110 指考數甲詳解試題分析

110 指考數學甲詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。

1	2	3	4	5	6
(5)	(2)	(4)	(2)(3)	(1)(3)	(1)(3)(4)
7	8	A	B	C
(2)(5)	(2)(4)	\(-\frac{11}{24}\)	\(8\sqrt7\)	\(\alpha=\frac{9}{25}\)，\(\beta=-\frac{4}{25}\)

一 (1)	一 (2)	一 (3)	二 (1)	二 (2)	二 (3)
\(\frac92\)	\(H'\big(-\frac{16}{3},\frac43,-8\big)\)	不在 \(\triangle ABC\) 內部	\(x=0,1,3\)	\(\frac{37}{12}\)	\(a=1\)，\(b=5\)

第壹部分、選擇題

一、單選題

1. 【指數與對數】

答：(5)

1° \((10x_0,100y_0)\) 在 \(y=10^x\) 上 \(\Rightarrow\) \(100y_0=10^{10x_0}\)

2° 兩邊取 log：\(\log100+\log y_0=10x_0\) \(\Rightarrow\) \(\log y_0=10x_0-2\)

3° \((x_0,\log y_0)\) 在 \(y=10x-2\) 上 \(\Rightarrow\) \(a=10\)、\(b=-2\)

4° \(2a-b=20+2=22\)

2. 【條件機率】

答：(2)

1° 樹狀圖：超標 \(p\%\) \(\to\) 紅 \(0.75\)；未超標 \((1-p\%)\) \(\to\) 紅 \(1-0.95=0.05\)

2° 顯示紅色 \(=\) 兩條路徑相加：\(0.75\cdot\dfrac{p}{100}+0.05\Big(1-\dfrac{p}{100}\Big)=0.078\)

3° \(0.7\cdot\dfrac{p}{100}=0.028\) \(\Rightarrow\) \(p=4\) \(\Rightarrow\) \(3\le p<5\)

3. 【積分（黎曼和）】

答：(4)

1° 每項除以 \(n^9\)，留一個 \(\dfrac1n\) 當寬度：\(\dfrac{1}{n^{10}}\big[1^9+2^9+\cdots+(2n)^9\big]=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\dfrac1n\Big(\dfrac kn\Big)^9\)

2° 寬度是 \(\dfrac1n\)，\(x=\dfrac kn\) 從 0 跑到 \(\dfrac{2n}{n}=2\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}\dfrac1n\Big(\dfrac kn\Big)^9=\int_0^2x^9\,dx\)

3° 次方加一、次方除下來：\(\displaystyle\int_0^2x^9\,dx=\Big[\dfrac{x^{10}}{10}\Big]_0^2=\dfrac{2^{10}}{10}\)

4° 原式 \(=10^{10}\times\dfrac{2^{10}}{10}=10^9\times2^{10}\)

二、多選題

4. 【矩陣（轉移矩陣）】

答：(2)(3)

1° 隔天自備 \(=\) 自備留下 \(0.9\) \(+\) 外食轉來 \(0.2\)：\(x_{n+1}=0.9x_n+0.2y_n\)

2° 隔天外食 \(=\) 自備轉去 \(0.1\) \(+\) 外食留下 \(0.8\)：\(y_{n+1}=0.1x_n+0.8y_n\)；且 \(x_n+y_n=1\)

(1) \(y_1=0.1x_0+0.8y_0\)，不是 \(0.9y_0+0.2x_0\)

(2) 橫配直：\(\begin{bmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_n\\y_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.9x_n+0.2y_n\\0.1x_n+0.8y_n\end{bmatrix}\)，與 1°、2° 相同

(3) \(x_0=\dfrac23\)、\(y_0=\dfrac13\) \(\Rightarrow\) \(x_1=0.9\cdot\dfrac23+0.2\cdot\dfrac13=\dfrac{1.8+0.2}{3}=\dfrac23\)、\(y_1=\dfrac13\)，一直不變 \(\Rightarrow\) \(\dfrac{x_n}{y_n}=\dfrac21\)

(4) \(x_1-y_1=0.8x_0-0.6y_0\)；反例：\(x_0=0.45\)、\(y_0=0.55\) \(\Rightarrow\) \(x_1=0.515>y_1=0.485\)

(5) \(x_1-x_0=-0.1x_0+0.2y_0\)；反例：\(x_0=0.6\)、\(y_0=0.4\) \(\Rightarrow\) \(x_1=0.62>x_0\)（要 \(x_0>\dfrac23\) 才會 \(x_0>x_1\)）

5. 【多項式（除法原理）】

答：(1)(3)

1° 看到除以…餘…，先列式：\(f(x)=(x^n-1)Q_n(x)+r_n(x)\)，\(\deg r_n<n\)

(1) \(n=1\)：除式 \(x-1\)，餘式定理 \(r_1(x)=f(1)\)

(2) \(\deg r_2\le1\)，可能是常數；反例：\(f(x)=x^5-x+3\) \(=x(x^2-1)(x^2+1)+3\) \(\Rightarrow\) \(r_2(x)=3\)

(3) \(f(x)=(x^4-1)Q_4+r_4=(x^2-1)(x^2+1)Q_4+r_4\) \(\Rightarrow\) \(f\) 與 \(r_4\) 除以 \(x^2-1\) 的餘式相同 \(\Rightarrow\) 都是 \(r_2(x)\)

(4) \(\deg f=5<6\) \(\Rightarrow\) \(r_6(x)=f(x)\)；\(f(x)=a(x^5-1)+r_5(x)\)（\(a\) 為首項係數）\(\Rightarrow\) \(r_5(x)=f(x)-a(x^5-1)\ne f(x)\)

(5) 反例：\(f(x)=x^5\) 是奇函數，用 \(x^3=1\) 降次：\(x^5=x^3\cdot x^2\to x^2\) \(\Rightarrow\) \(r_3(x)=x^2\)，\(r_3(-x)=x^2\ne-r_3(x)\)

6. 【機率】

答：(1)(3)(4)

1° 正面 \(+1\)、反面 \(+3\)（第一次也一樣，從 0 出發）\(\Rightarrow\) 第 \(k\) 次戳的號碼 \(=k+2t\)，\(t\) 是前 \(k\) 次中反面的次數

2° 號碼一直變大，同一格最多戳一次 \(\Rightarrow\) \(p_m=\) 各個「第 \(k\) 次戳到 \(m\)」的機率相加

(1) \(2=2+2\cdot0\)：第 2 次、前 2 次都正面 \(\Rightarrow\) \(p_2=\Big(\dfrac12\Big)^2=\dfrac14\)

(2) \(3=1+2\cdot1\) 或 \(3+2\cdot0\) \(\Rightarrow\) \(p_3=\dfrac12+\Big(\dfrac12\Big)^3=\dfrac58\)

(3) \(4=2+2\cdot1\) 或 \(4+2\cdot0\) \(\Rightarrow\) \(p_4=\dfrac{C^2_1}{2^2}+\dfrac1{2^4}=\dfrac9{16}\)；\(\dfrac12p_1+\dfrac12p_3=\dfrac12\cdot\dfrac12+\dfrac12\cdot\dfrac58=\dfrac9{16}\)

(4) \(8=4+2\cdot2\) \(\Rightarrow\) \(p_8=\dfrac{C^4_2}{2^4}=\dfrac6{16}\)；\(10=4+2\cdot3\) \(\Rightarrow\) \(p_{10}=\dfrac{C^4_3}{2^4}=\dfrac4{16}\) \(\Rightarrow\) \(p_8>p_{10}\)

(5) 3、4 都戳到 \(\Rightarrow\) 戳完 3 下一次是正面：反正（\(\frac14\)）或 正正正正（\(\frac1{16}\)）\(\Rightarrow\) \(\dfrac{\frac5{16}}{\frac9{16}}=\dfrac59\ne\dfrac12\)

7. 【微分的應用】

答：(2)(5)

1° \(f'(x)>x^2+1.1>0\) \(\Rightarrow\) \(f\) 嚴格遞增

2° 反例都用 \(f'(x)=2x^2+2\)（\(>x^2+1.1\)），\(f(x)=\dfrac23x^3+2x\)：\(x<0\) 時 \(f(x)<0\)

(1) \(f''(x)=4x<0\)（\(x<0\)）\(\Rightarrow\) \(f'\) 在 \(x<0\) 遞減

(2) 由 1°

(3) \(F'(x)=f(x)<0\)（\(x<0\)）\(\Rightarrow\) \(F\) 在 \(x<0\) 遞減

(4) 連鎖律：\(\big([f(x)]^2\big)'=2f(x)f'(x)<0\)（\(x<0\)）\(\Rightarrow\) 在 \(x<0\) 遞減

(5) 連鎖律：\(\big(f(f(x))\big)'=f'(f(x))\cdot f'(x)>0\)（\(f'\) 恆正）

8. 【複數】

答：(2)(4)

1° 依序連成平行四邊形 \(\Rightarrow\) 對角線互相平分：\(\dfrac{z_1+z_3}2=\dfrac{z_2+z_4}2\) \(\Rightarrow\) \(z_1+z_3=z_2+z_4\)

2° 換出發點：\(z_1-z_2=z_4-z_3\)（對邊平行且等長）

3° 反例取 \(z_1=0\)、\(z_2=2\)、\(z_3=3+i\)、\(z_4=1+i\)

(1) \((z_1-z_3)(z_2-z_4)=(-3-i)(1-i)=-4+2i\)，不是實數

(2) 由 1°：\(z_1-z_2+z_3-z_4=0\)

(3) \(z_1+z_2+z_3+z_4=2(z_1+z_3)=6+2i\)，不是實數

(4) 由 2°：\(\dfrac{z_1-z_2}{z_3-z_4}=\dfrac{-(z_3-z_4)}{z_3-z_4}=-1\)

(5) \(\dfrac{z_2-z_4}{z_1-z_3}=\dfrac{1-i}{-3-i}=\dfrac{(1-i)(-3+i)}{10}=\dfrac{-1+2i}{5}\)，平方 \(=\dfrac{-3-4i}{25}\)，不是實數

三、選填題

A. 【餘弦定理】

答：−11/24

1° 最大角對最大邊：\(\cos\theta=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)（\(c\) 最大）

2° 四種取法：

\((6,8,10)\)：\(6^2+8^2=10^2\) \(\Rightarrow\) \(\cos\theta=0\)

\((6,8,12)\)：\(\cos\theta=\dfrac{36+64-144}{2\cdot6\cdot8}=\dfrac{-44}{96}=-\dfrac{11}{24}\)

\((6,10,12)\)：\(\cos\theta=\dfrac{36+100-144}{2\cdot6\cdot10}=-\dfrac{8}{120}=-\dfrac1{15}\)

\((8,10,12)\)：\(\cos\theta=\dfrac{64+100-144}{2\cdot8\cdot10}=\dfrac{20}{160}=\dfrac18\)

3° 比較：\(\dfrac{11}{24}>\dfrac1{15}\) \(\Rightarrow\) 最小值 \(-\dfrac{11}{24}\)

B. 【圓與直線（弦長）】

答：8√7

1° 半弦² + 弦心距² = \(r^2\)：\(x+y=0\) 的弦心距 \(d_1=\sqrt{12^2-4^2}=\sqrt{128}=8\sqrt2\)

2° 兩平行線距離 \(=\dfrac{|24-0|}{\sqrt2}=12\sqrt2\)

3° 圓心在 \(x+y=24\) 那一側：到 \(x+y=24\) 的距離 \(12\sqrt2-8\sqrt2=4\sqrt2\)；在另一側是 \(12\sqrt2+8\sqrt2=20\sqrt2>12\)，交不到（不合）

4° 半弦 \(=\sqrt{12^2-(4\sqrt2)^2}=\sqrt{144-32}=\sqrt{112}=4\sqrt7\) \(\Rightarrow\) \(\overline{PQ}=8\sqrt7\)

C. 【平面向量】

答：α = 9/25，β = −4/25

1° 全部換成 \(A\) 出發，用 \(\overrightarrow{AC}\)、\(\overrightarrow{AD}\) 表示

2° \(\overrightarrow{AB}=\dfrac25\overrightarrow{DC}=\dfrac25\big(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\big)\)（換出發點）

3° \(AE:EC=3:2\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AE}=\dfrac35\overrightarrow{AC}\)

4° \(BF:FD=2:3\)，分點比例交叉放：\(\overrightarrow{AF}=\dfrac35\overrightarrow{AB}+\dfrac25\overrightarrow{AD}=\dfrac6{25}\big(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\big)+\dfrac{10}{25}\overrightarrow{AD}=\dfrac6{25}\overrightarrow{AC}+\dfrac4{25}\overrightarrow{AD}\)

5° \(\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AF}=\dfrac{15}{25}\overrightarrow{AC}-\dfrac6{25}\overrightarrow{AC}-\dfrac4{25}\overrightarrow{AD}=\dfrac9{25}\overrightarrow{AC}-\dfrac4{25}\overrightarrow{AD}\)

6° \(\alpha=\dfrac9{25}\)、\(\beta=-\dfrac4{25}\)

第貳部分、非選擇題

一 (1). 【空間向量、外積】

答：9/2

1° \(\overrightarrow{AB}=(1,0,-1)\)、\(\overrightarrow{AC}=(0,2,1)\)

2° 外積：\(\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\big(0\cdot1-(-1)\cdot2,\ (-1)\cdot0-1\cdot1,\ 1\cdot2-0\cdot0\big)=(2,-1,2)\)，\(|\vec n|=3\)

3° \(\vec n\perp\) 平面 \(E\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AH}\) 拆成「平面上的部分」\(\dfrac23\overrightarrow{AB}-\dfrac13\overrightarrow{AC}\) 加「垂直 \(E\) 的部分」\(3\vec n\)

4° 高 \(=|3\vec n|=3\times3=9\)；底面積 \(\triangle ABC=\dfrac12|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\dfrac32\)

5° 體積 \(=\dfrac13\times\dfrac32\times9=\dfrac92\)

一 (2). 【空間中的平面（對稱點）】

答：(−16/3, 4/3, −8)

1° 由 (1) 的圖：\(H\) 在平面上的投影點 \(P\) 滿足 \(\overrightarrow{AP}=\dfrac23\overrightarrow{AB}-\dfrac13\overrightarrow{AC}\)，\(\overrightarrow{PH}=3\vec n\)

2° 對稱點：\(\overrightarrow{PH'}=-\overrightarrow{PH}=-3\vec n\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AH'}=\dfrac23\overrightarrow{AB}-\dfrac13\overrightarrow{AC}-3\vec n\)

3° \(\dfrac23(1,0,-1)-\dfrac13(0,2,1)=\Big(\dfrac23,-\dfrac23,-1\Big)\)；\(3\vec n=(6,-3,6)\)

4° \(\overrightarrow{AH'}=\Big(\dfrac23-6,\ -\dfrac23+3,\ -1-6\Big)=\Big(-\dfrac{16}3,\ \dfrac73,\ -7\Big)\)

5° \(H'=A+\overrightarrow{AH'}=(0,-1,-1)+\Big(-\dfrac{16}3,\dfrac73,-7\Big)=\Big(-\dfrac{16}3,\ \dfrac43,\ -8\Big)\)

一 (3). 【平面向量（點在三角形內部）】

答：不在 △ABC 內部

1° \(H'\) 在平面 \(E\) 的投影點和 \(H\) 的投影點一樣，就是 \(P\)（\(H\)、\(H'\) 對稱於 \(E\)）

2° \(\overrightarrow{AP}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}\) 在 \(\triangle ABC\) 內部 \(\Leftrightarrow\) \(\alpha>0\)、\(\beta>0\) 且 \(\alpha+\beta<1\)

3° \(\alpha=\dfrac23\)、\(\beta=-\dfrac13<0\) \(\Rightarrow\) \(P\) 不在 \(\triangle ABC\) 內部（在直線 \(AB\) 的另一側，見 (1) 的圖）

4° 驗算：\(P=A+\Big(\dfrac23,-\dfrac23,-1\Big)=\Big(\dfrac23,-\dfrac53,-2\Big)\)

二 (1). 【多項式函數】

答：x = 0，1，3

1° 交點 \(\Rightarrow\) 實根：\(x^3-4x^2+5x=2x\)

2° \(x^3-4x^2+3x=0\) \(\Rightarrow\) \(x(x-1)(x-3)=0\)

3° \(x=0,1,3\)（都 \(\ge0\)）

二 (2). 【積分（面積）】

答：37/12

1° 令 \(g(x)=(x^3-4x^2+5x)-2x=x(x-1)(x-3)\)，首項係數正、三個根穿過 \(\Rightarrow\) \(0<x<1\) 時 \(g>0\)（\(\Gamma\) 在上）、\(1<x<3\) 時 \(g<0\)（\(L\) 在上）

2° 上減下：面積 \(=\displaystyle\int_0^1g(x)\,dx+\int_1^3\big(-g(x)\big)\,dx\)

3° 次方加一、次方除下來：\(G(x)=\dfrac{x^4}4-\dfrac{4x^3}3+\dfrac{3x^2}2\)

4° \(G(0)=0\)、\(G(1)=\dfrac14-\dfrac43+\dfrac32=\dfrac5{12}\)、\(G(3)=\dfrac{81}4-36+\dfrac{27}2=-\dfrac94\)

5° 面積 \(=\big[G(1)-G(0)\big]-\big[G(3)-G(1)\big]=\dfrac5{12}-\Big(-\dfrac94-\dfrac5{12}\Big)=\dfrac5{12}+\dfrac{27}{12}+\dfrac5{12}=\dfrac{37}{12}\)

二 (3). 【微分（切線）、判別式】

答：a = 1，b = 5

1° 聯立：\(x^3-4x^2+5x=mx\) \(\Rightarrow\) \(x\big(x^2-4x+(5-m)\big)=0\)

2° \(x=0\) 一定是交點 \(\Rightarrow\) 要 \(x^2-4x+(5-m)=0\) 有兩個相異正根（不能是 0）

3° 相異實根：\(D=16-4(5-m)>0\) \(\Rightarrow\) \(m>1\)

4° 兩根都正：和 \(4>0\)、積 \(5-m>0\) \(\Rightarrow\) \(m<5\)

5° \(1<m<5\) \(\Rightarrow\) \(a=1\)、\(b=5\)

6° 看圖：\(m=5=f'(0)\) 時 \(L\) 是原點的切線；\(m=1\) 時 \(L\) 切 \(\Gamma\) 於 \((2,2)\)（\(f'(2)=12-16+5=1\)）。\(L\) 夾在兩條切線之間時，\(x\ge0\) 有三個交點（圖中 \(m=3\)）