109 學測數學 試題詳解分析

109 學測數學詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。

1	2	3	4	5	6	7
(2)	(1)	(2)	(5)	(3)	(4)	(4)

8	9	10	11	12	13
(1)(2)	(4)(5)	(1)(4)	(3)(5)	(1)(3)	(2)(4)

A	B	C	D	E	F	G
300	\(\frac19\)	\(-5\)	\(\frac{2\sqrt{10}}{5}\)	\((-3,-1,-2)\)	\(\frac{5}{56}\)	\(a=\frac16,\ b=3\)

一、單選題

1. 【三角比】

答：(2)

1° \(\sin\alpha=\dfrac35\)、\(\sin\beta=\dfrac5{13}\)，全部和 \(\sin30^\circ=\dfrac12\) 比

2° \(\dfrac35>\dfrac12\)；\(\dfrac5{13}<\dfrac12\)（\(10<13\)）

3° \(\sin\alpha>\sin30^\circ>\sin\beta\)

2. 【空間向量】

答：(1)

1° 移項提公因式：\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})=0\)

2° 換出發點：\(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}=0\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0\)

3° 只知道 \(\overline{AB}\perp\overline{CD}\)，其他選項都不一定（反例：兩平行平面上各放一條線，投影垂直但兩線歪斜 \(\Rightarrow\) 四點不共面）

3. 【平面向量】

答：(2)

1° 以 \(\overrightarrow{OC}\)、\(\overrightarrow{OE}\) 當斜坐標軸：\(\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OE}\)

2° \(P\) 在 \(\triangle ODE\) 內 \(\Leftrightarrow\) \(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OD}+t\overrightarrow{OE}=s\overrightarrow{OC}+(s+t)\overrightarrow{OE}\)，\(s,t>0\)、\(s+t<1\)

3° \(\Leftrightarrow\) \(0<(\overrightarrow{OC}\text{ 的係數})<(\overrightarrow{OE}\text{ 的係數})<1\)

(1) 終點是 \(D\)，在邊界上

(2) \(0<\dfrac14<\dfrac12<1\) ✓

(3)(5) \(\overrightarrow{OC}\) 的係數是負的 \(\Rightarrow\) 落到 \(\triangle OEF\)、\(\triangle OAF\) 這側

(4) \(\overrightarrow{OE}\) 的係數是負的 \(\Rightarrow\) 落到 \(\triangle OBC\) 這側

4. 【矩陣】

答：(5)

1° 不算 \(A^{-1}\)（怕分數），兩邊右乘 \(A\)：\(BA=(I+A+A^{-1})A=A+A^2+I\)

2° \(A^2=\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4&5\\15&19\end{bmatrix}\)

3° \(BA=\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4&5\\15&19\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&6\\18&24\end{bmatrix}\)

5. 【絕對值】

答：(3)

1° 根號先估值：\(\sqrt{101}=10.\cdots\)、\(\sqrt{38}=6.\cdots\)

2° \(|x-\sqrt{101}|<5\) \(\Rightarrow\) \(\sqrt{101}-5<x<\sqrt{101}+5\) \(\Rightarrow\) \(5.\cdots<x<15.\cdots\) \(\Rightarrow\) \(x=6\sim15\)

3° \(|x-\sqrt{38}|>3\) \(\Rightarrow\) \(x<\sqrt{38}-3=3.\cdots\) 或 \(x>\sqrt{38}+3=9.\cdots\)

4° 取交集：\(x=10\sim15\) \(\Rightarrow\) 6 個

6. 【對數、機率】

答：(4)

1° 先決定分母：\(6^2=36\)

2° 對數合併：\(\log a^2+\log b=\log a^2b>1=\log10\) \(\Rightarrow\) \(a^2b>10\)

3° 對 \(a\) 逐一列出 \(b\) 的個數：

\(a\)	1	2	3	4	5	6
條件	\(b>10\)	\(b>\frac{10}4\)	\(b>\frac{10}9\)	全部	全部	全部
\(b\) 的個數	0	4	5	6	6	6

4° \(\dfrac{0+4+5+6+6+6}{36}=\dfrac{27}{36}=\dfrac34\)

7. 【三角比、函數圖形】

答：(4)

1° \(f(-x)=-\sqrt3(-x)^3=\sqrt3x^3=-f(x)\) \(\Rightarrow\) 圖形對稱於原點

2° 圖上到原點距離 1 的點就是與單位圓的交點，只有兩個 \(\Rightarrow\) \(P\)、\(Q\) 對稱於原點

3° \(\dfrac{P+Q}2=(0,0)\) \(\Rightarrow\) \(Q=-P=(-\cos\theta,-\sin\theta)\)

4° \(\sin(-\theta)=-\sin\theta\) \(\Rightarrow\) \(Q=(-\cos\theta,\sin(-\theta))\)

二、多選題

8. 【機率、數列】

答：(1)(2)

1° 獎金 100 元 \(\Rightarrow\)（A）、（B）恰好滿足一個；已知 1、3，未知點數 \(x\) 逐一代

(1) \(x=2\)：\(1,2,3\) 等差 ✓；有偶數，（A）× \(\Rightarrow\) 100 元

(2) \(x=3\)：\(1,3,3\) 全奇 ✓；差 \(2,0\) 不等差 × \(\Rightarrow\) 100 元

(3) \(x=4\)：（A）×；\(1,3,4\) 差 \(2,1\) × \(\Rightarrow\) 0 元

(4) \(x=5\)：\(1,3,5\) 全奇又等差，兩個都滿足 \(\Rightarrow\) 200 元

(5) \(x=6\)：（A）×；\(1,3,6\) 差 \(2,3\) × \(\Rightarrow\) 0 元

9. 【平面向量】

答：(4)(5)

1° \(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OQ}|\cos\theta=4\cos\theta\)

2° 固定 \(\overrightarrow{OP}\) 與 \(L\) 夾 \(30^\circ\)，讓 \(Q\) 跑完所有位置：\(Q\) 只能在 \(Q_1\)、\(Q_2\)、\(Q_3\)（\(Q\ne P\)）

3° \(Q_1\)：\(\theta=60^\circ\) \(\Rightarrow\) \(4\times\dfrac12=2\)

4° \(Q_2\)：\(\theta=120^\circ\) \(\Rightarrow\) \(4\times\left(-\dfrac12\right)=-2\)

5° \(Q_3\)：\(\theta=180^\circ\) \(\Rightarrow\) \(4\times(-1)=-4\)

6° 可能值只有 \(2,-2,-4\) \(\Rightarrow\) (4)(5)

10. 【多項式】

答：(1)(4)

（不在 108 學測課綱）

1° 把 \(x^2\) 當一個變數十字交乘：\(f(x)=(3x^2-1)(x^2+4)\)

2° 實根 \(x=\pm\dfrac1{\sqrt3}\)（無理根），虛根 \(x=\pm2i\)

(1) \(y\) 截距看常數項：\(f(0)=-4<0\)

(2) 只有 2 個實根

(3) \(\pm\dfrac1{\sqrt3}\) 是無理數，\(\pm2i\) 是虛數 \(\Rightarrow\) 沒有有理根

(4) \(\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}3\approx0.577\)，介於 0 與 1 之間

(5) 1 與 2 之間沒有根

11. 【指數與對數】

答：(3)(5)

1° 換成指數：\(a=10^{1.1}\)、\(b=10^{2.2}\)、\(c=10^{3.3}\)

(1) 算幾：\(a+c>2\sqrt{ac}=2\sqrt{10^{4.4}}=2\times10^{2.2}=2b\)（\(a\ne c\) 等號不成立）

(2) \(a=10^{1.1}>10\)

(3) \(c=10^3\times10^{0.3}\)，\(10^{0.3}\) 略小於 \(10^{0.301}=2\) \(\Rightarrow\) \(1000<c<2000\)

(4) \(\dfrac ba=10^{1.1}\ne2\)

(5) 後項 ÷ 前項：\(\dfrac ba=\dfrac cb=10^{1.1}\) \(\Rightarrow\) 等比

12. 【數據分析】

答：(1)(3)

1° 先看單位：總就業、農業就業是「萬人」，男性農業與各年齡層是「千人」

(1) 2013～2018：\(69.7<72.6<73.2<73.3<74.8<79.4\) ✓

(2) 反例：2016 年 \(176.4<\) 2015 年 \(181.3\)

(3) 換成同單位：比率 \(=\dfrac{\text{男性農業（千人）}\div10}{\text{總就業（萬人）}}\)；最大的 2011 年 \(\dfrac{38.63}{1070.9}\approx3.6\%<5\%\)，各年分子都 \(<42\)、分母都 \(>1070\) \(\Rightarrow\) 都 \(<4\%\)

(4) 49 歲以下 = 39 歲以下 + 40-49 歲；反例：2011 年 \(67.6+85.4=153.0<164.2\)

(5) \(79.4-69.1=10.3\) 千人 \(=10300\) 人，超過一萬人

13. 【空間概念、正餘弦定理】

答：(2)(4)

1° 設正三角形邊長 \(a\) \(\Rightarrow\) \(\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{AB}=\overline{OC}=\overline{AC}=a\)

(1) \(\triangle OBC\) 中 \(\angle BOC=30^\circ\) 最小，大角對大邊 \(\Rightarrow\) \(\overline{BC}\) 最短 \(\Rightarrow\) \(\overline{BC}<\overline{OC}\)

(2) \(\overline{OB}=\overline{OC}=a\) \(\Rightarrow\) 等腰 ✓

(3) \(\triangle OBC=\dfrac12a^2\sin30^\circ=\dfrac14a^2<\triangle OAB=\dfrac{\sqrt3}4a^2\)

(4) \(\triangle ABC\) 與 \(\triangle OBC\) 三邊對應相等（\(\overline{AB}=\overline{OB}\)、\(\overline{AC}=\overline{OC}\)、\(\overline{BC}\) 共用）\(\Rightarrow\) 全等 \(\Rightarrow\) \(\angle CAB=\angle COB=30^\circ\) ✓

(5) 兩面角：① 交線 \(\overline{OA}\) ② 取 \(\overline{OA}\) 中點 \(M\)，\(\overline{BM}\)、\(\overline{CM}\) 都 \(\perp\overline{OA}\) \(\Rightarrow\) 夾角 \(\theta=\angle BMC\)；同一底邊 \(\overline{BC}\) 的等腰三角形，腰越短頂角越大：\(\overline{BM}=\dfrac{\sqrt3}2a<\overline{BO}=a\) \(\Rightarrow\) \(\angle BMC>\angle BOC=30^\circ\)

三、選填題

A. 【數列】

答：300

1° 利潤 \(=\) 售價 \(-\) 成本 \(=200\times5-200=800\)

2° 每次減半：\(800\to400\to200\to100\)

3° 售價 \(=\) 成本 \(+\) 利潤 \(=200+100=300\)

B. 【條件機率】

答：1/9

1° 列出所有符合的序列：黑黑黑、白白白，每條沿路相乘

2° 黑黑黑：\(\dfrac12\times\dfrac13\times\dfrac13=\dfrac1{18}\)；白白白同理 \(\dfrac1{18}\)

3° \(\dfrac1{18}+\dfrac1{18}=\dfrac19\)

C. 【直線】

答：−5

1° 最值在線段 \(S\) 的兩端點，聯立求端點

2° \(2x+y=10\) 與 \(x-2y+15=0\)：\(x=2y-15\) 代入 \(\Rightarrow\) \(5y-30=10\) \(\Rightarrow\) \((1,8)\)

3° \(2x+y=10\) 與 \(x-2y=0\)：\(x=2y\) 代入 \(\Rightarrow\) \(5y=10\) \(\Rightarrow\) \((4,2)\)

4° 代入 \(c=3x-y\)：\((1,8)\to-5\)、\((4,2)\to10\) \(\Rightarrow\) \(-5\le c\le10\)，最小值 \(-5\)

D. 【正餘弦定理】

答：2√10/5

1° 箏形對稱於 \(\overline{BD}\) \(\Rightarrow\) \(\overline{AC}\perp\overline{BD}\)，\(\overline{AC}=2\overline{AH}\)

2° 餘弦定理：\(\overline{BD}^2=2+4-2\cdot\sqrt2\cdot2\cos135^\circ=6+4=10\) \(\Rightarrow\) \(\overline{BD}=\sqrt{10}\)

3° \(\triangle ABD\) 面積算兩次：\(\dfrac12\cdot\sqrt2\cdot2\sin135^\circ=\dfrac12\cdot\sqrt{10}\cdot\overline{AH}\) \(\Rightarrow\) \(1=\dfrac{\sqrt{10}}2\overline{AH}\) \(\Rightarrow\) \(\overline{AH}=\dfrac2{\sqrt{10}}\)

4° \(\overline{AC}=\dfrac4{\sqrt{10}}=\dfrac{2\sqrt{10}}5\)

E. 【空間中的直線】

答：(−3, −1, −2)

1° 方向向量約到最簡：\(\overrightarrow{BC}=(-2,2,-2)\parallel(1,-1,1)\)

2° 用 \(B\) 寫參數式：\(BC\)：\((2+t,\,-6-t,\,3+t)\)

3° 用參數設垂足 \(M(2+t,\,-6-t,\,3+t)\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AM}=(1+t,\,-13-t,\,1+t)\)

4° \(\overrightarrow{AM}\cdot(1,-1,1)=0\) \(\Rightarrow\) \((1+t)+(13+t)+(1+t)=0\) \(\Rightarrow\) \(3t+15=0\) \(\Rightarrow\) \(t=-5\)

5° 回代：\(M(-3,-1,-2)\)

F. 【二次曲線】

答：5/56

1° 自己設坐標，讓對稱軸是 \(y\) 軸、下底在 \(x\) 軸上：梯形頂點 \((\pm3,0)\)、\((\pm2,14)\)

2° 設 \(\Gamma\)：\(x^2=4c(y-a)\)

3° 代 \((2,14)\)：\(4=4c(14-a)\)；代 \((3,0)\)：\(9=4c(-a)\)

4° 兩式相除消掉 \(c\)：\(\dfrac49=\dfrac{14-a}{-a}\) \(\Rightarrow\) \(-4a=126-9a\) \(\Rightarrow\) \(a=\dfrac{126}5\)

5° 代回：\(9=-4c\cdot\dfrac{126}5\) \(\Rightarrow\) \(c=-\dfrac{45}{504}=-\dfrac5{56}\)

6° 焦距 \(=|c|=\dfrac5{56}\)

G. 【弧度量】

答：a = 1/6，b = 3

1° \(\overline{QT}=2\sqrt3\)、\(\overline{PQ}=\overline{PT}=2\) \(\Rightarrow\) \(\overline{PO}=1\)，\(\angle QPO=60^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\angle QPT=120^\circ=\dfrac{2\pi}3\)

2° 所求 \(=\) 半圓 \(-\) 弓形；弓形 \(=\) 扇形 \(\dfrac12r^2\theta\) \(-\) 三角形 \(\dfrac12r^2\sin\theta\)

3° 半圓：\(\dfrac12\pi(\sqrt3)^2=\dfrac32\pi\)

4° 弓形：\(\dfrac12\cdot2^2\cdot\dfrac{2\pi}3-\dfrac12\cdot2^2\sin120^\circ=\dfrac43\pi-\sqrt3\)

5° 面積 \(=\dfrac32\pi-\dfrac43\pi+\sqrt3=\dfrac16\pi+\sqrt3\) \(\Rightarrow\) \(a=\dfrac16\)、\(b=3\)