle CEB\) \(\Rightarrow\) \(\angle AEC<\angle CEB\)
12. 【多項式除法】
設 \(f(x),g(x)\) 皆為實係數多項式，其中 \(g(x)\) 是首項係數為正的二次式。已知 \((g(x))^2\) 除以 \(f(x)\) 的餘式為 \(g(x)\)，且 \(y=f(x)\) 的圖形與 \(x\) 軸無交點。試選出不可能是 \(y=g(x)\) 圖形頂點的 \(y\) 坐標之選項。
(1) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
(2) 1
(3) \(\sqrt{2}\)
(4) 2
(5) \(\pi\)
答：(1)(2)
1° 列式：\((g(x))^2=f(x)Q(x)+g(x)\)；\(\deg g^2=4\)、餘式 2 次 \(\Rightarrow\) \(f\) 是 3 或 4 次
2° \(f\) 與 \(x\) 軸無交點，不可能是奇次 \(\Rightarrow\) \(f\) 四次、\(Q\) 是常數
3° 移項：\(g(x)\big(g(x)-1\big)=f(x)Q\)，\(f\) 恆正或恆負 \(\Rightarrow\) 右邊恆不為 0、同號；\(g\) 首項為正，\(x\) 很大時左邊 \(>0\) \(\Rightarrow\) \(g(g-1)\) 恆正
4° 頂點 \(y\) 坐標 \(k\) 也要滿足 \(k(k-1)>0\)：
(1) \(\dfrac{\sqrt2}2\Big(\dfrac{\sqrt2}2-1\Big)<0\)，不可能
(2) \(1\times0=0\)，不可能
(3)(4)(5) \(\sqrt2\)、\(2\)、\(\pi\) 都 \(>1\)，\(k(k-1)>0\)，可能
三、選填題
13. 【期望值】
有一款線上遊戲推出「十連抽」的抽卡機制，「十連抽」意思為系統自動做十次的抽卡動作。若每次「十連抽」需用 1500 枚代幣，抽中金卡的機率在前九次皆為 2%，在第十次為 10%。今某生有代幣 23000 枚，且不斷使用「十連抽」，抽到不能再抽為止。則某生抽到金卡張數的期望值為 \(\_\_\_\_\_.\_\_\_\_\_\) 張。
答：4.2
1° 能抽幾次：\(23000\div1500=15.\cdots\) \(\Rightarrow\) 15 次
2° 每一抽的期望值 = 抽中機率：一次十連抽 \(9\times0.02+0.1=0.28\)
3° \(15\times0.28=4.2\)
14. 【三元一次聯立】
已知 \(a\)、\(b\) 為實數，且方程組 \(\begin{cases} ax+5y+12z=4 \\ x+ay+\dfrac{8}{3}z=7 \\ 3x+8y+az=1 \end{cases}\) 恰有一組解，又此方程組經過一系列的高斯消去法運算後，原來的增廣矩陣可化為 \(\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & b & 7 \\ 0 & b & 5 & -5 \\ 0 & 0 & b & 0 \end{array}\right]\)。則 \(a=\_\_\_\_\_\)，\(b=\dfrac{\_\_\_}{\_\_\_}\)。（化為最簡分數）
答：a = 2，b = 1/2
1° 恰一解 \(\Rightarrow\) \(b\ne0\)；第三列 \(bz=0\) \(\Rightarrow\) \(z=0\)
2° 第一列 \(x+2y=7\)；第二列 \(by=-5\)，含 \(b\) 做不下去 \(\Rightarrow\) 回原式
3° \(z=0\) 代原式不含參數的 \(3x+8y=1\)，和 \(x+2y=7\) 聯立 \(\Rightarrow\) \(y=-10\)、\(x=27\)
4° \(by=-5\) \(\Rightarrow\) \(b=\dfrac12\)
5° \(ax+5y=4\) \(\Rightarrow\) \(27a-50=4\) \(\Rightarrow\) \(a=2\)（驗證 \(x+ay=27-20=7\) ✓）
15. 【三角形面積】
如圖，王家有塊三角形土地 \(\Delta ABC\)，其中 \(\overline{BC}=16\) 公尺。政府擬徵收其中梯形 \(DBCE\) 部分，開闢以直線 \(DE,BC\) 為邊線的馬路，其路寬為 \(h\) 公尺，這讓王家土地只剩原有面積的 \(\dfrac{9}{16}\)。經協商，改以開闢平行直線 \(BE,FC\) 為邊線的馬路，且路寬不變，其中 \(\angle EBC=30^\circ\)，則只需徵收 \(\Delta BCE\) 區域。依此協商，王家剩餘的土地 \(\Delta ABE\) 有 \(\_\_\_\_\_\) 平方公尺。
答：192
1° 路寬 = 平行線 \(\overline{BE}\)、\(\overline{FC}\) 的距離 = \(C\) 到 \(\overline{BE}\) 的距離 \(\Rightarrow\) \(h=16\sin30^\circ=8\)
2° 剩 \(\dfrac9{16}\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ADE:\triangle ABC=9:16\) \(\Rightarrow\) 開根號，高的比 \(3:4\)，路寬 \(h\) 是一份 \(\Rightarrow\) 全高 \(4h\)
3° \(\triangle ABE=\triangle ABC-\triangle BCE=\dfrac12\cdot16\cdot4h-\dfrac12\cdot16\cdot h=24h=192\)
16. 【空間中的平面】
坐標空間中，平面 \(x-y+2z=3\) 上有兩相異直線 \(L:\dfrac{x}{2}-1=y+1=-2z\) 與 \(L'\)。已知 \(L\) 也在另一平面 \(E\) 上，且 \(L'\) 在 \(E\) 的投影與 \(L\) 重合。則 \(E\) 的方程式為 \(x+\_\_\_\_\_\,y+\_\_\_\_\_\,z=\_\_\_\_\_\)。
答：x − 3y − 2z = 5
1° \(L\)、\(L'\) 都在 \(x-y+2z=3\) 上，\(L'\) 在 \(E\) 的投影是 \(L\) \(\Rightarrow\) \(E\) 含 \(L\) 且 \(E\perp\) 原平面
2° \(L\)：\(\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{-\frac12}\) \(\Rightarrow\) 方向 \((4,2,-1)\)，過 \((2,-1,0)\)
3° \(\vec n_E\perp(4,2,-1)\)、\(\vec n_E\perp(1,-1,2)\) \(\Rightarrow\) \(\vec n_E\parallel(4,2,-1)\times(1,-1,2)=(3,-9,-6)\parallel(1,-3,-2)\)
4° 代 \((2,-1,0)\)：\(2+3-0=5\) \(\Rightarrow\) \(E\)：\(x-3y-2z=5\)
17. 【空間向量、柯西不等式】
坐標空間中一平行六面體，某一底面的其中三頂點為 \((-1,2,1),(-4,1,3),(2,0,-3)\)，另一面之一頂點在 \(xy\) 平面上且與原點距離為 1。滿足前述條件之平行六面體中，最大體積為 \(\_\_\_\_\_\)。
答：21
1° 設 \(A(-1,2,1)\)、\(B(-4,1,3)\)、\(C(2,0,-3)\)，另一面在 \(xy\) 平面上的頂點 \(D(a,b,0)\)，\(a^2+b^2=1\)
2° \(\overrightarrow{AB}=(-3,-1,2)\)、\(\overrightarrow{AC}=(3,-2,-4)\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(8,-6,9)\)
3° 體積 \(=|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})|=|(8,-6,9)\cdot(a+1,b-2,-1)|=|8a-6b+11|\)
4° 柯西：\((a^2+b^2)(8^2+6^2)\ge(8a-6b)^2\) \(\Rightarrow\) \(-10\le8a-6b\le10\)
5° 取讓絕對值最大的端點：\(|10+11|=21\)
第貳部分、混合題或非選擇題
18–20 題為題組
18-20 題為題組
坐標平面上有一環狀區域由圓 \(x^2+y^2=3\) 的外部與圓 \(x^2+y^2=4\) 的內部交集而成。某甲欲用一支長度為 1 的筆直掃描棒來掃描此環狀區域之 \(x\) 軸上方的某區域 \(R\)。他設計掃描棒黑、白兩端分別在半圓 \(C_1:x^2+y^2=3\ (y\ge 0)\)、\(C_2:x^2+y^2=4\ (y\ge 0)\) 上移動。開始時掃描棒黑端在點 \(A(\sqrt{3},0)\)，白端在 \(C_2\) 的點 \(B\)。接著黑、白兩端各沿著 \(C_1\)、\(C_2\) 逆時針移動，直至白端碰到 \(C_2\) 的點 \(B'(-2,0)\) 便停止掃描。
18. 【三角比】
試問點 \(B\) 的坐標為下列哪一選項？（單選題，3 分）
(1) \((0,2)\)
(2) \((1,\sqrt{3})\)
(3) \((\sqrt{2},\sqrt{2})\)
(4) \((\sqrt{3},1)\)
(5) \((2,0)\)
答：(4)
1° \(|\overrightarrow{OA}|^2+|\overrightarrow{AB}|^2=3+1=4=|\overrightarrow{OB}|^2\) \(\Rightarrow\) \(\angle OAB=90^\circ\)，掃描棒永遠和內圓相切
2° 起點 \(A(\sqrt3,0)\) \(\Rightarrow\) 棒垂直 \(x\) 軸 \(\Rightarrow\) \(B(\sqrt3,1)\)
19. 【三角比、極坐標】
令 \(O\) 為原點，掃描棒停止時黑、白兩端所在位置分別為 \(A',B'\)。試在答題卷上作圖區中以斜線標示掃描棒掃過的區域 \(R\)；並於求解區內求 \(\cos\angle OA'B'\) 及點 \(A'\) 的極坐標。（非選擇題，6 分）
答：cos∠OA′B′ = 0，A′[√3, 5π/6]
1° 同 18 題，\(\angle OA'B'=90^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\cos\angle OA'B'=0\)
2° 直角 \(\triangle OA'B'\)：\(\cos\angle A'OB'=\dfrac{\sqrt3}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\angle A'OB'=30^\circ\)
3° \(B'\) 在 \(180^\circ\) \(\Rightarrow\) \(A'\) 在 \(150^\circ\)，\(A'\left[\sqrt3,\dfrac{5\pi}6\right]\)
4° 掃過的區域 \(R\)（斜線部分）：
20. 【扇形面積】
（承 19 題）令 \(\Omega\) 表示掃描棒在第一象限所掃過的區域，試分別求 \(\Omega\) 與 \(R\) 的面積。（非選擇題，6 分）
答：Ω = √3/2 − π/12，R = 5π/12
1° 扇形一律用 \(\dfrac12r^2\theta\)；設 \(C(0,\sqrt3)\)、\(D(0,2)\)，\(B\) 在 \(30^\circ\)
2° 第一象限：\(\Omega=\triangle OAB+\text{扇形 }OBD-\text{扇形 }OAC\)
\(=\dfrac12\cdot\sqrt3\cdot1+\dfrac12\cdot4\cdot\dfrac\pi3-\dfrac12\cdot3\cdot\dfrac\pi2=\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac{2\pi}3-\dfrac{3\pi}4=\dfrac{\sqrt3}2-\dfrac\pi{12}\)
3° 第二象限 \(=\dfrac14\) 圓 \(-\triangle OA'B'-\text{扇形 }OA'C=\pi-\dfrac{\sqrt3}2-\dfrac12\cdot3\cdot\dfrac\pi3=\dfrac\pi2-\dfrac{\sqrt3}2\)
4° \(R\) = 兩塊相加 \(=\Big(\dfrac{\sqrt3}2-\dfrac\pi{12}\Big)+\Big(\dfrac\pi2-\dfrac{\sqrt3}2\Big)=\dfrac{5\pi}{12}\)
111學測數學Ａ五標
- 頂標：10
- 前標：8
- 均標：6
- 後標：4
- 底標：3