108 學測數學 詳解試題分析

巫老師幫同學整理了一份 108 學測數學詳解，附上大考中心頒布的 108學測數學試題

108 學測數學詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。

1	2	3	4	5	6
(3)	(1)	(3)	(5)	(4)	(2)

7	8	9	10	11	12	13
(1)(4)	(4)(5)	(3)(5)	(1)(2)	(3)(5)	(1)(2)(5)	(3)(4)

A	B	C	D	E	F	G
\(-4\)	\(\frac{29}{4}\)	105	215	13	\(2\sqrt3\)	\(-3\)

一、單選題

1. 【圓與直線】

題目

點 \(A(1,0)\) 在單位圓 \(\Gamma: x^2+y^2=1\) 上。試問：\(\Gamma\) 上除了 \(A\) 點以外，還有幾個點到直線 \(L: y=2x\) 的距離，等於 \(A\) 點到 \(L\) 的距離？

(1) 1 個

(2) 2 個

(3) 3 個

(4) 4 個

(5) 0 個

答：(3)

詳解

1° 畫圖：\(L\) 過圓心 \(O\) \(\Rightarrow\) 圓對 \(L\)、對過 \(O\) 垂直 \(L\) 的直線都對稱

2° 由圖：\(A\) 對 \(L\) 對稱、對垂直線對稱、對 \(O\) 對稱，各得一點，到 \(L\) 的距離都和 \(A\) 一樣

3° 扣掉 \(A\) 自己 \(\Rightarrow\) 3 個

2. 【多項式方程式】

題目

下列哪一個選項是方程式 \(x^3-x^2+4x-4=0\) 的解？（註：\(i=\sqrt{-1}\)）

(1) \(-2i\)

(2) \(-i\)

(3) \(i\)

(4) \(2\)

(5) \(4\)

答：(1)

詳解

1° 分組提公因式：\(x^2(x-1)+4(x-1)=(x-1)(x^2+4)=0\)

2° \(x=1\) 或 \(x=\pm2i\) \(\Rightarrow\) \(-2i\) 是解

3. 【指數、計數】

題目

試問共有多少組正整數 \((k,m,n)\) 滿足 \(2^k4^m8^n=512\)？

(1) 1 組

(2) 2 組

(3) 3 組

(4) 4 組

(5) 0 組

答：(3)

詳解

1° 化成底數 2：\(2^k\cdot2^{2m}\cdot2^{3n}=2^9\) \(\Rightarrow\) \(k+2m+3n=9\)

2° 從係數最大的 \(n\) 開始討論（\(k,m,n\ge1\)）：

\(n\)	\(k+2m\)	\((k,m)\)
1	6	\((4,1)\)、\((2,2)\)
2	3	\((1,1)\)

3° 共 3 組

4. 【排列組合】

題目

廚師買了豬、雞、牛三種肉類食材以及白菜、豆腐、香菇三種素類食材。若廚師想用完這六種食材作三道菜，每道菜可以只用一種食材或用多種食材，但每種食材只能使用一次，且每道菜一定要有肉，試問食材的分配共有幾種方法？

(1) 3

(2) 6

(3) 9

(4) 18

(5) 27

答：(5)

詳解

1° 每道菜一定要有肉、肉只有 3 種 \(\Rightarrow\) 每道菜恰一種肉，先放肉把三道菜區分開（放的動作本身沒有順序）

2° 剩下白菜、豆腐、香菇各自選要放進哪一道菜（不同給不同 \(\to\) 幾的幾次方）\(\Rightarrow\) \(3^3=27\)

5. 【對數】

題目

設正實數 \(b\) 滿足 \((\log100)(\log b)+\log100+\log b=7\)。試選出正確的選項。

(1) \(1\le b\le\sqrt{10}\)

(2) \(\sqrt{10}\le b\le10\)

(3) \(10\le b\le10\sqrt{10}\)

(4) \(10\sqrt{10}\le b\le100\)

(5) \(100\le b\le100\sqrt{10}\)

答：(4)

詳解

1° \(\log100=2\) 代入：\(2\log b+2+\log b=7\) \(\Rightarrow\) \(3\log b=5\) \(\Rightarrow\) \(\log b=\dfrac53\)

2° 選項的界線也寫成 10 的次方：\(10\sqrt{10}=10^{1.5}\)、\(100=10^2\)

3° \(1.5\le\dfrac53\le2\) \(\Rightarrow\) \(10\sqrt{10}\le b\le100\)

6. 【數據分析】

題目

某超商依據過去的銷售紀錄，冬天平均氣溫在 6℃到 24℃時，每日平均售出的咖啡數量與當天的平均氣溫之相關係數為 \(-0.99\)，部分紀錄如下表。

平均氣溫（℃）	11	13	15	17	19	21
平均售出量（杯）	512	437	361	279	203	135

某日平均氣溫為 8℃，依據上述資訊推測，試問該日賣出的咖啡數量應接近下列哪一個選項？

(1) 570 杯

(2) 625 杯

(3) 700 杯

(4) 755 杯

(5) 800 杯

答：(2)

詳解

1° \(r=-0.99\) 很接近 \(-1\) \(\Rightarrow\) 數據可看成一直線，不必求迴歸線

2° 相鄰差：\(75\)、\(76\)、\(82\)、\(76\)、\(68\) \(\Rightarrow\) 每 2°C 大約差 75 杯

3° \(8\)°C 比 \(11\)°C 少 3°C \(\Rightarrow\) 多賣約 \(75\times\dfrac32=112.5\) 杯

4° \(512+112.5=624.5\) \(\Rightarrow\) 約 625 杯

二、多選題

7. 【等差數列】

題目

設各項都是實數的等差數列 \(a_1,a_2,a_3,\cdots\) 之公差為正實數 \(\alpha\)。試選出正確的選項。

(1) 若 \(b_n=-a_n\)，則 \(b_1>b_2>b_3>\cdots\)

(2) 若 \(c_n=a_n^2\)，則 \(c_1<c_2<c_3<\cdots\)

(3) 若 \(d_n=a_n+a_{n+1}\)，則 \(d_1,d_2,d_3,\cdots\) 是公差為 \(\alpha\) 的等差數列

(4) 若 \(e_n=a_n+n\)，則 \(e_1,e_2,e_3,\cdots\) 是公差為 \(\alpha+1\) 的等差數列

(5) 若 \(f_n\) 為 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 的算術平均數，則 \(f_1,f_2,f_3,\cdots\) 是公差為 \(\alpha\) 的等差數列

答：(1)(4)

詳解

1° 全部換成首項與公差：\(a_n=a_1+(n-1)\alpha\)，從 \(n=1\) 代入，相鄰相減看差是否固定

(1) \(b_{n+1}-b_n=-\alpha<0\) \(\Rightarrow\) 遞減

(2) 反例：\(a_1=-7\)、\(a_2=-5\) \(\Rightarrow\) \(c_1=49>c_2=25\)

(3) \(d_{n+1}-d_n=(a_{n+1}+a_{n+2})-(a_n+a_{n+1})=2\alpha\)，公差 \(2\alpha\) 不是 \(\alpha\)

(4) \(e_{n+1}-e_n=(a_{n+1}-a_n)+1=\alpha+1\)

(5) \(f_n=\dfrac{a_1+a_n}2=a_1+\dfrac{(n-1)\alpha}2\) \(\Rightarrow\) 公差 \(\dfrac\alpha2\)

8. 【數與式】

題目

在數線上，甲從點 \(-8\) 開始做等速運動，同時乙也從點 \(10\) 開始做等速運動，乙移動的速率是甲的 \(a\) 倍，且 \(a>1\)。試選出正確的選項。

(1) 若甲朝負向移動而乙朝正向移動，則他們會相遇

(2) 若甲朝負向移動且乙朝負向移動，則他們不會相遇

(3) 若甲朝正向移動而乙朝負向移動，則乙先到達原點 \(0\)

(4) 若甲朝正向移動且乙朝正向移動，則他們之間的距離會越來越大

(5) 若甲朝正向移動而乙朝負向移動，且他們在點 \(-2\) 相遇，則 \(a=2\)

答：(4)(5)

詳解

1° 設甲速率 \(v\)、乙速率 \(av\)（\(a>1\)）；先判斷方向，再用「時間 = 距離 ÷ 速率」

(1) 甲往左、乙往右，從 \(-8\)、\(10\) 反向離開，距離越來越大，不會相遇

(2) 都往左：乙在甲右邊且較快 \(\Rightarrow\) 會追上甲，會相遇

(3) 甲到 0 要 \(\dfrac8v\)，乙到 0 要 \(\dfrac{10}{av}\)；\(a<\dfrac54\) 時 \(\dfrac{10}{a}>8\)，甲先到，不一定

(4) 都往右：乙在甲右邊且較快 \(\Rightarrow\) 距離越來越大

(5) 甲走 \(6\)、乙走 \(12\)：\(\dfrac6v=\dfrac{12}{av}\) \(\Rightarrow\) \(a=2\)

9. 【機率】

題目

從 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 這七個數字中隨機任取兩數。試選出正確的選項。

(1) 其和大於 10 的機率為 \(\dfrac{1}{7}\)

(2) 其和小於 5 的機率為 \(\dfrac{1}{7}\)

(3) 其和為奇數的機率為 \(\dfrac{4}{7}\)

(4) 其差為偶數的機率為 \(\dfrac{5}{7}\)

(5) 其積為奇數的機率為 \(\dfrac{2}{7}\)

答：(3)(5)

詳解

1° 先決定分母：\(C^7_2=21\)；1～7 中奇數 4 個、偶數 3 個

(1) 和 \(>10\)：\((4,7)\)、\((5,6)\)、\((5,7)\)、\((6,7)\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac4{21}\)

(2) 和 \(<5\)：\((1,2)\)、\((1,3)\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac2{21}\)

(3) 和為奇 = 一奇一偶：\(\dfrac{C^4_1C^3_1}{21}=\dfrac{12}{21}=\dfrac47\)

(4) 差為偶 = 偶偶 + 奇奇：\(\dfrac{C^3_2+C^4_2}{21}=\dfrac9{21}=\dfrac37\)

(5) 積為奇 = 奇奇：\(\dfrac{C^4_2}{21}=\dfrac6{21}=\dfrac27\)

10. 【三角比】

題目

在 \(\Delta ABC\) 中，已知 \(50^\circ\le\angle A<\angle B\le60^\circ\)。試選出正確的選項。

(1) \(\sin A<\sin B\)

(2) \(\sin B<\sin C\)

(3) \(\cos A<\cos B\)

(4) \(\sin C<\cos C\)

(5) \(\overline{AB}<\overline{BC}\)

答：(1)(2)

詳解

1° \(50^\circ\le A<B\le60^\circ\) \(\Rightarrow\) \(100^\circ<A+B<120^\circ\) \(\Rightarrow\) \(60^\circ<C<80^\circ\) \(\Rightarrow\) \(A<B<C<90^\circ\)

2° 銳角範圍：sin 隨角度增、cos 隨角度減

(1) \(A<B\) \(\Rightarrow\) \(\sin A<\sin B\)

(2) \(B<C<90^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\sin B<\sin C\)

(3) \(A<B\) \(\Rightarrow\) \(\cos A>\cos B\)

(4) \(C>45^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\sin C>\cos C\)

(5) 大角對大邊：\(C>A\) \(\Rightarrow\) \(\overline{AB}>\overline{BC}\)

11. 【條件機率】

題目

某地區衛生機構成功訪問了 500 人，其中年齡為 50–59 歲及 60 歲（含）以上者分別有 220 名及 280 名。這 500 名受訪者中，120 名曾做過大腸癌篩檢，其中有 75 名是在一年之前做的，有 45 名是在一年之內做的。已知受訪者中，60 歲（含）以上者曾做過大腸癌篩檢比率是 50–59 歲者曾做過大腸癌篩檢比率的 3.5 倍。試選出正確的選項。

(1) 受訪者中年齡為 60 歲（含）以上者超過 60%

(2) 由受訪者中隨機抽取兩人，此兩人的年齡皆落在 50–59 歲間的機率大於 0.25

(3) 由曾做過大腸癌篩檢的受訪者中隨機抽取兩人，其中一人在一年之內受檢而另一人在一年之前受檢的機率為 \(2\cdot\left(\dfrac{45}{120}\right)\left(\dfrac{75}{119}\right)\)

(4) 這 500 名受訪者中，未曾做過大腸癌篩檢的比率低於 75%

(5) 受訪者中 60 歲（含）以上者，曾做過大腸癌篩檢的人數超過 90 名

答：(3)(5)

詳解

1° 設 50～59 歲做過篩檢 \(x\) 人、60 歲以上 \(y\) 人：\(x+y=120\)、\(\dfrac y{280}=3.5\cdot\dfrac x{220}\)

2° \(y=\dfrac{49}{11}x\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{60}{11}x=120\) \(\Rightarrow\) \(x=22\)、\(y=98\)

(1) \(\dfrac{280}{500}=56\%<60\%\)

(2) \(\dfrac{220}{500}\cdot\dfrac{219}{499}\)，兩個都 \(<\dfrac12\) \(\Rightarrow\) 乘積 \(<\dfrac14\)

(3) \(\dfrac{C^{45}_1C^{75}_1}{C^{120}_2}=\dfrac{45\times75\times2}{120\times119}=2\cdot\dfrac{45}{120}\cdot\dfrac{75}{119}\)

(4) \(\dfrac{500-120}{500}=76\%>75\%\)

(5) \(y=98>90\)

12. 【多項式】

題目

設 \(f_1(x),\ f_2(x)\) 為實係數三次多項式，\(g(x)\) 為實係數二次多項式。已知 \(f_1(x),\ f_2(x)\) 除以 \(g(x)\) 的餘式分別為 \(r_1(x),\ r_2(x)\)。試選出正確的選項。

(1) \(-f_1(x)\) 除以 \(g(x)\) 的餘式為 \(-r_1(x)\)

(2) \(f_1(x)+f_2(x)\) 除以 \(g(x)\) 的餘式為 \(r_1(x)+r_2(x)\)

(3) \(f_1(x)f_2(x)\) 除以 \(g(x)\) 的餘式為 \(r_1(x)r_2(x)\)

(4) \(f_1(x)\) 除以 \(-3g(x)\) 的餘式為 \(\dfrac{-1}{3}r_1(x)\)

(5) \(f_1(x)r_2(x)-f_2(x)r_1(x)\) 可被 \(g(x)\) 整除

答：(1)(2)(5)

詳解

1° 列式：\(f_1=gQ_1+r_1\)、\(f_2=gQ_2+r_2\)，\(\deg r_1,\deg r_2<2\)；把 \(gQ\) 當一整塊，看剩下的次數是否 \(<\deg g\)

(1) \(-f_1=g(-Q_1)+(-r_1)\)，\(\deg(-r_1)<2\)

(2) \(f_1+f_2=g(Q_1+Q_2)+(r_1+r_2)\)，\(\deg(r_1+r_2)<2\)

(3) \(f_1f_2=g(\cdots)+r_1r_2\)，\(r_1r_2\) 可能是 2 次，還能再除 \(\Rightarrow\) 不一定

(4) \(f_1=(-3g)\big(-\frac13Q_1\big)+r_1\) \(\Rightarrow\) 商 \(-\frac13Q_1\)，餘式仍是 \(r_1\)

(5) \(f_1r_2-f_2r_1=(gQ_1+r_1)r_2-(gQ_2+r_2)r_1=g(Q_1r_2-Q_2r_1)\)，餘式消掉 \(\Rightarrow\) 被 \(g\) 整除

13. 【空間平面】

題目

坐標空間中有一平面 \(P\) 過 \((0,0,0)\)，\((1,2,3)\) 及 \((-1,2,3)\) 三點。試選出正確的選項。

(1) 向量 \((0,3,2)\) 與平面 \(P\) 垂直

(2) 平面 \(P\) 與 \(xy\) 平面垂直

(3) 點 \((0,4,6)\) 在平面 \(P\) 上

(4) 平面 \(P\) 包含 \(x\) 軸

(5) 點 \((1,1,1)\) 到平面 \(P\) 的距離是 \(1\)

答：(3)(4)

詳解

1° 法向量 \(\vec n=(1,2,3)\times(-1,2,3)=(0,-6,4)\parallel(0,3,-2)\)

2° 過原點 \(\Rightarrow\) \(P\)：\(3y-2z=0\)

(1) \((0,3,2)\) 與 \((0,3,-2)\) 不平行

(2) \(xy\) 平面法向量 \((0,0,1)\)，\((0,3,-2)\cdot(0,0,1)=-2\ne0\)，不垂直

(3) \(3\times4-2\times6=0\)

(4) \((x,0,0)\) 代入恆成立 \(\Rightarrow\) 包含 \(x\) 軸

(5) \(\dfrac{|3-2|}{\sqrt{13}}=\dfrac1{\sqrt{13}}\ne1\)

三、選填題

A. 【矩陣】

題目

設 \(x,y\) 為實數，且滿足 \(\begin{bmatrix}3&-1&3\\2&4&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\-6\end{bmatrix}\)，則 \(x+3y=\) _____。

答：−4

詳解

1° 橫配直乘開：\(3x-y+3=6\)、\(2x+4y-1=-6\)

2° \(3x-y=3\)、\(2x+4y=-5\) \(\Rightarrow\) \(y=3x-3\) 代入 \(14x-12=-5\) \(\Rightarrow\) \(x=\dfrac12\)、\(y=-\dfrac32\)

3° \(x+3y=\dfrac12-\dfrac92=-4\)

B. 【二次曲線】

題目

如圖（此為示意圖），\(A,B,C,D\) 是橢圓 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{16}=1\) 的頂點。若四邊形 \(ABCD\) 的面積為 \(58\)，則 \(a=\dfrac{\_\_\_}{\_\_\_}\)。（化為最簡分數）

答：29/4

詳解

1° 四個頂點 \((\pm a,0)\)、\((0,\pm4)\) 連成菱形，切成 4 個直角三角形

2° 面積 \(=4\times\dfrac12\times a\times4=8a=58\) \(\Rightarrow\) \(a=\dfrac{29}4\)

C. 【圓】

題目

某高中已有一個長 90 公尺、寬 60 公尺的足球練習場。若想要在足球練習場的外圍鋪設內圈總長度為 400 公尺的跑道，跑道規格為左右兩側各是直徑相同的半圓，而中間是上下各一條的直線跑道，直線跑道與足球練習場的長邊平行（如示意圖）。則圖中一條直線跑道 \(\overline{AB}\) 長度的最大可能整數值為 _____ 公尺。

答：105

詳解

1° 設半圓半徑 \(r\)：周長 \(2\pi r+2\overline{AB}=400\) \(\Rightarrow\) \(\overline{AB}=200-\pi r\)

2° 由圖，跑道內圈要包住練習場：\(2r\ge60\) \(\Rightarrow\) \(r\ge30\)

3° \(\overline{AB}\le200-30\pi\approx200-94.26=105.74\) \(\Rightarrow\) 最大整數 105

D. 【集合】

題目

某次選舉中進行甲、乙、丙三項公投案，每項公投案一張選票，投票人可選擇領或不領。投票結束後清點某投票所的選票，發現甲案有 765 人領票、乙案有 537 人領票、丙案有 648 人領票，同時領甲、乙、丙三案公投票的有 224 人，並且每個人都至少領了兩張公投票。根據以上資訊，可知同時領甲、乙兩案但沒有領丙案公投票者共有 _____ 人。

答：215

詳解

1° 每個小區域設一個未知數；每人至少兩張 \(\Rightarrow\) 只屬單一集合的區域填 0

2° 甲：\(x+y+224=765\) \(\Rightarrow\) \(x+y=541\)

3° 乙：\(x+z+224=537\) \(\Rightarrow\) \(x+z=313\)

4° 丙：\(y+z+224=648\) \(\Rightarrow\) \(y+z=424\)

5° 三式相加除以 2：\(x+y+z=639\) \(\Rightarrow\) \(x=639-424=215\)

E. 【餘弦定理】

題目

如圖（此為示意圖），在 \(\Delta ABC\) 中，\(\overline{AD}\) 交 \(\overline{BC}\) 於 \(D\) 點，\(\overline{BE}\) 交 \(\overline{AD}\) 於 \(E\) 點，且 \(\angle ACB=30^\circ\)，\(\angle EDB=60^\circ\)，\(\angle AEB=120^\circ\)。若 \(\overline{CD}=15\)，\(\overline{ED}=7\)，則 \(\overline{AB}=\) _____。

答：13

詳解

1° 把角都標出來：\(\angle AEB=120^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\angle DEB=60^\circ\)，又 \(\angle EDB=60^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\triangle BDE\) 是正三角形 \(\Rightarrow\) \(\overline{BE}=7\)

2° \(\angle ADC=180^\circ-60^\circ=120^\circ\)、\(\angle C=30^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\angle CAD=30^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ACD\) 等腰 \(\Rightarrow\) \(\overline{AD}=\overline{CD}=15\) \(\Rightarrow\) \(\overline{AE}=15-7=8\)

3° \(\triangle ABE\) 餘弦定理（夾角 \(120^\circ\)）：\(\overline{AB}^2=8^2+7^2-2\cdot8\cdot7\cos120^\circ=64+49+56=169\)

4° \(\overline{AB}=13\)

F. 【空間概念】

題目

坐標空間中，考慮有一個頂點在平面 \(z=0\) 上、且有另一個頂點在平面 \(z=6\) 上的正立方體。則滿足前述條件的正立方體之邊長最小可能值為 \(\_\_\_\sqrt{\_\_\_}\)。（化成最簡根式）

答：2√3

詳解

1° 邊長 \(a\) 的正立方體，兩頂點距離只有 \(a\)、\(\sqrt2a\)、\(\sqrt3a\) 三種

2° 兩頂點分別在 \(z=0\)、\(z=6\) 上 \(\Rightarrow\) 兩點距離 \(\ge\) 兩平面距離 \(6\)

3° 拿越長的去撐，邊長就越小：讓對角線 \(\sqrt3a\) 垂直兩平面

4° \(\sqrt3a=6\) \(\Rightarrow\) \(a=\dfrac6{\sqrt3}=2\sqrt3\)

G. 【平面向量】

題目

如圖（此為示意圖），\(A,B,C,D\) 為平面上的四個點。已知 \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)，\(\overrightarrow{AC}\)、\(\overrightarrow{BD}\) 兩向量等長且互相垂直，則 \(\tan\angle BAD=\) _____。

答：−3

詳解

1° 換出發點：\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\) 代入 \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)

2° 提出 3：\(\overrightarrow{AC}=3\Big(\dfrac23\overrightarrow{AB}+\dfrac13\overrightarrow{AD}\Big)=3\overrightarrow{AP}\)，\(P\) 是 \(\overline{BD}\) 上的分點，\(\overline{BP}:\overline{PD}=1:2\)

3° \(\overline{AC}\perp\overline{BD}\) 且等長 \(\Rightarrow\) \(\overline{AP}\perp\overline{BD}\)、\(\overline{AP}=\dfrac13\overline{BD}\)；設 \(\overline{BD}=3\) \(\Rightarrow\) \(\overline{BP}=1\)、\(\overline{PD}=2\)、\(\overline{AP}=1\)

4° \(\tan\alpha=\tan\angle BAP=1\)、\(\tan\beta=\tan\angle PAD=2\)

5° 和角公式：\(\tan\angle BAD=\dfrac{1+2}{1-1\times2}=-3\)

108學測數學五標

頂標：14
前標：12
均標：9
後標：5
底標：4