110 學測數學 試題詳解分析

110 學測數學詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。

1	2	3	4	5	6
(2)	(1)	(3)	(5)	(4)	(5)

7	8	9	10	11	12	13
(2)(3)(4)	(3)(5)	(2)(3)(4)	(1)(2)	(1)(2)(5)	(2)(5)	(2)(3)(5)

A	B	C	D	E	F	G
37	\(x-6y+4z=0\)	\(\frac{1}{14}\)	\(-2\le a\le6\)	\((2,56)\)	\(8+4\sqrt2\)	\(4\sqrt2\)

一、單選題

1. 【矩陣】

答：(2)

1° \(A^4=A^2\cdot A^2\)

2° \(A^2=\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&8\\0&9\end{bmatrix}\)

3° \(A^4=\begin{bmatrix}1&8\\0&9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&8\\0&9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&80\\0&81\end{bmatrix}\)

4° \(a+b+c+d=1+80+0+81=162\)

2. 【數列、對數】

答：(1)

1° \(a_1=\log36=2\log6\approx1.556\)；每一步「乘 2」或「除以 2」，畫樹狀圖，每一層檢查「\(>1\)」，不合就剪掉

2° \(\dfrac{a_1}2=\log6<1\) 不合 \(\Rightarrow\) \(a_2=2a_1\)；之後 \(a_1>1\) 可以，\(\dfrac{a_1}2\) 不合

3° 重複的只算一次：\(a_5=16a_1\)、\(4a_1\)、\(a_1\) \(\Rightarrow\) 3 種

3. 【正弦、餘弦與圓】

答：(3)

1° 切線 \(\perp\) 半徑：\(\angle OBP=\angle OCP=90^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\angle BOC=180^\circ-\theta\)

2° 圓心角 = 2 倍圓周角：\(A=\dfrac{180^\circ-\theta}2=90^\circ-\dfrac\theta2\)

3° 奇變偶不變：\(\cos A=\cos\Big(90^\circ-\dfrac\theta2\Big)=\sin\dfrac\theta2\)

4. 【平面向量】

答：(5)

1° 三角形面積 \(=\dfrac12|\det|\)，向量當兩列，用列運算化簡

2° \(\dfrac12\left|\det\begin{bmatrix}2\vec a+\vec b\\ \vec a+2\vec b\end{bmatrix}\right|\) \(\xrightarrow{\text{第二列}\times(-2)\text{ 加到第一列}}\) \(\dfrac12\left|\det\begin{bmatrix}-3\vec b\\ \vec a+2\vec b\end{bmatrix}\right|=\dfrac32\left|\det\begin{bmatrix}\vec b\\ \vec a\end{bmatrix}\right|=6\)

3° \(\Rightarrow\) \(\dfrac12\left|\det\begin{bmatrix}\vec a\\ \vec b\end{bmatrix}\right|=2\)

4° 同法：\(\dfrac12\left|\det\begin{bmatrix}3\vec a+\vec b\\ \vec a+3\vec b\end{bmatrix}\right|\) \(\xrightarrow{\text{第二列}\times(-3)\text{ 加到第一列}}\) \(\dfrac12\left|\det\begin{bmatrix}-8\vec b\\ \vec a+3\vec b\end{bmatrix}\right|=8\times\dfrac12\left|\det\begin{bmatrix}\vec b\\ \vec a\end{bmatrix}\right|=8\times2=16\)

5. 【多項式】

答：(4)

1° 看到除以…餘…，先列式：\((x+1)f(x)\) 是 4 次、除式 3 次 \(\Rightarrow\) 商一次，設 \(ax+b\)

2° \((x+1)f(x)=(x^3+2)(ax+b)+x+2\)

3° 代 \(x=0\)：\(f(0)=2b+2=4\) \(\Rightarrow\) \(b=1\)

4° 代 \(x=-1\) 讓 \(f\) 消掉：\(0=1\cdot(-a+1)+1\) \(\Rightarrow\) \(a=2\)

5° 代 \(x=2\)：\(3f(2)=10\times5+4=54\) \(\Rightarrow\) \(f(2)=18\)

6. 【二次曲線】

答：(5)

1° \(a^2=16\)、\(b^2=7\) \(\Rightarrow\) \(c^2=16-7=9\)，\(c=3\) \(\Rightarrow\) \(A(3,0)\)、\(D(-3,0)\) 就是焦點

2° 其他頂點用焦半徑和判斷內外（\(2a=8\)）：\(\overline{BA}+\overline{BD}=3+3\sqrt3\approx8.2>8\) \(\Rightarrow\) \(B\) 在橢圓外；同理 \(C\)、\(E\)、\(F\) 在橢圓外

3° \(A\)、\(D\) 在橢圓內 \(\Rightarrow\) 斜邊 \(AB\)、\(CD\)、\(DE\)、\(FA\) 各交 1 點

4° 上下兩邊 \(y=\pm\dfrac{3\sqrt3}2\)：\(b=\sqrt7\approx2.65>\dfrac{3\sqrt3}2\approx2.6\)，橢圓頂點跑出邊外，兩端點 \(B\)、\(C\) 在外 \(\Rightarrow\) 每邊交 2 點

5° \(4\times1+2\times2=8\) 點

二、多選題

7. 【條件機率】

答：(2)(3)(4)

1° 「實際是…」看橫列；「被看成…」看直欄，三張卡視為等機率

(1) \(0.4<\dfrac12\)

(2) \(1-0.4=0.6\)

(3) 被誤認 = \(1-\) 對角線的值：6 是 \(0.6\)、8 是 \(0.6\)、9 是 \(0.5\) \(\Rightarrow\) 9 最低

(4) \(P(\text{實際 6}\mid\text{看成 6})=\dfrac{0.4}{0.4+0.3+0.2}=\dfrac49<\dfrac12\)

(5) \(P(\text{實際 9}\mid\text{看成 9})=\dfrac{0.5}{0.2+0.1+0.5}=\dfrac58<\dfrac23\)

8. 【三角比、平面向量】

答：(3)(5)

1° \(|\overline{OA}|=5\)；\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}\) \(\Rightarrow\) \(\overline{BC}=5=\) 半徑 \(\Rightarrow\) \(\triangle OBC\) 是正三角形；又 \(OBCA\) 是平行四邊形 \(\Rightarrow\) \(\overline{CA}=\overline{OB}=5\)，\(\triangle OCA\) 也是正三角形

(1) 對原點對稱：\((-3,-4)\)

(2) \(BC\parallel OA\) \(\Rightarrow\) 斜率 \(\dfrac43\)

(3) \(\triangle OCA\) 正三角形 \(\Rightarrow\) \(\angle AOC=60^\circ\)

(4) \(\triangle ABC=\dfrac12\) 平行四邊形 \(=\triangle OBC=\dfrac{\sqrt3}4\times5^2=\dfrac{25\sqrt3}4\)

(5) \(A\) 的角度約 \(53^\circ\)，\(C\)、\(B\) 由 \(A\) 轉 \(60^\circ\)、\(120^\circ\) 得到，分兩種：

逆時針：\(C\) 約 \(113^\circ\)、\(B\) 約 \(173^\circ\)，都在第二象限；順時針：\(C\) 約 \(-7^\circ\)、\(B\) 約 \(-67^\circ\)，都在第四象限 \(\Rightarrow\) 同一象限

9. 【數與式（比例）】

答：(2)(3)(4)

1° 甲總票 \(0.4x+0.55y\)、乙總票 \(0.6x+0.45y\)

2° 甲當選 \(\Leftrightarrow\) \(0.4x+0.55y>0.6x+0.45y\) \(\Leftrightarrow\) \(y>2x\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac xy<\dfrac12\)；每個選項換成 \(\dfrac xy\) 的範圍，看是否整段落在 \(\dfrac12\) 的同一側

(1) 只知 \(x+y\)，不知 \(\dfrac xy\)，無法決定

(2) \(\dfrac xy<\dfrac12\) \(\Rightarrow\) 甲當選

(3) \(\dfrac xy>1>\dfrac12\) \(\Rightarrow\) 乙當選

(4) \(0.4x>0.55y\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac xy>\dfrac{11}8>\dfrac12\) \(\Rightarrow\) 乙當選

(5) \(0.45y>0.6x\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac xy<\dfrac34\)，跨過 \(\dfrac12\) \(\Rightarrow\) 無法決定

10. 【正餘弦定理】

答：(1)(2)

1° 已知兩邊 \(\overline{AB}=4\)、\(\overline{AC}=6\)

(1) 夾角 \(A\) 確定 \(\Rightarrow\) 餘弦定理定出 \(\overline{BC}\)，唯一

(2) \(\angle B\) 是大邊 \(\overline{AC}=6\) 的對角：\(6^2=4^2+a^2-8a\cos B\)，\(a\) 的兩根之積 \(=16-36<0\) \(\Rightarrow\) 只有一個正根，唯一

(3) \(\angle C\) 是小邊 \(\overline{AB}=4\) 的對角，必為銳角，大邊對角可銳可鈍 \(\Rightarrow\) 可能兩個三角形

(4) 面積 \(=\dfrac12\cdot4\cdot6\sin A\)，\(\sin A=\sin(180^\circ-A)\) \(\Rightarrow\) \(A\) 可銳可鈍

(5) \(\dfrac{\overline{BC}}{\sin A}=2R\) 不能單獨定 \(A\)；\(\sin B=\dfrac6{2R}\) 也有 \(B\)、\(180^\circ-B\) 兩解

11. 【正餘弦定理、平面向量】

答：(1)(2)(5)

1° 設 \(\overline{BC}=x\)，\(\overline{AD}=x+1\)；過 \(B\) 作 \(AD\) 的平行線交 \(\overline{DC}\) 於 \(E\)，\(ABED\) 是平行四邊形 \(\Rightarrow\) \(\overline{BE}=x+1\)、\(\overline{EC}=15-10=5\)、\(\angle BEC=\angle D\)

2° \(\triangle BEC\) 大邊對大角：\(\overline{BE}>\overline{BC}\) \(\Rightarrow\) \(\angle C>\angle BEC=\angle D\)

3° \(\cos C=\dfrac{x^2+5^2-(x+1)^2}{2\cdot5\cdot x}=\dfrac{24-2x}{10x}\)

(1) \(\angle A=180^\circ-\angle D>180^\circ-\angle C=\angle B\)

(2) \(\angle B+\angle D=180^\circ-\angle C+\angle D<180^\circ\)

(3) \(\cos B=-\cos C\)；\(x\ge12\) 時 \(\cos C\le0\) \(\Rightarrow\) \(\angle B\) 不是鈍角，\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\ge0\)，不一定

(4) 兩邊和 \(>\) 第三邊：\(x+5>x+1\) 恆成立、\(x+(x+1)>5\) \(\Rightarrow\) \(x>2\)，不可能是 2

(5) \(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CD}=x\cdot15\cos C=15x\cdot\dfrac{24-2x}{10x}=3(12-x)=36-3x<30\)（因 \(x>2\)）

12. 【條件機率】

答：(2)(5)

1° 先決定分母：\(\dfrac{7!}{2!\,2!\,3!}=210\)

2° \(P(A)\)：黑球綁一起，\(\dfrac{6!}{2!\,3!}=60\) \(\Rightarrow\) \(P(A)=\dfrac{60}{210}=\dfrac27\)，\(P(B)=1-P(A)=\dfrac57\)

3° \(C\)：紅球分開 \(\to\) 插空隙，先排 2 黑 2 白 \(\dfrac{4!}{2!\,2!}=6\)，紅球插 5 個空隙 \(C^5_3=10\) \(\Rightarrow\) \(60\) 種

4° \(A\cap C\)：黑球綁一起，先排 [黑黑]、白、白 \(\dfrac{3!}{2!}=3\)，紅球插 4 個空隙 \(C^4_3=4\) \(\Rightarrow\) \(12\) 種

5° 先算好算的再相減：\(B\cap C\) 有 \(60-12=48\) 種

(1) \(\dfrac27<\dfrac57\)

(2) \(P(C)=\dfrac{60}{210}=\dfrac27\)

(3) \(P(C\mid A)=\dfrac{12}{60}=\dfrac15\)、\(P(C\mid B)=\dfrac{48}{150}=\dfrac8{25}\) \(\Rightarrow\) \(2\cdot\dfrac15+5\cdot\dfrac8{25}=\dfrac25+\dfrac85=2\)，不是 \(<2\)

(4) \(P(C\mid A)=0.2\)，不是 \(>0.2\)

(5) \(P(C\mid B)=\dfrac8{25}=0.32>0.3\)

13. 【多項式】

答：(2)(3)(5)

（非 108 課綱學測範圍；選項 (2) 用到的勘根定理不在 108 學測課綱）

(1) \(f(x)-(x^2+100)\) 仍是三次，三次方程式至少有一實根 \(\Rightarrow\) 必有交點

(2) 勘根：\(f(0)f(1)<0\) \(\Rightarrow\) \((0,1)\) 有奇數個根；\(f(0)f(2)>0\) \(\Rightarrow\) \((0,2)\) 有偶數個根 \(\Rightarrow\) \((1,2)\) 也有根；虛根成對 \(\Rightarrow\) 第三根也是實根；\((0,2)\) 內根數為偶數 \(\Rightarrow\) \((0,1)\)、\((1,2)\) 各恰一根，第三根在 \([0,2]\) 外 \(\Rightarrow\) 三相異實根

(3) 實係數有虛根 \(1+3i\) \(\Rightarrow\) \(1-3i\) 也是根，乘出 \(x^2-2x+10\)；\(f(x)=(x^2-2x+10)(x-k)\)，常數項比較 \(-10k=c\) \(\Rightarrow\) \(k=-\dfrac c{10}\) 是有理數

(4) 若成等差 \(\Rightarrow\) 有一次式 \(g(x)=px+q\) 使 \(f(k)=g(k)\)，\(k=1,2,3,4\) \(\Rightarrow\) 三次式 \(f(x)-g(x)\) 有 4 個根，矛盾

(5) 取 \(f(1)=6\)、\(f(2)=12\)、\(f(3)=24\)：\(a+b+c=5\)、\(4a+2b+c=4\)、\(9a+3b+c=-3\) \(\Rightarrow\) \(a=-3\)、\(b=8\)、\(c=0\)；\(f(4)=64-48+32=48\) \(\Rightarrow\) \(6,12,24,48\) 成等比

三、選填題

A. 【數列（週期）】

答：37

1° 一個週期 8 秒，淨位移 \(4\times6=24\)

2° \(116=24\times4+20\) \(\Rightarrow\) 4 個週期 \(32\) 秒後在 \(96\)

3° 剩下 \(20\) 單位：\(\dfrac{20}4=5\) 秒（\(5<6\)，還在移動中）

4° \(32+5=37\) 秒

B. 【空間中的平面與直線】

答：x − 6y + 4z = 0

1° \(L_1\) 在 \(E\) 上：\(\vec n\perp\vec l_1=(2,-3,-5)\)

2° \(L_2\) 與 \(E\) 不相交 \(\Rightarrow\) \(L_2\parallel E\) \(\Rightarrow\) \(\vec n\perp\vec l_2=(0,2,3)\)

3° \(\vec n\parallel\vec l_1\times\vec l_2=(-9+10,\ 0-6,\ 4-0)=(1,-6,4)\)

4° 只能代平面上那條線 \(L_1\) 的點 \((0,0,0)\) \(\Rightarrow\) \(E\)：\(x-6y+4z=0\)

5° 檢查：\(L_2\) 上 \((1,1,1)\) 代入 \(1-6+4=-1\ne0\)，確實不在 \(E\) 上

C. 【機率】

答：1/14

1° 先決定分母：\(C^9_3=84\)

2° 質因數分解：\(4=2^2\)、\(6=2\cdot3\)、\(8=2^3\)、\(9=3^2\)；從含 1、4、9 的組合和 2、3、6、8 互相配的組合列出

3° \(1\cdot2\cdot8\)、\(1\cdot4\cdot9\)、\(2\cdot3\cdot6\)、\(2\cdot4\cdot8\)、\(2\cdot8\cdot9\)、\(3\cdot6\cdot8\) 共 6 組

4° \(\dfrac6{84}=\dfrac1{14}\)

D. 【指數函數】

答：−2 ≤ a ≤ 6

1° \(\Gamma\) 的四個頂點 \((-1,-1)\)、\((-1,3)\)、\((3,-1)\)、\((3,3)\)

2° 圖形過 \(\Gamma\) 上的點 \((x,y)\) \(\Leftrightarrow\) \(a=\dfrac y{2^x}\)；極值在四個頂點

3° 代入：\((-1,-1)\) \(\Rightarrow\) \(-2\)；\((-1,3)\) \(\Rightarrow\) \(6\)；\((3,-1)\) \(\Rightarrow\) \(-\dfrac18\)；\((3,3)\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac38\)

4° 最大 6、最小 \(-2\) \(\Rightarrow\) \(-2\le a\le6\)

E. 【指數與常用對數】

答：(m, n) = (2, 56)

1° 化成單一底數的冪：\((\sqrt[3]{49})^{100}=7^{\frac{200}3}\)

2° 換成 10 為底：\(\log7^{\frac{200}3}=\dfrac{200}3\times0.8451=\dfrac{169.02}3=56.34\)

3° 拆成 \(10^{56}\times10^{0.34}\) \(\Rightarrow\) \(n=56\)

4° \(\log2=0.301<0.34<\log3=0.4771\) \(\Rightarrow\) \(2<a<3\) \(\Rightarrow\) \(m=2\)

F. 【三角比】

答：8 + 4√2

1° 照規則把路徑畫出來：每兩段淨轉 \(45^\circ-90^\circ=-45^\circ\)，轉滿 \(-360^\circ\) 要 16 段，走完 16 段回到 \(P\)

2° 切成中間正方形加 4 個腰長 1 的等腰直角三角形；正方形每邊 = 1 + 斜邊 \(\sqrt2\) + 1 \(=2+\sqrt2\)

3° 面積 \(=(2+\sqrt2)^2+4\times\dfrac12\times1\times1=6+4\sqrt2+2=8+4\sqrt2\)

G. 【空間概念】

答：4√2

1° 給 cos 的條件，應該是希望你去求一個長度：\(\triangle ABC\) 餘弦定理 \(\overline{BC}^2=96+96-2\cdot96\cdot\dfrac13=128\) \(\Rightarrow\) \(\overline{BC}=8\sqrt2\)

2° 取 \(\overline{BC}\) 中點 \(H\)：\(\overline{BD}^2+\overline{CD}^2=64+64=128=\overline{BC}^2\) \(\Rightarrow\) \(\angle BDC=90^\circ\)，\(\overline{DH}=\dfrac12\overline{BC}=4\sqrt2\)，且 \(\overline{DH}\perp\overline{BC}\)

3° \(\overline{AB}=\overline{AC}\) \(\Rightarrow\) \(\overline{AH}\perp\overline{BC}\)，\(\overline{AH}^2=96-32=64\) \(\Rightarrow\) \(\overline{AH}=8\)

4° 畢氏逆定理：\(\overline{DH}^2+\overline{AH}^2=32+64=96=\overline{AD}^2\) \(\Rightarrow\) \(\overline{DH}\perp\overline{AH}\)

5° \(\overline{DH}\) 同時垂直平面 \(ABC\) 上兩條相交線 \(\overline{BC}\)、\(\overline{AH}\) \(\Rightarrow\) \(\overline{DH}\perp\) 平面 \(ABC\) \(\Rightarrow\) 距離 \(=4\sqrt2\)