巫老師幫同學整理了一份 111 分科數甲詳解，附上大考中心頒布的 111分科數甲試題
111 分科數學甲詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| (3) | (2) | (4) | (1)(4) | (1)(3)(5) | (2)(4) |
| 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| (3)(5) | (2)(5) | 14 | 42 | \(a=\frac{\sqrt5}{5}\)，\(b=\frac{2\sqrt5}{5}\) | 3 |
| 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
|---|---|---|---|---|
| 證明見內文 | \(\int_0^{15}\big(20x+\frac49x^2\big)dx=2750\) | \(f(x)=\frac{16}{9x-x^2}-1\)，\(f'(x)=\frac{16(2x-9)}{(9x-x^2)^2}\) | \(x=\frac92\) 前遞減、後遞增；\(x=\frac92\) 時 \(\theta\) 最大 | \(\cos\theta\approx-0.2016\) |
一、單選題
1. 【等比數列、對數律】
設 \(a_1,a_2,a_3,a_4\) 是首項為 \(10\)、公比是 \(10\) 的等比數列。令 \(b=\displaystyle\sum_{n=1}^{3}\log_{a_n}a_{n+1}\)，試選出正確的選項。
(1) \(2<b\le 3\)
(2) \(3<b\le 4\)
(3) \(4<b\le 5\)
(4) \(5<b\le 6\)
(5) \(6<b\le 7\)
答：(3)
1° \(a_n=10\cdot10^{n-1}=10^n\)
2° \(\log_{a_n}a_{n+1}=\log_{10^n}10^{n+1}=\dfrac{n+1}{n}\)
3° \(b=\dfrac21+\dfrac32+\dfrac43=2+\dfrac32+\dfrac43=\dfrac{29}6\approx4.83\) \(\Rightarrow\) \(4<b\le5\)
2. 【三元一次聯立方程式】
設 \(c\) 為實數使得三元一次方程組 \(\begin{cases}x-y+z=0\\2x+cy+3z=1\\3x-3y+cz=0\end{cases}\) 無解。試選出 \(c\) 之值。
(1) \(-3\)
(2) \(-2\)
(3) \(0\)
(4) \(2\)
(5) \(3\)
答：(2)
1° 高斯消去：
\(\left[\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\2&c&3&1\\3&-3&c&0\end{array}\right]\to\left[\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\0&c+2&1&1\\0&0&c-3&0\end{array}\right]\)
2° 第三列：\((c-3)z=0\)；第二列：\((c+2)y+z=1\)
3° \(c=3\)：第三列整列 0 \(\Rightarrow\) 無限多解（不合）
4° \(c=-2\)：第二列 \(z=1\)，第三列 \(-5z=0\) \(\Rightarrow\) \(z=0\)，矛盾 \(\Rightarrow\) 無解
5° 其他 \(c\)：\(z=0\)、\(y=\dfrac1{c+2}\)，恰一解 \(\Rightarrow\) \(c=-2\)
3. 【空間坐標】
坐標空間中 \(O\) 為原點，點 \(P\) 在第一卦限且 \(\overline{OP}=1\)。已知直線 \(OP\) 與 \(x\) 軸有一夾角為 \(45^\circ\)，且 \(P\) 點到 \(y\) 軸的距離為 \(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)。試選出點 \(P\) 的 \(z\) 坐標。
(1) \(\dfrac{1}{2}\)
(2) \(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)
(3) \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
(4) \(\dfrac{\sqrt{6}}{6}\)
(5) \(\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)
答：(4)
1° 設 \(P(x,y,z)\)，\(x,y,z>0\)，\(x^2+y^2+z^2=1\)
2° \(OP\) 與 \(x\) 軸夾 \(45^\circ\)：\(x=\overline{OP}\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}2\)（第一卦限取正）
3° \(P\) 到 \(y\) 軸的距離 \(=\sqrt{x^2+z^2}=\dfrac{\sqrt6}3\) \(\Rightarrow\) \(x^2+z^2=\dfrac23\)
4° \(z^2=\dfrac23-\dfrac12=\dfrac16\) \(\Rightarrow\) \(z=\dfrac1{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}6\)（檢查 \(y^2=1-\dfrac23=\dfrac13>0\)，存在）
二、多選題
4. 【多項式、虛根】
設多項式 \(f(x)=x^3+2x^2-2x+k\)、\(g(x)=x^2+ax+1\)，其中 \(k,a\) 為實數。已知 \(g(x)\) 整除 \(f(x)\)，且方程式 \(g(x)=0\) 有虛根。試選出為方程式 \(f(x)=0\) 的根之選項。
(1) \(-3\)
(2) \(0\)
(3) \(1\)
(4) \(\dfrac{1+\sqrt{-3}}{2}\)
(5) \(\dfrac{3+\sqrt{-5}}{2}\)
答：(1)(4)
1° \(g(x)\) 整除 \(f(x)\)，首項都是 1 \(\Rightarrow\) 設 \(f(x)=(x^2+ax+1)(x+b)\)
2° 乘開：\(x^3+(a+b)x^2+(ab+1)x+b\)，比較係數 \(\Rightarrow\) \(a+b=2\)、\(ab+1=-2\)、\(b=k\)
3° \(a(2-a)=-3\) \(\Rightarrow\) \(a^2-2a-3=0\) \(\Rightarrow\) \(a=3\) 或 \(-1\)
4° \(g(x)=0\) 有虛根 \(\Rightarrow\) \(a^2-4<0\) \(\Rightarrow\) \(a=-1\)（\(a=3\) 不合），\(b=3\)
5° \(f(x)=(x^2-x+1)(x+3)=0\) \(\Rightarrow\) \(x=-3\) 或 \(x=\dfrac{1\pm\sqrt{-3}}2\)
(1)(4) 是根；(2)(3)(5) 不是
5. 【圓、極坐標、線性變換】
坐標平面上有一圖形 \(\Gamma\)，其方程式為 \((x-1)^2+(y-1)^2=101\)。試選出正確的選項。
(1) \(\Gamma\) 與 \(x\) 軸負向、\(y\) 軸負向分別交於 \((-9,0)\)、\((0,-9)\)
(2) \(\Gamma\) 上 \(x\) 坐標最大的點是點 \((11,0)\)
(3) \(\Gamma\) 上的點與原點距離的最大值為 \(\sqrt{2}+\sqrt{101}\)
(4) \(\Gamma\) 在第三象限的點之極坐標可用 \([9,\theta]\) 表示，其中 \(\pi<\theta<\dfrac{3}{2}\pi\)
(5) \(\Gamma\) 經旋轉線性變換後，其圖形仍可用一個不含 \(xy\) 項的二元二次方程式表示
答：(1)(3)(5)
1° 圓心 \((1,1)\)，半徑 \(\sqrt{101}\)
(1) 代 \(y=0\)：\((x-1)^2=100\) \(\Rightarrow\) \(x=11\) 或 \(-9\)；代 \(x=0\) 同理 \(y=-9\) \(\Rightarrow\) \((-9,0)\)、\((0,-9)\)
(2) \(x\) 坐標最大是圓心往右走半徑：\((1+\sqrt{101},1)\)，不是 \((11,0)\)
(3) 到原點最遠 \(=\) 圓心到原點距離 \(+\) 半徑 \(=\sqrt2+\sqrt{101}\)
(4) 畫圖：\(\Gamma\) 與 \(x^2+y^2=81\) 相減 \(\Rightarrow\) \(2x+2y=-18\)，即 \(x+y=-9\) \(\Rightarrow\) 兩圓只交於 \((-9,0)\)、\((0,-9)\)；第三象限那段弧（紅色）在虛線圓裡面 \(\Rightarrow\) 到原點距離 \(<9\)，不能寫成 \([9,\theta]\)
（算的：\(\Gamma\) 上 \(x^2+y^2=99+2(x+y)\)，第三象限弧上 \(x+y<-9\) \(\Rightarrow\) \(x^2+y^2<81\)）
(5) 旋轉不改變形狀，圓轉完還是圓：\((x-h)^2+(y-k)^2=101\)，沒有 \(xy\) 項
6. 【線性變換】
假設 2 階方陣 \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) 所代表的線性變換將坐標平面上三點 \(O(0,0)\), \(A(1,0)\), \(B(0,1)\) 分別映射到 \(O(0,0)\), \(A'(3,\sqrt{3})\), \(B'(-\sqrt{3},3)\)，並將與原點距離為 1 的點 \(C(x,y)\) 映射到點 \(C'(x',y')\)。試選出正確的選項。
(1) 行列式 \(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=6\)
(2) \(\overline{OC'}=2\sqrt{3}\)
(3) \(\overrightarrow{OC}\) 和 \(\overrightarrow{OC'}\) 的夾角為 \(60^\circ\)
(4) 有可能 \(y=y'\)
(5) 若 \(x<y\) 則 \(x'<y'\)
答：(2)(4)
1° 第一行是 \(A\) 的像、第二行是 \(B\) 的像 \(\Rightarrow\) \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&-\sqrt3\\\sqrt3&3\end{bmatrix}\)
2° 提出 \(2\sqrt3\)：\(=2\sqrt3\begin{bmatrix}\frac{\sqrt3}2&-\frac12\\\frac12&\frac{\sqrt3}2\end{bmatrix}\) \(\Rightarrow\) 先逆時針旋轉 \(30^\circ\)，再伸縮 \(2\sqrt3\) 倍
(1) 行列式 \(=9+3=12\)
(2) \(\overline{OC'}=2\sqrt3\,\overline{OC}=2\sqrt3\)
(3) 旋轉 \(30^\circ\) \(\Rightarrow\) 夾角 \(30^\circ\)
(4) \(y'=\sqrt3x+3y=y\) \(\Rightarrow\) \(\sqrt3x+2y=0\)，這條過原點的直線和單位圓有交點，例：\(C\Big(\dfrac2{\sqrt7},-\dfrac{\sqrt3}{\sqrt7}\Big)\) \(\Rightarrow\) \(y'=\dfrac{2\sqrt3-3\sqrt3}{\sqrt7}=-\dfrac{\sqrt3}{\sqrt7}=y\)
(5) 畫圖：\(x<y\) 是直線 \(y=x\) 左上方（\(C\) 的角度在 \(45^\circ\sim225^\circ\)），\(C'\) 的角度多 \(30^\circ\)。反例：\(C\) 取 \(210^\circ\)，\(C\Big(-\dfrac{\sqrt3}2,-\dfrac12\Big)\)，\(x<y\)；\(C'\) 在 \(240^\circ\)，\(C'(-\sqrt3,-3)\)，\(x'>y'\)
7. 【拋物線】
假設 \(A,B\) 為一拋物線 \(\Gamma\) 上兩點且其連線段通過 \(\Gamma\) 的焦點 \(F\)。設 \(A,F,B\) 在 \(\Gamma\) 之準線上的投影分別為 \(A',F',B'\)。試選出等於 \(\dfrac{\overline{A'F'}}{\overline{A'A}}\) 的選項。（注意：此示意圖僅說明各點的相關位置，各點間距離關係並不正確）
(1) \(\tan\angle 1\)，其中 \(\angle 1=\angle A'F'A\)
(2) \(\sin\angle 2\)，其中 \(\angle 2=\angle AF'F\)
(3) \(\sin\angle 3\)，其中 \(\angle 3=\angle A'AF\)
(4) \(\cos\angle 4\)，其中 \(\angle 4=\angle F'FB\)
(5) \(\tan\angle 5\)，其中 \(\angle 5=\angle FF'B\)
答：(3)(5)
1° 拋物線定義：\(\overline{AF}=\overline{AA'}\)、\(\overline{BF}=\overline{BB'}\)
2° 過 \(F\) 作直線 \(AA'\)、\(BB'\) 的垂線，垂足 \(H\)、\(K\)；\(F\)、\(F'\) 一樣高 \(\Rightarrow\) \(\overline{FH}=\overline{A'F'}\)、\(\overline{FK}=\overline{B'F'}\)
3° 直角 \(\triangle AHF\)：\(\sin\angle3=\dfrac{\overline{FH}}{\overline{AF}}=\dfrac{\overline{A'F'}}{\overline{A'A}}\)（所求）
(1) 直角 \(\triangle A'F'A\)：\(\tan\angle1=\dfrac{\overline{A'A}}{\overline{A'F'}}\)，是所求的倒數
(2) \(\angle2=\angle F'AA'\)（內錯角）\(\Rightarrow\) \(\sin\angle2=\dfrac{\overline{A'F'}}{\overline{AF'}}\)，\(\overline{AF'}\) 是斜邊 \(>\overline{A'A}\)，不相等（\(\tan\angle2\) 才是）
(3) 由 3° 成立
(4) \(AA'\parallel F'F\) \(\Rightarrow\) \(\angle4=\angle3\)（同位角）\(\Rightarrow\) \(\cos\angle4=\cos\angle3=\dfrac{\overline{AH}}{\overline{AF}}\)，與 \(\sin\angle3\) 不一定相等
(5) \(\angle5=\angle F'BB'\)（內錯角）\(\Rightarrow\) \(\tan\angle5=\dfrac{\overline{B'F'}}{\overline{B'B}}\)；直角 \(\triangle BKF\) 中 \(\angle FBK=\angle3\)（內錯角）\(\Rightarrow\) \(\dfrac{\overline{B'F'}}{\overline{B'B}}=\dfrac{\overline{FK}}{\overline{BF}}=\sin\angle3=\dfrac{\overline{A'F'}}{\overline{A'A}}\)
8. 【數列極限、夾擠】
假設兩數列 \(\langle a_n\rangle\)、\(\langle b_n\rangle\)，對所有正整數 \(n\) 都滿足 \(b_n+\dfrac{4n-1}{n}<a_n<3b_n\)。已知 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=6\)，試選出正確的選項。
(1) \(b_n<6-\dfrac{4n-1}{n}\)
(2) \(b_n>\dfrac{4n-1}{2n}\)
(3) 數列 \(\langle b_n\rangle\) 有可能發散
(4) \(a_{10000}<6.1\)
(5) \(a_{10000}>5.9\)
答：(2)(5)
1° 由兩邊：\(b_n+\dfrac{4n-1}n<3b_n\) \(\Rightarrow\) \(b_n>\dfrac{4n-1}{2n}\)；\(b_n<a_n-\dfrac{4n-1}n\)、\(b_n>\dfrac{a_n}3\)
(1) 反例：\(a_n=6+\dfrac1n\)、\(b_n=2+\dfrac1n\)（檢查：\(b_n+\dfrac{4n-1}n=6<a_n<6+\dfrac3n=3b_n\)），但 \(b_n=6-\dfrac{4n-1}n\)，不是 \(<\)
(2) 由 1°
(3) \(\dfrac{a_n}3<b_n<a_n-\dfrac{4n-1}n\)，兩邊極限都是 2，夾擠 \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=2\)，收斂
(4) 極限是 6 不代表每一項都靠近 6。反例：\(a_n=6\)、\(b_n=2+\dfrac1{2n}\)，只把第 10000 項改成 \(a_{10000}=100\)、\(b_{10000}=50\)（\(50+3.9999<100<150\)），條件都成立
(5) \(a_n>b_n+\dfrac{4n-1}n>\dfrac{4n-1}{2n}+\dfrac{4n-1}n=\dfrac{3(4n-1)}{2n}=6-\dfrac3{2n}\) \(\Rightarrow\) \(a_{10000}>6-0.00015>5.9\)
三、選填題
9. 【機率、幾何分布】
大吉百貨春節期間準備許多紅包讓顧客抽籤得紅包，並宣稱活動會一直持續到送出所有的紅包。抽籤的籤筒內有 5 支籤、其中只有 1 支籤有標示「大吉」，且每支籤被抽中的機會均等。每位顧客從籤筒中抽取一支籤記錄後，將籤放回籤筒再抽下一回，最多抽取 3 回。當抽取過程中出現連續兩回抽中「大吉」，則該顧客停止抽籤並得到紅包。
我們可將每位顧客抽籤是否得到紅包視為一次伯努力試驗。設整個活動第一個得到紅包的顧客是第 \(X\) 位抽籤的顧客，並以 \(E(X)\) 表示隨機變數 \(X\) 的期望值，則 \(E(X)=\) _____。（四捨五入到整數位）
答：14
1° 一位顧客得到紅包（每回抽中機率 \(\dfrac15\)）：
中中：\(\dfrac15\cdot\dfrac15=\dfrac1{25}\)；不中中中：\(\dfrac45\cdot\dfrac15\cdot\dfrac15=\dfrac4{125}\)
2° \(p=\dfrac1{25}+\dfrac4{125}=\dfrac9{125}\)
3° 第一個得到紅包的是第 \(X\) 位 \(\Rightarrow\) 幾何分布 \(\Rightarrow\) \(E(X)=\dfrac1p=\dfrac{125}9\approx13.9\) \(\Rightarrow\) 14
10. 【排列組合】
老師要求班上學藝安排在下週一、二、三、四這 4 天，發完國、英、數、社、自共 5 張複習卷，每天至少發其中一科的卷子給同學帶回家練習，隔天繳交。由於週二有國、英兩門課，國文老師要求國文的卷子一定要在週一發出以便檢討；而英文老師因為當天另有指派作業，所以要求英文的卷子不要在週二發出。依此要求，學藝共有 _____ 種安排方式。
答：42
1° 「先隨便排，等一下再把不行的扣掉」：只要求國文在週一、每天至少一科
國文在週一，週一只有國文：其他 4 科分給二、三、四且每天至少一科：\(3^4-C^3_1\cdot2^4+C^3_2\cdot1^4=81-48+3=36\)
週一還有另一科：選那科 \(C^4_1\)，剩 3 科分給三天各一 \(3!\) \(\Rightarrow\) \(4\times6=24\)
共 \(36+24=60\)
2° 扣掉英文在週二（國文週一、英文週二），剩數、社、自要讓週三、週四都有：
三科都在週三、四：\(2^3-2=6\)
一科去週一或週二（\(C^3_1\times2\)），另兩科週三、四各一（\(2!\)）：\(3\times2\times2=12\)
共 \(18\)
3° \(60-18=42\)
11. 【複數】
在複數平面上，複數 \(z\) 在第一象限且滿足 \(|z|=1\) 以及 \(\left|\dfrac{-3+4i}{5}-z^3\right|=\left|\dfrac{-3+4i}{5}-z\right|\)，其中 \(i=\sqrt{-1}\)。若 \(z\) 的實部為 \(a\)、虛部為 \(b\)，則 \(a=\dfrac{\sqrt{\_\_\_}}{\_\_\_}\)、\(b=\dfrac{\_\_\_\sqrt{\_\_\_}}{\_\_\_}\)。（化為最簡根式）
答：a = √5/5，b = 2√5/5
1° 令 \(w=\dfrac{-3+4i}5\)，\(|w|=1\)；\(|z|=1\) \(\Rightarrow\) \(|z^3|=1\) \(\Rightarrow\) \(w\)、\(z\)、\(z^3\) 都在單位圓上
2° 畫圖：\(z^3\)、\(z\) 到 \(w\) 等距 \(\Rightarrow\) \(z^3=z\)，或 \(z^3\)、\(z\) 對稱於直線 \(Ow\)
3° \(z^3=z\) \(\Rightarrow\) \(z^2=1\) \(\Rightarrow\) \(z=\pm1\)，不在第一象限（不合）
4° 設 \(z=\cos\theta+i\sin\theta\)、\(w=\cos\varphi+i\sin\varphi\)（\(\cos\varphi=-\dfrac35\)、\(\sin\varphi=\dfrac45\)）；對稱於 \(Ow\) \(\Rightarrow\) 兩角的平均是 \(\varphi\)：\(\theta+3\theta=2\varphi+360^\circ k\) \(\Rightarrow\) \(\theta=\dfrac\varphi2+90^\circ k\)
5° \(\varphi\) 在第二象限 \(\Rightarrow\) \(\dfrac\varphi2\) 在第一象限，取 \(k=0\)（其他 \(k\) 不在第一象限）\(\Rightarrow\) \(\theta=\dfrac\varphi2\)
6° 半角：\(a=\cos\dfrac\varphi2=\sqrt{\dfrac{1+\cos\varphi}2}=\sqrt{\dfrac15}=\dfrac{\sqrt5}5\)；\(b=\sin\dfrac\varphi2=\sqrt{\dfrac{1-\cos\varphi}2}=\sqrt{\dfrac45}=\dfrac{2\sqrt5}5\)
第貳部分、混合題或非選擇題
12–14 題為題組
有一積木（如圖），其中 \(ACFD\) 和 \(ABED\) 是兩個全等的等腰梯形，\(BCFE\) 是一個矩形。設 \(A\) 點在直線 \(BC\) 的投影為 \(M\) 且在平面 \(BCFE\) 的投影為 \(P\)。已知 \(\overline{AD}=30\)、\(\overline{CF}=40\)、\(\overline{AP}=15\) 且 \(\overline{BC}=10\)。將平面 \(BCFE\) 置於水平桌面上，且將與 \(BCFE\) 平行的平面稱為水平面。試回答下列問題。
12. 【空間、三垂線】
利用 \(\overline{AD}\) 在平面 \(BCFE\) 的投影長為 30，可得 \(\tan\angle AMP=\) _____。（選填題，2 分）
答：3
1° 設坐標：\(F(0,0,0)\)、\(C(40,0,0)\)、\(B(40,10,0)\)、\(E(0,10,0)\)；兩梯形全等 \(\Rightarrow\) 積木左右、前後對稱 \(\Rightarrow\) \(A(35,5,15)\)、\(D(5,5,15)\)
2° \(AD\) 平行底面，投影長 30 \(\Rightarrow\) 兩端各多出 \(\dfrac{40-30}2=5\) \(\Rightarrow\) \(P(35,5,0)\)；\(M\) 是 \(BC\) 中點 \((40,5,0)\) \(\Rightarrow\) \(\overline{PM}=5\)
3° \(\overline{AP}\perp\) 底面 \(\Rightarrow\) \(\triangle APM\) 是直角三角形 \(\Rightarrow\) \(\tan\angle AMP=\dfrac{\overline{AP}}{\overline{PM}}=\dfrac{15}5=3\)
13. 【空間、相似三角形】
令 \(Q\) 為 \(\overline{FC}\) 上一點，滿足 \(\overrightarrow{AQ}\) 與 \(\overrightarrow{DF}\) 平行。利用 \(\Delta ABC\)、\(\Delta ACQ\) 為全等三角形，證明若水平面 \(W\) 介於 \(A,P\) 之間且與 \(A\) 的距離為 \(x\)，則 \(W\) 與此積木所截的矩形區域之面積為 \(20x+\dfrac{4}{9}x^2\)。（非選擇題，4 分）
答：證明見內文
1° \(AQ\parallel DF\)、\(AD\parallel QF\) \(\Rightarrow\) \(AQFD\) 是平行四邊形 \(\Rightarrow\) \(\overline{QF}=\overline{AD}=30\)、\(\overline{CQ}=40-30=10\)、\(\overline{AQ}=\overline{DF}\)
2° 等腰梯形 \(\Rightarrow\) \(\overline{DF}=\overline{AC}\)；兩梯形全等 \(\Rightarrow\) \(\overline{AB}=\overline{AC}\) \(\Rightarrow\) \(\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{AQ}\)，又 \(\overline{BC}=\overline{CQ}=10\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ABC\cong\triangle ACQ\)（SSS），兩個都是頂點 \(A\)、底邊 10、底邊上的高相同的等腰三角形
3° \(BC\)、\(CQ\) 都在底面上，\(A\) 到它們的鉛直落差都是 \(\overline{AP}=15\) \(\Rightarrow\) \(W\) 截兩三角形的線段都平行底邊，由相似三角形：線段長 \(=10\times\dfrac x{15}=\dfrac{2x}3\)
4° 截面矩形的寬：\(W\) 截 \(\triangle ABC\) 的線段 \(=\dfrac{2x}3\)
5° 截面矩形的長：\(W\) 截梯形 \(ACFD\) 的線段 \(=\)（截 \(\triangle ACQ\) 的部分）\(+\)（截平行四邊形 \(AQFD\) 的部分）\(=\dfrac{2x}3+30\)
6° 面積 \(=\Big(30+\dfrac{2x}3\Big)\cdot\dfrac{2x}3=20x+\dfrac49x^2\)
（圖：綠色矩形就是 \(W\) 截出的區域）
14. 【黎曼和、定積分】
將線段 \(\overline{AP}\) 的 \(n\) 等分點沿著向量 \(\overrightarrow{AP}\) 的方向依序設為 \(A=P_0,P_1,\ldots,P_{n-1},P_n=P\)。在每一個分段 \(\overline{P_{k-1}P_k}\)，考慮以通過 \(P_k\) 的水平面與此積木所截的矩形為底、\(\overline{P_{k-1}P_k}\) 為高，所形成的長方體。請利用此切片方法寫下估計此積木體積的黎曼和（不需化簡），且以定積分形式表示此積木的體積並求其值。（非選擇題，6 分）
答：∫₀¹⁵ (20x + 4x²/9) dx = 2750
1° 每段 \(\overline{P_{k-1}P_k}=\dfrac{15}n\)（寬度），\(P_k\) 到 \(A\) 的距離 \(x_k=\dfrac{15k}n\)
2° 第 \(k\) 個長方體：底面積 \(20x_k+\dfrac49x_k^2\)（第 13 題），高 \(\dfrac{15}n\)
3° 黎曼和：\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\Big[20\cdot\frac{15k}n+\frac49\Big(\frac{15k}n\Big)^2\Big]\cdot\frac{15}n\)
4° \(n\to\infty\)：\(\Sigma\) 拉長成 \(\int\)，\(\dfrac{15}n\) 對應 \(dx\)，\(x\) 從 0 到 15：
\(V=\displaystyle\int_0^{15}\Big(20x+\frac49x^2\Big)dx=\Big[10x^2+\frac4{27}x^3\Big]_0^{15}=2250+\frac4{27}\times3375=2250+500=2750\)
5° 驗算：中間三角柱 \(\dfrac12\cdot10\cdot15\times30=2250\)，兩端四角錐 \(2\times\dfrac13\cdot(5\times10)\cdot15=500\)，合計 2750
15–17 題為題組
考慮坐標平面上之向量 \(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\) 滿足 \(|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|=9\) 以及 \(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=7\)。若令 \(|\overrightarrow{a}|=x\)，其中 \(1<x<8\)，且令 \(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\) 的夾角為 \(\theta\)，則利用向量 \(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)、\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) 所形成的三角形，可將 \(\cos\theta\) 以 \(x\) 表示成 \(\dfrac{c}{9x-x^2}+d\)，其中 \(c\)、\(d\) 為常數且 \(c>0\)。令此表示式為 \(f(x)\)，且其定義域為 \(\{x\,|\,1<x<8\}\)。試回答下列問題。
15. 【餘弦定理、微分】
求 \(f(x)\) 及其導函數。（非選擇題，4 分）
答：f(x) = 16/(9x − x²) − 1，f′(x) = 16(2x − 9)/(9x − x²)²
1° \(|\vec a|=x\) \(\Rightarrow\) \(|\vec b|=9-x\)；三角形三邊 \(x\)、\(9-x\)、\(7\)
2° 餘弦定理：\(\cos\theta=\dfrac{x^2+(9-x)^2-7^2}{2x(9-x)}=\dfrac{2x^2-18x+32}{2(9x-x^2)}\)
3° 分子湊 \(9x-x^2\)：\(2x^2-18x+32=-2(9x-x^2)+32\) \(\Rightarrow\) \(\cos\theta=\dfrac{32-2(9x-x^2)}{2(9x-x^2)}=\dfrac{16}{9x-x^2}-1\)
4° \(c=16>0\)、\(d=-1\) \(\Rightarrow\) \(f(x)=\dfrac{16}{9x-x^2}-1\)，\(1<x<8\)
5° 連鎖律（外面微完，裡面微）：\(f'(x)=-16(9x-x^2)^{-2}\cdot(9-2x)=\dfrac{16(2x-9)}{(9x-x^2)^2}\)
16. 【微分的應用】
說明 \(f(x)\) 在定義域中遞增、遞減的情況。並說明 \(x\) 為多少時 \(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\) 的夾角 \(\theta\) 最大。（非選擇題，4 分）
答：1 < x ≤ 9/2 遞減、9/2 ≤ x < 8 遞增；x = 9/2 時 θ 最大
1° 分母 \((9x-x^2)^2>0\) \(\Rightarrow\) \(f'(x)\) 與 \(2x-9\) 同號
| 區間 | \(1<x<\frac92\) | \(\frac92<x<8\) |
|---|---|---|
| \(f'\) | \(-\) | \(+\) |
| \(f\) | ↘ | ↗ |
2° \(f\) 在 \(\Big(1,\dfrac92\Big]\) 遞減、在 \(\Big[\dfrac92,8\Big)\) 遞增 \(\Rightarrow\) \(x=\dfrac92\) 有最小值 \(f\Big(\dfrac92\Big)=\dfrac{16}{81/4}-1=-\dfrac{17}{81}\)
3° \(0<\theta<\pi\) 時 \(\cos\theta\) 越小、\(\theta\) 越大 \(\Rightarrow\) \(x=\dfrac92\) 時 \(\theta\) 最大
17. 【一次估計】
利用 \(f(x)\) 的一次估計（一次近似），求當 \(x=4.96\) 時，\(\cos\theta\) 約為多少？（非選擇題，4 分）
答：約 −0.2016
1° 一次估計：\(f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\)，取 \(a=5\)
2° \(9\cdot5-5^2=20\) \(\Rightarrow\) \(f(5)=\dfrac{16}{20}-1=-\dfrac15\)；\(f'(5)=\dfrac{16\times1}{20^2}=\dfrac1{25}\)
3° \(\cos\theta=f(4.96)\approx-\dfrac15+\dfrac1{25}\times(-0.04)=-0.2-0.0016=-0.2016\)
111 分科數甲五標
- 頂標：43
- 前標：35
- 均標：25
- 後標：15
- 底標：10