巫老師幫同學整理了一份 107 學測數學詳解，最底下有附上 107 學測數學五標，這裡也提供大考中心頒布的 107學測數學試題。
107 學測數學詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| (4) | (3) | (5) | (2) | (3) | (5) | (4) |
| 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|
| (1)(4) | (2)(3)(5) | (2)(3) | (3)(5) | (1)(3)(4) |
| A | B | C | D | E | F | G | H |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 24 | 170 | \(\frac{25}{4}\) | \(\frac92\) | \(\frac35\) | \(\frac72\) | \(s=\frac13,\ t=\frac23\) | \(\sqrt{337}\) |
一、單選題
1. 【空間概念】
給定相異兩點 \(A\)、\(B\)，試問空間中能使 \(\triangle PAB\) 成一正三角形的所有點 \(P\) 所成集合為下列哪一選項？
(1) 兩個點
(2) 一線段
(3) 一直線
(4) 一圓
(5) 一平面
答：(4)
1° 正三角形 \(\Rightarrow\) \(\overline{PA}=\overline{PB}\) \(\Rightarrow\) \(P\) 在 \(\overline{AB}\) 的中垂面上（過中點 \(M\)、垂直 \(AB\)）
2° 又 \(\overline{PM}=\dfrac{\sqrt3}{2}\overline{AB}\) 為定長
3° 平面上只有兩點，空間中繞 \(AB\) 轉一圈 \(\Rightarrow\) 中垂面上以 \(M\) 為圓心、半徑 \(\frac{\sqrt3}{2}\overline{AB}\) 的圓
2. 【指數與機率】
一份試卷共有 10 題單選題，每題有 5 個選項，其中只有一個選項是正確答案。假設小明以隨機猜答的方式回答此試卷，且各題猜答方式互不影響。試估計小明全部答對的機率最接近下列哪一選項？
(1) \(10^{-5}\)
(2) \(10^{-6}\)
(3) \(10^{-7}\)
(4) \(10^{-8}\)
(5) \(10^{-9}\)
答：(3)
1° 每題猜對 \(\frac15\)，互不影響 \(\Rightarrow\) 全對 \(\left(\frac15\right)^{10}\)
2° \(\left(\frac15\right)^{10}=\left(\frac2{10}\right)^{10}=\dfrac{2^{10}}{10^{10}}=1024\times10^{-10}\approx10^{-7}\)
3. 【機率】
某公司規定員工可在一星期（七天）當中選擇兩天休假。若甲、乙兩人隨機選擇休假日且兩人的選擇互不相關，試問一星期當中發生兩人在同一天休假的機率為何？
(1) \(\dfrac{1}{3}\)
(2) \(\dfrac{8}{21}\)
(3) \(\dfrac{3}{7}\)
(4) \(\dfrac{10}{21}\)
(5) \(\dfrac{11}{21}\)
答：(5)
1° 先決定分母：兩人各自選 \(C^7_2\) \(\Rightarrow\) \(C^7_2\cdot C^7_2=21^2\)
2° 分兩種情況：兩天都一樣、恰一天一樣
3° 兩天都一樣：甲選哪兩天，乙就選同樣兩天 \(\Rightarrow\) \(C^7_2=21\)
4° 恰一天一樣：共同那天 \(C^7_1\)，再從其他 6 天選兩天 \(C^6_2\)，分給甲、乙 \(2!\) \(\Rightarrow\) \(7\times15\times2=210\)
5° \(\dfrac{21+210}{21^2}=\dfrac{231}{441}=\dfrac{11}{21}\)
4. 【指數與對數】
試問有多少個整數 \(x\) 滿足 \(10^9<2^x<9^{10}\)？
(1) 1 個
(2) 2 個
(3) 3 個
(4) 4 個
(5) 0 個
答：(2)
1° 次方有未知數 \(\to\) 三邊同取 \(\log\)：\(9<x\log2<10\log9\)
2° \(9<0.3010x<20\times0.4771=9.542\)
3° \(\dfrac{9}{0.301}<x<\dfrac{9.542}{0.301}\) \(\Rightarrow\) \(29.9\cdots<x<31.7\cdots\)
4° \(x=30、31\) \(\Rightarrow\) 2 個
5. 【和差角公式】
試問共有幾個角度 \(\theta\) 滿足 \(0^\circ<\theta<180^\circ\)，且 \(\cos(3\theta-60^\circ),\cos 3\theta,\cos(3\theta+60^\circ)\) 依序成一等差數列？
(1) 1 個
(2) 2 個
(3) 3 個
(4) 4 個
(5) 5 個
答：(3)
1° 等差中項：\(\cos(3\theta-60^\circ)+\cos(3\theta+60^\circ)=2\cos3\theta\)
2° 和差角展開，\(\sin\) 項相消：\(2\cos3\theta\cos60^\circ=2\cos3\theta\) \(\Rightarrow\) \(\cos3\theta=2\cos3\theta\) \(\Rightarrow\) \(\cos3\theta=0\)
3° \(0^\circ<\theta<180^\circ\) \(\Rightarrow\) \(0^\circ<3\theta<540^\circ\)
4° \(3\theta=90^\circ、270^\circ、450^\circ\) \(\Rightarrow\) 3 個
6. 【數與式】
某貨品為避免因成本變動而造成售價波動太過劇烈，當週售價相對於前一週售價的漲跌幅定為當週成本相對於前一週成本的漲跌幅的一半。例如下表中第二週成本上漲 100%，所以第二週售價上漲 50%。依此定價方式以及下表的資訊，試選出正確的選項。
【註：成本漲跌幅 \(=\dfrac{\text{當週成本}-\text{前週成本}}{\text{前週成本}}\)，售價漲跌幅 \(=\dfrac{\text{當週售價}-\text{前週售價}}{\text{前週售價}}\)。】
| 第一週 | 第二週 | 第三週 | 第四週 | |
|---|---|---|---|---|
| 成本 | \(50\) | \(100\) | \(50\) | \(90\) |
| 售價 | \(120\) | \(180\) | \(x\) | \(y\) |
(1) \(120=x<y<180\)
(2) \(120<x<y<180\)
(3) \(x<120<y<180\)
(4) \(120=x<180<y\)
(5) \(120<x<180<y\)
答：(5)
1° 第三週成本漲跌幅 \(=\dfrac{50-100}{100}=-50\%\) \(\Rightarrow\) 售價 \(-25\%\)
2° \(x=180\times(1-25\%)=135\)
3° 第四週以新售價為基準：成本漲跌幅 \(=\dfrac{90-50}{50}=80\%\) \(\Rightarrow\) 售價 \(+40\%\)
4° \(y=135\times(1+40\%)=189\)
5° \(120<x<180<y\)
7. 【平面向量】
\(\triangle ABC\) 內接於圓心為 \(O\) 之單位圓。若 \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\sqrt{3}\,\overrightarrow{OC}=\vec{0}\)，則 \(\angle BAC\) 之度數為何？
(1) \(30^\circ\)
(2) \(45^\circ\)
(3) \(60^\circ\)
(4) \(75^\circ\)
(5) \(90^\circ\)
答：(4)
1° 移項：\(\overrightarrow{OB}+\sqrt3\,\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}\)
2° 兩邊平方：\(|\overrightarrow{OB}|^2+2\sqrt3\,\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}+3|\overrightarrow{OC}|^2=|\overrightarrow{OA}|^2\)
3° 單位圓 \(\Rightarrow\) \(1+2\sqrt3\,\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}+3=1\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=-\dfrac{\sqrt3}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\angle BOC=150^\circ\)
4° 圓周角是圓心角的一半 \(\Rightarrow\) \(\angle BAC=75^\circ\)
二、多選題
8. 【邏輯判讀】
某年學科能力測驗小華的成績為：國文 11 級分、英文 12 級分、數學 9 級分、自然 9 級分、社會 12 級分。他考慮申請一些校系，表 1 為大考中心公布的學測各科成績標準；表 2 是他最有興趣的五個校系規定的申請檢定標準，依規定申請者需通過該校系所有檢定標準才會被列入篩選。例如甲校系規定國文成績須達均標、英文須達前標、且社會須達均標；丙校系則規定英文成績須達均標、且數學或自然至少有一科達前標。表 2 空白者表示該校系對該科成績未規定檢定標準。
表 1 學測各科成績標準
| 頂標 | 前標 | 均標 | 後標 | 底標 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 國文 | 13 | 12 | 10 | 9 | 7 |
| 英文 | 14 | 12 | 9 | 6 | 4 |
| 數學 | 12 | 10 | 7 | 4 | 3 |
| 自然 | 13 | 11 | 9 | 6 | 5 |
| 社會 | 13 | 12 | 10 | 8 | 7 |
根據以上資訊，試問小華可以考慮申請哪些校系（會被列入篩選）？
(1) 甲校系
(2) 乙校系
(3) 丙校系
(4) 丁校系
(5) 戊校系
答：(1)(4)
1° 小華：國 11、英 12、數 9、自 9、社 12，逐項對表 1 的標準
(1) 國 \(11\ge10\)、英 \(12\ge12\)、社 \(12\ge10\)，全過
(2) 國文前標 12，\(11<12\)，不過
(3) 數 \(9<10\)、自 \(9<11\)，兩科都沒達前標，不過
(4) 英 \(12\ge12\) 達前標、自 \(9\ge9\)、社 \(12\ge10\)，全過
(5) 自然前標 11，\(9<11\)，不過
9. 【多項式】
已知多項式 \(f(x)\) 除以 \(x^2-1\) 之餘式為 \(2x+1\)。試選出正確的選項。
(1) \(f(0)=1\)
(2) \(f(1)=3\)
(3) \(f(x)\) 可能為一次式
(4) \(f(x)\) 可能為 \(4x^4+2x^2-3\)
(5) \(f(x)\) 可能為 \(4x^4+2x^3-3\)
答：(2)(3)(5)
1° 看到除以…餘…，先列式：\(f(x)=(x^2-1)Q(x)+2x+1\)
(1) \(f(0)=-Q(0)+1\)，\(Q\) 那項消不掉 \(\Rightarrow\) 求不出
(2) \(f(1)=0+2+1=3\)
(3) 取特例 \(Q(x)=0\) \(\Rightarrow\) \(f(x)=2x+1\)，可能
(4) 長除：\(4x^4+2x^2-3=(x^2-1)(4x^2+6)+3\)，餘式 \(3\ne2x+1\)
(5) 長除（缺項補 0）：\(4x^4+2x^3-3=(x^2-1)(4x^2+2x+4)+2x+1\)，可能
10. 【平面向量】
已知坐標平面上 \(\triangle ABC\)，其中 \(\overrightarrow{AB}=(-4,3)\)，且 \(\overrightarrow{AC}=\left(\dfrac{2}{5},\dfrac{4}{5}\right)\)。試選出正確的選項。
(1) \(\overline{BC}=5\)
(2) \(\triangle ABC\) 是直角三角形
(3) \(\triangle ABC\) 的面積為 \(\dfrac{11}{5}\)
(4) \(\sin B>\sin C\)
(5) \(\cos A>\cos B\)
答：(2)(3)
1° 換出發點：\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\left(\frac{22}5,-\frac{11}5\right)\)
2° 三邊長：\(\overline{AB}=5\)、\(\overline{AC}=\dfrac{2}{\sqrt5}\)、\(\overline{BC}=\dfrac{11}{\sqrt5}\)
3° \(\overline{AC}^2+\overline{BC}^2=\dfrac45+\dfrac{121}5=25=\overline{AB}^2\) \(\Rightarrow\) \(\angle C=90^\circ\)
(1) \(\overline{BC}=\dfrac{11}{\sqrt5}=\dfrac{11\sqrt5}{5}\approx4.9\ne5\)
(2) 由 3°，直角在 \(C\)
(3) 面積 \(=\frac12\cdot\dfrac2{\sqrt5}\cdot\dfrac{11}{\sqrt5}=\dfrac{11}5\)
(4) \(\sin C=1\) 最大，\(\sin B<\sin C\)
(5) \(\cos A=\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\dfrac{2}{5\sqrt5}\)、\(\cos B=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\dfrac{11}{5\sqrt5}\) \(\Rightarrow\) \(\cos A<\cos B\)
11. 【空間中的平面與直線】
坐標空間中，設直線 \(L:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z}{-1}\)，平面 \(E_1:2x-3y-z=0\)，平面 \(E_2:x+y-z=0\)。試選出正確的選項。
(1) 點 \((3,0,-1)\) 在直線 \(L\) 上
(2) 點 \((1,2,3)\) 在平面 \(E_1\) 上
(3) 直線 \(L\) 與平面 \(E_1\) 垂直
(4) 直線 \(L\) 在平面 \(E_2\) 上
(5) 平面 \(E_1\) 與 \(E_2\) 交於一直線
答：(3)(5)
1° \(L\) 過 \((1,2,0)\)、方向向量 \(\vec\ell=(2,-3,-1)\)；\(\vec n_1=(2,-3,-1)\)、\(\vec n_2=(1,1,-1)\)
(1) \(\dfrac{3-1}{2}=1\)、\(\dfrac{0-2}{-3}=\dfrac23\)，比值不相等，不在 \(L\) 上
(2) \(2-6-3=-7\ne0\)，不在 \(E_1\) 上
(3) \(\vec\ell=\vec n_1\) \(\Rightarrow\) \(L\perp E_1\)
(4) \(\vec\ell\cdot\vec n_2=2-3+1=0\) \(\Rightarrow\) \(L\parallel E_2\)；但 \((1,2,0)\) 代入 \(1+2-0=3\ne0\) \(\Rightarrow\) 平行不在面上
(5) \(\vec n_1\)、\(\vec n_2\) 不平行 \(\Rightarrow\) 交於一直線
12. 【二次曲線】
試問下列哪些選項中的二次曲線，其焦點（之一）是拋物線 \(y^2=2x\) 的焦點？
(1) \(y=(x-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}\)
(2) \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\)
(3) \(x^2+\dfrac{4y^2}{3}=1\)
(4) \(8x^2-8y^2=1\)
(5) \(4x^2-4y^2=1\)
答：(1)(3)(4)
1° \(y^2=2x=4\cdot\frac12x\) \(\Rightarrow\) \(c=\frac12\)，焦點 \(\left(\frac12,0\right)\)
(1) \(\left(x-\frac12\right)^2=y+\frac14\)：開口向上，頂點 \(\left(\frac12,-\frac14\right)\)，\(4c=1\) \(\Rightarrow\) \(c=\frac14\) \(\Rightarrow\) 焦點 \(\left(\frac12,0\right)\)
(2) 橫躺橢圓 \(a^2=4\)、\(b^2=3\) \(\Rightarrow\) \(c^2=1\) \(\Rightarrow\) 焦點 \((\pm1,0)\)
(3) \(\dfrac{x^2}{1}+\dfrac{y^2}{3/4}=1\) \(\Rightarrow\) \(c^2=1-\frac34=\frac14\) \(\Rightarrow\) 焦點 \(\left(\pm\frac12,0\right)\)
(4) \(\dfrac{x^2}{1/8}-\dfrac{y^2}{1/8}=1\) \(\Rightarrow\) \(c^2=\frac18+\frac18=\frac14\) \(\Rightarrow\) 焦點 \(\left(\pm\frac12,0\right)\)
(5) \(\dfrac{x^2}{1/4}-\dfrac{y^2}{1/4}=1\) \(\Rightarrow\) \(c^2=\frac12\) \(\Rightarrow\) 焦點 \(\left(\pm\frac{\sqrt2}2,0\right)\)
三、選填題
A. 【對數】
已知坐標平面上三點 \((3,\log 3)\)、\((6,\log 6)\) 與 \((12,y)\) 在同一直線上，則 \(y=\log\) _____。
答：24
1° 三點共線 \(\Rightarrow\) 斜率相等：\(\dfrac{\log6-\log3}{6-3}=\dfrac{y-\log3}{12-3}\)
2° \(\dfrac{\log2}{3}=\dfrac{y-\log3}{9}\) \(\Rightarrow\) \(y=\log3+3\log2\)
3° 係數放回真數合併：\(y=\log3+\log8=\log24\)
B. 【三角比】
如右圖所示（只是示意圖），將梯子 \(\overline{AB}\) 靠在與地面垂直的牆 \(AC\) 上，測得與水平地面的夾角 \(\angle ABC\) 為 \(60^\circ\)。將在地面上的底 \(B\) 沿著地面向外拉 51 公分到點 \(F\)（即 \(\overline{FB}=51\) 公分），此時梯子 \(\overline{EF}\) 與地面的夾角 \(\angle EFC\) 之正弦值為 \(\sin\angle EFC=0.6\)，則梯子長 \(\overline{AB}=\) _____ 公分。
答：170
1° 梯長設 \(x\)：\(\overline{BC}=x\cos60^\circ=\dfrac x2\)、\(\overline{FC}=\dfrac x2+51\)
2° \(\sin\angle EFC=0.6\) \(\Rightarrow\) \(\cos\angle EFC=0.8=\dfrac45\)
3° \(\dfrac{x/2+51}{x}=\dfrac45\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac x2+51=\dfrac{4x}5\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{3x}{10}=51\) \(\Rightarrow\) \(x=170\)
C. 【圓】
平面上兩點 \(A\)、\(B\) 之距離為 5，以 \(A\) 為圓心作一半徑為 \(r\)（\(0<r<5\)）的圓 \(\Gamma\)，過 \(B\) 作圓 \(\Gamma\) 的切線，切點（之一）為 \(P\)。當 \(r\) 變動時，\(\triangle PAB\) 的面積最大可能值為 \(\dfrac{\_\_\_}{\_\_\_}\)。（化成最簡分數）
答：25/4
1° 切線 \(\perp\) 半徑 \(\Rightarrow\) \(\angle APB=90^\circ\)，\(\overline{PB}=\sqrt{25-r^2}\)
2° 面積 \(=\frac12r\sqrt{25-r^2}=\frac12\sqrt{r^2(25-r^2)}\)
3° 根號內兩項和 \(r^2+(25-r^2)=25\) 為定值，用算幾：\(\sqrt{r^2(25-r^2)}\le\dfrac{r^2+(25-r^2)}{2}=\dfrac{25}2\)
4° 面積 \(\le\frac12\cdot\frac{25}2=\dfrac{25}4\)，等號 \(r^2=\frac{25}2\)（\(r=\frac{5\sqrt2}2<5\) 可取到）
D. 【直線與圓】
坐標平面上，圓 \(\Gamma\) 完全落在四個不等式：\(x-y\le 4\)、\(x+y\le 18\)、\(x-y\ge -2\)、\(x+y\ge -24\) 所圍成的區域內。則 \(\Gamma\) 最大可能面積為 \(\dfrac{\_\_\_}{\_\_\_}\pi\)。（化成最簡分數）
答：9/2
1° 四條線是兩組平行線，圍成長方形（圖長怎樣一點都不重要）
2° \(x-y=4\) 與 \(x-y=-2\) 的距離：\(\dfrac{|4-(-2)|}{\sqrt2}=3\sqrt2\)
3° \(x+y=18\) 與 \(x+y=-24\) 的距離：\(\dfrac{|18-(-24)|}{\sqrt2}=21\sqrt2\)
4° 直徑最大取較小的 \(3\sqrt2\) \(\Rightarrow\) \(r=\dfrac{3\sqrt2}2\) \(\Rightarrow\) 面積 \(\pi r^2=\dfrac92\pi\)
E. 【餘弦定理】
坐標平面上，若拋物線 \(y=x^2+2x-3\) 的頂點為 \(C\)，與 \(x\) 軸的交點為 \(A\)、\(B\)，則 \(\cos\angle ACB=\dfrac{\_\_\_}{\_\_\_}\)。（化成最簡分數）
答：3/5
1° 配方：\(y=(x+1)^2-4\) \(\Rightarrow\) \(C(-1,-4)\)；因式分解 \((x+3)(x-1)\) \(\Rightarrow\) \(A(-3,0)\)、\(B(1,0)\)
2° \(\overline{AC}^2=4+16=20\)、\(\overline{BC}^2=4+16=20\)、\(\overline{AB}^2=16\)
3° \(\cos\angle ACB=\dfrac{\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-\overline{AB}^2}{2\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}}=\dfrac{20+20-16}{2\times20}=\dfrac35\)
F. 【矩陣】
設 \(a,b,c,d,e,x,y,z\) 皆為實數，考慮矩陣相乘：\(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-3&5&7\\-4&6&e\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&x&7\\0&y&7\\-11&z&23\end{bmatrix}\)，則 \(y=\dfrac{\_\_\_}{\_\_\_}\)。（化成最簡分數）
答：7/2
1° 先想 \(y\) 是誰生出來的：第 2 列 × 第 2 行 \(\Rightarrow\) \(y=5c+6d\)
2° 第 2 列 × 第 1 行：\(-3c-4d=0\)；第 2 列 × 第 3 行：\(7c+de=7\)，含 \(e\)
3° 第 3 列 × 第 3 行（只含 \(e\)）：\(7+2e=23\) \(\Rightarrow\) \(e=8\)
4° \(7c+8d=7\)、\(-3c-4d=0\) \(\Rightarrow\) \(c=7\)、\(d=-\dfrac{21}4\)
5° \(y=35-\dfrac{126}4=\dfrac72\)
G. 【平面向量】
設 \(D\) 為 \(\triangle ABC\) 中 \(\overline{BC}\) 邊上的一點，已知 \(\angle ABC=75^\circ\)、\(\angle ACB=45^\circ\)、\(\angle ADB=60^\circ\)。若 \(\overrightarrow{AD}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}\)，則 \(s=\dfrac{\_\_\_}{\_\_\_}\)，\(t=\dfrac{\_\_\_}{\_\_\_}\)。（化成最簡分數）
答：s = 1/3，t = 2/3
1° 能標的先標：\(\angle BAD=180^\circ-75^\circ-60^\circ=45^\circ\)、\(\angle ADC=120^\circ\)、\(\angle DAC=15^\circ\)
2° 設 \(\overline{AD}=x\)。\(\triangle ABD\)：\(\dfrac{\overline{BD}}{\sin45^\circ}=\dfrac{x}{\sin75^\circ}\)；\(\triangle ADC\)：\(\dfrac{\overline{DC}}{\sin15^\circ}=\dfrac{x}{\sin45^\circ}\)
3° 兩式相除：\(\dfrac{\overline{BD}}{\overline{DC}}=\dfrac{\sin^245^\circ}{\sin75^\circ\sin15^\circ}=\dfrac{\frac12}{\frac{\sqrt6+\sqrt2}4\cdot\frac{\sqrt6-\sqrt2}4}=\dfrac{\frac12}{\frac14}=2\)
4° \(\overline{BD}:\overline{DC}=2:1\)，分點公式比例交叉放：\(\overrightarrow{AD}=\dfrac13\overrightarrow{AB}+\dfrac23\overrightarrow{AC}\)
H. 【空間概念】
將一塊邊長 \(\overline{AB}=15\) 公分、\(\overline{BC}=20\) 公分的長方形鐵片 \(ABCD\) 沿對角線 \(\overline{BD}\) 對摺後豎立，使得平面 \(ABD\) 與平面 \(CBD\) 垂直，則 \(A\)、\(C\) 兩點（在空間）的距離 \(\overline{AC}=\sqrt{\_\_\_\_\_}\) 公分。（化成最簡根式）
答：√337
1° \(\overline{BD}=\sqrt{15^2+20^2}=25\)；作 \(\overline{AM}\perp\overline{BD}\)、\(\overline{CN}\perp\overline{BD}\)
2° 面積相等：\(\frac12\cdot15\cdot20=\frac12\cdot25\cdot\overline{AM}\) \(\Rightarrow\) \(\overline{AM}=12\)，\(\overline{BM}=\sqrt{15^2-12^2}=9\)
3° 對稱 \(\Rightarrow\) \(\overline{CN}=12\)、\(\overline{DN}=9\) \(\Rightarrow\) \(\overline{MN}=25-9-9=7\)
4° 兩面垂直 \(\Rightarrow\) \(\overline{AM}\perp\) 平面 \(CBD\) \(\Rightarrow\) \(\overline{AN}^2=\overline{AM}^2+\overline{MN}^2=144+49=193\)
5° \(\overline{CN}\perp\) 平面 \(ABD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ANC\) 是空間中的直角三角形：\(\overline{AC}^2=193+144=337\) \(\Rightarrow\) \(\overline{AC}=\sqrt{337}\)
107學測數學五標
- 頂標：12
- 前標：10
- 均標：6
- 後標：4
- 底標：3