106 學測數學試題詳解分析

106 學測數學詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。

1	2	3	4	5	6	7
(1)	(3)	(5)	(4)	(4)	(1)	(2)

8	9	10	11	12	13
(1)(3)	(5)	(2)(3)(4)	(1)(4)	(2)(5)	(3)(5)

A	B	C	D	E	F	G
25	\(\left(\frac{40}{21},\frac{25}{21}\right)\)	7	\(-5\)	47	\(\frac{9}{64}\)	14.4

一、單選題

1. 【數據分析】

答：(1)

1° 設老師 \(T\) 人、學生 \(S\) 人

2° 全校比率是加權平均：\(\dfrac{Tr_1+Sr_2}{T+S}\)

3° 分子分母同除 \(S\)：\(\dfrac{\frac TS r_1+r_2}{\frac TS+1}\) \(\Rightarrow\) 只要知道 \(T:S\) 就能求

2. 【指數】

答：(3)

1° 點三次：\(b\to b^2\to b^4\to b^8\) \(\Rightarrow\) \(b^8=81^3\)

2° \(81=3^4\) \(\Rightarrow\) \(b^8=3^{12}\)，兩邊同開 8 次 \(\Rightarrow\) \(b=3^{\frac{12}8}=3^{\frac32}\)

3° 假分數的次方拆成帶分數：\(3^{\frac32}=3\cdot3^{\frac12}=3\sqrt3\approx5.2\)

3. 【二次曲線】

答：(5)

1° 動點 \((t,t^2)\) 就在拋物線 \(y=x^2\)（\(x>0\)）上

2° \(\ell\)：\(y=\dfrac abx\)；\(\Gamma\) 是開口上下的雙曲線，上支在 \(\ell\) 的上方

3° 拋物線、漸近線、雙曲線畫在同一張圖：

4° \(x>0\) 且很接近 0 時 \(x^2<\dfrac abx\)，拋物線在 \(\ell\) 下方

5° 碰 \(\ell\)：\(t^2=\dfrac abt\) \(\Rightarrow\) \(t=\dfrac ab\)；之後拋物線越來越陡，再碰到在 \(\ell\) 上方的 \(\Gamma\) \(\Rightarrow\) 先碰 \(\ell\)，再碰 \(\Gamma\)

4. 【空間向量】

答：(4)

1° 設邊長 1，\(A(0,0,0)\)、\(B(1,0,0)\)、\(C(1,1,0)\)、\(D(1,1,1)\)

2° 同時出發、同時到達，用同一個 \(t\)：\(P(t,0,0)\)、\(Q(1,1,t)\)，\(0\le t\le1\)

3° \(\overline{PQ}^2=(1-t)^2+1+t^2=2t^2-2t+2=2\big(t-\frac12\big)^2+\frac32\)

4° 開口向上、頂點 \(t=\frac12\) \(\Rightarrow\) 先近後遠，\(\frac12\) 秒時最小

5. 【數據分析】

答：(4)

1° 溫差 \(=y-x\)；讀圖：最低溫越高的月份，溫差越小（冬天 \(17\)、\(13\)、\(14\)，夏天 \(7\)、\(8\)）

2° 新散布圖（溫差，最高溫）：

3° 溫差大 \(\Rightarrow\) 最高溫低 \(\Rightarrow\) 負相關

4° 原圖幾乎排成一直線（很強的正相關）；新圖點很分散 \(\Rightarrow\) 相關性較弱

6. 【弧度量】

答：(1)

1° \(\dfrac\pi2\le x\le\dfrac{3\pi}2\) 換成小數 \(\Rightarrow\) \(1.57\le x\le4.71\)

2° \(x^\circ\) 在 \(1.57^\circ\sim4.71^\circ\)，第一象限 \(\Rightarrow\) \(\cos x^\circ>0\)

3° 同一範圍的弳度 \(x\) 在第二、三象限 \(\Rightarrow\) \(\cos x\le0\)

4° \(\cos x^\circ>0\ge\cos x\)，不可能 \(\cos x^\circ\le\cos x\) \(\Rightarrow\) 0 個

7. 【排列組合】

答：(2)

1° 牛肉麵 \(A\)、大滷麵 \(B\)、咖哩飯 \(C\)、排骨飯 \(D\)；不能連吃麵 \(\Rightarrow\) 麵插飯的空隙

2° 分大類：3 麵 2 飯、2 麵 3 飯

3° 3 麵 2 飯：麵只能在第 1、3、5 天，飯在 2、4 天

4° 麵：選哪種吃兩次 \(C^2_1\)，排 \(\dfrac{3!}{2!}\) \(\Rightarrow\) 6；飯：\(C\)、\(D\) 各一次 \(2!\) \(\Rightarrow\) \(6\times2=12\)

5° 2 麵 3 飯：飯選哪種吃兩次 \(C^2_1\)，排 \(\dfrac{3!}{2!}\) \(\Rightarrow\) 6；麵插 4 個空隙 \(P^4_2=12\) \(\Rightarrow\) \(6\times12=72\)

6° 扣同種飯相鄰（先隨便排，等一下再把不行的扣掉）：飯的順序 \(CCD\)、\(DCC\)（或 \(DDC\)、\(CDD\)），兩個同種飯中間的空隙沒放麵 \(\Rightarrow\) 麵放其他 3 個空隙 \(P^3_2=6\)

7° 每種重複方式各 2 個順序 \(\Rightarrow\) 扣 \(2\times2\times6=24\) \(\Rightarrow\) \(72-24=48\)

8° \(12+48=60\)

二、多選題

8. 【多項式函數】

答：(1)(3)

1° 設 \(m>n\)：\(ax^m=bx^n\) \(\Rightarrow\) \(x^n(ax^{m-n}-b)=0\)

2° \(x^n=0\) 只貢獻 1 個相異根 \(x=0\) \(\Rightarrow\) \(ax^{m-n}=b\) 要給 2 個相異非零根

3° \(x^{m-n}=\dfrac ba\)：\(m-n\) 奇數只有 1 根，\(m-n=2\) 且 \(\dfrac ba>0\) 才有 2 根 \(\Rightarrow\) \(m-n=2\)、\(a,b\) 同號

(1) \(m=4\)、\(n=2\)，\(a,b\) 同號可能

(2)(4) \(a,b\) 異號 \(\Rightarrow\) \(x^2=\dfrac ba<0\) 無解，不可能

(3) \(m=3\)、\(n=1\)，\(a,b\) 同號可能

(5) 一奇一偶 \(\Rightarrow\) \(m-n\) 是奇數，不可能

9. 【圓】

答：(5)

1° 設圓心 \((x,y)\)、半徑 \(r\)：\((0,0)\) 在外、\((2,6)\) 在內 \(\Rightarrow\) \(\sqrt{x^2+y^2}>r>\sqrt{(x-2)^2+(y-6)^2}\)

2° 消 \(r\) 再平方：\(x^2+y^2>(x-2)^2+(y-6)^2\) \(\Rightarrow\) \(4x+12y>40\) \(\Rightarrow\) \(x+3y>10\)

(1) 反例：\((-1,5)\)，\(-1+15>10\)，圓心可能在第二象限

(2) \(x<0\)、\(y<0\) \(\Rightarrow\) \(x+3y<0\)，不可能

(3) 反例：圓心在很遠處 \((100,100)\)，\(r>\sqrt{98^2+94^2}>10\)

(4) \(y=0\) \(\Rightarrow\) \(x>10\)，不會小於 10

(5) \(y<0\) \(\Rightarrow\) \(x>10-3y>10\) \(\Rightarrow\) \(r^2>(x-2)^2+(6-y)^2>8^2+6^2=100\) \(\Rightarrow\) \(r>10\)

10. 【空間中的直線】

答：(2)(3)(4)

1° \(L_1\) 方向 \((2,2,1)\)；\(L_3\) 方向 \((-1,-1,4)\)

2° \(L_2\) 化參數式：令 \(z=m\) \(\Rightarrow\) \(x-2y=-4-2m\)、\(x+y=5+4m\) \(\Rightarrow\) \(L_2\)：\((2+2m,\,3+2m,\,m)\)，方向 \((2,2,1)\)

(1) \(L_1\parallel L_2\)，不垂直

(2) \((2,2,1)\cdot(-1,-1,4)=-2-2+4=0\)

(3) 方向平行，代一點：\(L_1\) 上的 \((1,-1,0)\) 代 \(L_2\) 第一式 \(1+2=3\ne-4\) \(\Rightarrow\) 平行不重合 \(\Rightarrow\) 有平面同時包含

(4) 聯立 \((1+2s,-1+2s,s)=(-t,-2-t,4+4t)\) \(\Rightarrow\) \(t=-1\)、\(s=0\)，交於 \((1,-1,0)\) \(\Rightarrow\) 共平面

(5) 聯立 \((2+2m,3+2m,m)=(-t,-2-t,4+4t)\)：前兩式相減 \(-1=2\) 無解，方向又不平行 \(\Rightarrow\) 歪斜，不共平面

11. 【正餘弦定理】

答：(1)(4)

1° 直角 \(\triangle ADE\)：\(\overline{AD}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2\)，\(\angle DAE=45^\circ\)

2° \(\angle DAB=105^\circ-45^\circ=60^\circ\)

3° \(\triangle ABD\) 兩邊夾一角，餘弦定理：\(\overline{BD}^2=8+(\sqrt6+\sqrt2)^2-2\cdot2\sqrt2(\sqrt6+\sqrt2)\cdot\frac12=8+(8+4\sqrt3)-(4\sqrt3+4)=12\) \(\Rightarrow\) \(\overline{BD}=2\sqrt3\)

4° 正弦定理：\(\dfrac{2\sqrt2}{\sin\angle ABD}=\dfrac{2\sqrt3}{\sin60^\circ}=4\) \(\Rightarrow\) \(\sin\angle ABD=\dfrac{\sqrt2}2\) \(\Rightarrow\) \(45^\circ\)（\(135^\circ+60^\circ>180^\circ\) 不合）

5° \(\triangle BCD\)：\(2^2+(2\sqrt3)^2=16=4^2\) \(\Rightarrow\) \(\angle CBD=90^\circ\) \(\Rightarrow\) 面積 \(\frac12\cdot2\cdot2\sqrt3=2\sqrt3\)

(1) 由 1° 成立

(2) \(\angle DAB=60^\circ\)

(3) \(\overline{BD}=2\sqrt3\)

(4) 由 4° 成立

(5) 面積 \(2\sqrt3\)

12. 【集合】

答：(2)(5)

1° 英文及格 \(\Rightarrow\) 國文及格：英文圈畫在國文圈裡；數英都及格 \(x\)，數及格英不及格 \(y=y_1+y_2\)

2° 數學 34 人 \(\Rightarrow\) \(x+y=34\)

3° 找範圍：先交集 \(x\le34\)；再聯集 \(39+34-x\le50\) \(\Rightarrow\) \(x\ge23\) \(\Rightarrow\) \(23\le x\le34\)

4° 三科都及格 = 英數都及格 \(=x\) \(\Rightarrow\) 至少一科不及格 \(=50-x\in[16,27]\)

(1) \(x+y=34\)

(2) \(y=34-x\le34-23=11\)

(3) 應為 \(50-x\)；\(39-x+y=73-2x\)，不一定相等

(4) 最少 \(50-34=16\) 人

(5) 最多 \(50-23=27\) 人

13. 【空間向量】

答：(3)(5)

1° \(\overrightarrow{AD}\perp\overrightarrow{AB}\)、\(\overrightarrow{AD}\perp\overrightarrow{AC}\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

2° 換出發點：\(\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+|\overrightarrow{DA}|^2\)

3° \(\angle BDC\) 的銳鈍看 \(\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}\) 的正負

(1) 應為 \(\overline{DA}^2+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\)，不成立

(2) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}=\overline{DA}^2>0\)，是銳角

(3) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}>0\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}>0\)，銳角

(4) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}<0\)，加上 \(\overline{DA}^2\) 正負不確定，不一定

(5) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\ge-\overline{AB}\cdot\overline{AC}>-\overline{DA}^2\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}>0\)，銳角

三、選填題

A. 【數列】

答：25

1° 依序寫：\(a_2=a_1+f(0)\)、\(a_3=a_2+f(1)\)、\(a_4=a_3+f(2)\) \(\Rightarrow\) \(f(0)=1\)、\(f(1)=3\)、\(f(2)=7\)

2° 設 \(f(x)=ax^2+bx+c\)：\(c=1\)

3° \(a+b+1=3\)、\(4a+2b+1=7\) \(\Rightarrow\) \(a=1\)、\(b=1\) \(\Rightarrow\) \(f(x)=x^2+x+1\)

4° \(a_5=a_4+f(3)=12+13=25\)

B. 【平面向量】

答：(40/21, 25/21)

1° \(A\)、\(P\)、\(M\) 共線 \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AP}=\dfrac k2\overrightarrow{AB}+\dfrac k5\overrightarrow{AC}\)

2° \(M\)、\(B\)、\(C\) 共線 \(\Rightarrow\) \(\dfrac k2+\dfrac k5=1\) \(\Rightarrow\) \(k=\dfrac{10}7\)

3° \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{10}7\Big(\dfrac43,\dfrac56\Big)=\Big(\dfrac{40}{21},\dfrac{25}{21}\Big)\)

C. 【多項式】

答：7

（牛頓一次因式檢驗法不在 108 課綱）

1° 牛頓一次因式檢驗法：可能的有理根 \(\pm\dfrac{(1\text{ 的因數})}{(5\text{ 的因數})}=\pm1\)、\(\pm\dfrac15\)

2° 係數全正 \(\Rightarrow\) 沒有正根，只剩 \(-1\)、\(-\frac15\)

3° \(x=-1\) 代入：\(-5+(a+4)-a+1=0\) 恆成立 \(\Rightarrow\) \(-1\) 一定是根

4° 三根乘積 \(=-\dfrac15\)，三根都從 \(-1\)、\(-\frac15\) 取 \(\Rightarrow\) 只能是 \(-1\)、\(-1\)、\(-\frac15\)

5° \(x=-\frac15\) 代入，同乘 25：\(-1+(a+4)-5a+25=0\) \(\Rightarrow\) \(28-4a=0\) \(\Rightarrow\) \(a=7\)

6° 驗證：\(5x^3+11x^2+7x+1=(x+1)^2(5x+1)\)

D. 【矩陣】

答：−5

1° 全部換成首項與公差：第二式係數 \(=\) 第一式係數 \(+3d(1,-1,2)\)，第三式 \(=\) 第一式 \(+6d(1,-1,2)\)

2° 兩兩相減消掉首項：

\(\quad\) 第二式 \(-\) 第一式：\(3d(x-y+2z)=-2k-6\)

\(\quad\) 第三式 \(-\) 第二式：\(3d(x-y+2z)=2k+14\)

3° 左邊完全一樣 \(\Rightarrow\) 不可能恰一解；題目說有解 \(\Rightarrow\) 右邊必須相等

4° \(-2k-6=2k+14\) \(\Rightarrow\) \(k=-5\)

5° （\(d=0\) 時三式左邊相同，要 \(k+1=-k-5=k+9\)，不可能）

E. 【對數】

答：47

1° 合併：\(1+2\log3-\log2=\log\dfrac{10\cdot9}2=\log45\)；\(4\log2+\log3=\log48\) \(\Rightarrow\) \(a=45\)、\(b=48\)

2° \(\log x\approx\frac13\log45+\frac23\log48\)：在 \(y=\log x\) 的圖上看成 \(1:2\) 的內分點

3° \(x\) 方向同比例：\(x\approx\dfrac{45\times1+48\times2}{3}=47\)

F. 【機率】

答：9/64

1° 先決定分母：\(4^4=256\)

2° 回到原點：右要配左、上要配下

3° 上下上下：\(\dfrac{4!}{2!2!}=6\)；左右左右：\(\dfrac{4!}{2!2!}=6\)；上下左右：\(4!=24\)

4° \(\dfrac{6+6+24}{256}=\dfrac{36}{256}=\dfrac9{64}\)

G. 【直線與圓】

答：14.4

1° 被擋 6 秒：開始被擋、再相見時的視線都和圓相切，兩條切線平行，距離就是直徑 \(x\)

2° 兩條視線的 \(x\) 截距差 \(p=4\times6=24\)、\(y\) 截距差 \(q=3\times6=18\)（兩個三角形相似，視線平行）

3° 把兩個相似直角三角形拼成股長 \(24\)、\(18\) 的直角三角形，斜邊 \(\sqrt{24^2+18^2}=30\)，所求是斜邊上的高

4° 面積算兩次：\(\frac12\cdot24\cdot18=\frac12\cdot30\cdot x\) \(\Rightarrow\) \(x=\dfrac{432}{30}=14.4\)