105 學測數學 詳解試題分析

105 學測數學詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。

1	2	3	4	5	6
(3)	(5)	(2)	(1)	(2)	(4)

7	8	9	10	11	12	13
(2)(3)(5)	(1)(2)(4)	(3)(5)	(1)(4)(5)	(1)(2)(4)	(2)(5)	(4)(5)

A	B	C	D	E	F	G
42	\(\frac72\)	\(1+\sqrt5\)	\(a=1,\ b=4,\ c=1,\ d=-2\)	6	\(\frac{19}{36}\)	\(\frac43\)

一、單選題

1. 【二次函數】

答：(3)

1° 在 \(x=2\) 有最小值 1 \(\Rightarrow\) 直接設頂點式 \(f(x)=a(x-2)^2+1\)

2° \(f(3)=a+1=3\) \(\Rightarrow\) \(a=2\)

3° \(f(1)=2(1-2)^2+1=3\)

4° 另解：\(x=1\)、\(x=3\) 到對稱軸 \(x=2\) 距離相同 \(\Rightarrow\) 高度相同 \(\Rightarrow\) \(f(1)=f(3)=3\)

2. 【三角比】

答：(5)

1° 每個角化成「\(\pm\sin\)(銳角)」：與 \(x\) 軸夾幾度 → 看象限定正負

2° \(\sin73^\circ\)；\(\sin146^\circ=\sin34^\circ\)；\(\sin219^\circ=-\sin39^\circ\)；\(\sin292^\circ=-\sin68^\circ\)；\(\sin365^\circ=\sin5^\circ\)

3° 銳角越大 \(\sin\) 越大：\(-\sin68^\circ<-\sin39^\circ<\sin5^\circ<\sin34^\circ<\sin73^\circ\)

4° 中位數 \(=\sin5^\circ=\sin365^\circ\)

3. 【圓】

答：(2)

1° \((x+y)^2=1\) \(\Rightarrow\) \(x+y=1\) 或 \(x+y=-1\)，兩條平行線

2° \(\Gamma_1\)：圓心 \((-1,0)\)、\(r=1\)

3° 圓心到 \(x+y=1\)：\(\dfrac{|-1+0-1|}{\sqrt2}=\sqrt2>1\) \(\Rightarrow\) 0 個交點

4° 圓心到 \(x+y=-1\)：\(\dfrac{|-1+0+1|}{\sqrt2}=0<1\)（過圓心）\(\Rightarrow\) 2 個交點

5° 共 2 個

4. 【指數】

答：(1)

1° 設 \(A=2B\)，剩餘量 = 原量 \(\times\left(\frac12\right)^{\text{時間}/\text{半衰期}}\)

2° \(2B\left(\frac12\right)^{\frac{120}{7.5}}=B\left(\frac12\right)^{\frac{120}{T}}\)

3° 約掉 \(B\)，\(2=\left(\frac12\right)^{-1}\) \(\Rightarrow\) \(\left(\frac12\right)^{16-1}=\left(\frac12\right)^{\frac{120}{T}}\)

4° 指數相等：\(\dfrac{120}{T}=15\) \(\Rightarrow\) \(T=8\)

5. 【空間中的直線與平面】

答：(2)

1° 過 \(P\) 沿 \(\vec a\) 的參數式：\((1+t,\,1+2t,\,1+2t)\)

2° 代入 \(x-y+3z=28\)：\((1+t)-(1+2t)+3(1+2t)=28\) \(\Rightarrow\) \(5t+3=28\) \(\Rightarrow\) \(t=5\)，轉向點 \((6,11,11)\)

3° 從轉向點沿 \(\vec b\)：\((6-2s,\,11+2s,\,11-s)\)

4° 代 \(x=2\)：\(6-2s=2\) \(\Rightarrow\) \(s=2\)

5° \(|\vec a|=|\vec b|=3\) \(\Rightarrow\) 速率相同，\(t=5\) 對應 5 秒 \(\Rightarrow\) \(s\) 就是秒數 \(\Rightarrow\) 2 秒

6. 【數列與級數】

答：(4)

1° 偶數項和 = 全部 − 奇數項和 \(=80-120=-40\)

2° 兩列對齊：\(a_2+a_4+\cdots+a_{10}=r(a_1+a_3+\cdots+a_9)\) \(\Rightarrow\) \(r=\dfrac{-40}{120}=-\dfrac13\)

3° \(S_{10}=\dfrac{a_1\left(1-(-\frac13)^{10}\right)}{1-(-\frac13)}=80\)

4° \(\left(-\frac13\right)^{10}\) 很接近 0 可省略，選項區間寬 \(\Rightarrow\) \(a_1\cdot\dfrac34\approx80\) \(\Rightarrow\) \(a_1\approx\dfrac{320}{3}\approx106.7\)（實際略大一點點）

5° \(100\le a_1<110\)

二、多選題

7. 【絕對值】

答：(2)(3)(5)

1° 有沒有實數解 \(\Rightarrow\) 看成 \(y=|x|+|x-5|\)、\(y=|x|-|x-5|\) 與水平線 \(y=k\) 的交點

2° 分 \(x\ge5\)、\(0\le x<5\)、\(x<0\) 三段去絕對值：

\(|x|+|x-5|\)：\(2x-5\)、\(5\)、\(-2x+5\)，最低是 5

\(|x|-|x-5|\)：\(5\)、\(2x-5\)、\(-5\)，夾在 \(-5\) 和 \(5\) 之間

(1)(2) 看 \(y=|x|+|x-5|\) 與 \(y=1\)、\(6\)：\(1<5\) 無交點、\(6>5\) 有交點

(3)(4)(5) 看 \(y=|x|-|x-5|\) 與 \(y=1\)、\(6\)、\(-1\)：\(1\)、\(-1\) 在 \([-5,5]\) 內有交點，\(6>5\) 無交點

8. 【數與式（應用）】

答：(1)(2)(4)

(1) 一袋 3 顆 130 元 \(<\) 三袋 1 顆 \(3\times45=135\) 元

(2) 乙奇異果每顆單價：\(18\)、\(\frac{50}3\approx16.67\)、\(\frac{65}4=16.25\)、\(\frac{95}6\approx15.83\)，越來越低

(3) 甲奇異果每顆：\(20\)、\(17.5\)、\(16\)、\(16.67\)，5 顆裝最划算；\(80\times5+100=500\) 元可買 \(25+6=31\) 顆 \(>30\)

(4) 甲：奇異果 \(80+80+35=195\)、蘋果 \(130+45=175\)，共 370；乙：奇異果 \(95+95=190\)、蘋果 \(190\)，共 380 \(\Rightarrow\) \(370<380\)

(5) 反例：10 顆蘋果，甲 \(340+45+45=430\)、乙 \(420\) \(\Rightarrow\) 甲比較貴

9. 【空間中的直線與平面】

答：(3)(5)

1° 歪斜 = 不平行且不相交，兩個條件分開查；\(z\) 軸上的點寫成 \((0,0,k)\)，方向 \((0,0,1)\)

(1) \((0,0,0)\) 在 \(L_1\) 上 \(\Rightarrow\) 與 \(z\) 軸相交

(2) \((0,0,1)\) 滿足 \(y=0\)、\(x+z=1\) \(\Rightarrow\) 相交

(3) \((0,0,k)\) 代入 \(x+y=0\ne1\) \(\Rightarrow\) 不相交；方向 \((1,-1,0)\) 不平行 \((0,0,1)\) \(\Rightarrow\) 歪斜

(4) 平面 \(x=1\)、\(y=1\) 的交線是鉛直線 \(\Rightarrow\) 與 \(z\) 軸平行

(5) \((0,0,k)\) 代入 \(y=0\ne1\) \(\Rightarrow\) 不相交；交線方向 \((1,0,0)\) 不平行 \((0,0,1)\) \(\Rightarrow\) 歪斜

10. 【多項式】

答：(1)(4)(5)

（選項 (5) 用到的勘根定理不在 108 學測課綱）

(1) 係數全正 \(\Rightarrow\) \(x>0\) 時 \(f(x)>0\) \(\Rightarrow\) 沒有正根

(2)(3) 4 次（偶數次）多項式，有沒有實根、虛根都無法確定

(4) \(f(1)+f(-1)=(3+a+b+c)+(3-a+b-c)=6+2b\)，一定是偶數

(5) \(f(-1)=3-a+b-c<0\)（因 \(a+c>b+3\)）、\(f(0)=2>0\) \(\Rightarrow\) 勘根：\(f(-1)f(0)<0\) \(\Rightarrow\) \(-1\) 與 0 之間有一根

11. 【數據分析】

答：(1)(2)(4)

(1) \(40\log_{10}\dfrac{9+1}{10}+60=40\times0+60=60\)

(2) \(x>20\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{x+1}{10}>2.1>2\) \(\Rightarrow\) 新成績 \(>40\times0.301+60=72.04>70\)

(3) 反例：所有人成績相同，調整前後全距都是 0，沒有變大

(4) 公式是遞增函數 \(\Rightarrow\) 排序不變，41 人的中位數（第 21 名）仍是中位數

(5) \(\log\) 不是線性變換 \(\Rightarrow\) 平均數不會對應

12. 【正餘弦定理】

答：(2)(5)

1° 已知 \(\overline{AB}=5\)、\(\overline{BC}=4\) 與 \(\angle A\)（\(\overline{BC}\) 的對角）：作高 \(5\sin20^\circ<5\times\frac12=2.5<4<5\) \(\Rightarrow\) 兩個三角形

2° 對邊對角 \(\overline{BC}\)、\(\angle A\) 固定 \(\Rightarrow\) \(\sin C=\dfrac{5\sin20^\circ}{4}\) 與 \(2R=\dfrac{4}{\sin20^\circ}\) 都唯一

(1) \(\angle C\) 有銳、鈍兩種 \(\Rightarrow\) \(\angle B=160^\circ-\angle C\) 兩種，\(\cos B\) 不唯一

(2) \(\sin C=\dfrac{5\sin20^\circ}{4}\) 唯一

(3)(4) \(\overline{AC}\) 有兩種 \(\Rightarrow\) 面積、內切圓半徑都不唯一

(5) \(R=\dfrac{4}{2\sin20^\circ}\) 唯一

13. 【機率】

答：(4)(5)

1° 畫兩排配對：女生 \(A,B,C,D\) 依序抽，\(B\)—甲畫 ✗；「問到 \(C\)，就要把前面的都討論好」，分「\(A\) 有沒有抽到甲」兩類

2° \(A\)：4 把都等機率 \(\Rightarrow\) 甲、乙、丙、丁各 \(\frac14\)

3° \(B\)：不拿甲。\(A\) 抽甲 \(\Rightarrow\) \(B\) 在乙丙丁選；\(A\) 抽乙 \(\Rightarrow\) \(B\) 在丙丁選（丙、丁同理）

\(B\) 抽乙 \(=\frac14\cdot\frac13+0+\frac14\cdot\frac12+\frac14\cdot\frac12=\frac13\)，丙、丁同理各 \(\frac13\)

4° \(C\) 抽甲：\(A\) 抽甲 \(\Rightarrow\) 0；\(A\) 沒抽甲（\(\frac34\)）\(\Rightarrow\) \(B\) 一定沒抽甲，剩 2 把含甲 \(\Rightarrow\) \(\frac34\times\frac12=\frac38\)；\(D\) 抽甲同理 \(\frac38\)

5° \(C\) 抽乙：\(A\) 抽甲、\(B\) 不抽乙、\(C\) 抽乙 \(=\frac14\times\frac23\times\frac12=\frac1{12}\)

\(A\) 抽丙或丁、\(B\) 不抽乙、\(C\) 抽乙 \(=\frac24\times\frac12\times\frac12=\frac18\)（\(A\) 抽乙 \(\Rightarrow\) 0）

合計 \(\frac1{12}+\frac18=\frac5{24}\)，\(C\) 抽丙同理

(1) \(\frac14<\frac38\)

(2) \(\frac38=\frac38\)

(3) \(\frac14<\frac13\)

(4) \(\frac13>\frac5{24}\)

(5) \(\frac38>\frac5{24}\)

三、選填題

A. 【矩陣】

答：42

1° 每列 3 個元素各 0 或 1，不能全為零 \(\Rightarrow\) \(2^3-1=7\) 種

2° 第二列與第一列不同 \(\Rightarrow\) 剩 6 種

3° \(7\times6=42\)

B. 【平面向量】

答：7/2

1° \(\vec u\)、\(\vec v\) 張成的平行四邊形面積 \(=\left|\det\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\right|=|4-6|=2\)

2° 面積 \(=(x\text{ 範圍長})(y\text{ 範圍長})\times2=\left(1-\frac12\right)\left(\frac12-(-3)\right)\times2=\dfrac72\)

C. 【二次曲線】

答：1 + √5

（非 108 課綱學測範圍）

1° 定義：橢圓上一點到兩焦點的距離和 \(=2a\)

2° 正方形邊長 2 \(\Rightarrow\) 兩焦點距離 2，頂點 \(P\) 到近焦點 \(F_1\) 距離 1

3° 到遠焦點 \(\overline{PF_2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5\)

4° 長軸長 \(2a=1+\sqrt5\)

D. 【三元一次聯立方程式】

答：a = 1，b = 4，c = 1，d = −2

1° 增廣矩陣高斯消去：

\(\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\2&1&3&6\\1&-1&0&6\\1&-2&-1&8\end{array}\right]\to\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\0&-3&-3&6\\0&-3&-3&6\\0&-4&-4&8\end{array}\right]\to\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\0&1&1&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]\to\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&1&4\\0&1&1&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]\)

2° 比較元素：\(a=1\)、\(b=4\)、\(c=1\)、\(d=-2\)

E. 【直線】

答：6

1° 第一象限 \(x+2y\le14\) 的大三角形：頂點 \((0,0)\)、\((14,0)\)、\((0,7)\)，面積 \(\frac12\times14\times7=49\)

2° 所求 = 大三角形 − 小三角形（\(x-3y>a\) 的部分）

3° 小三角形的高 = 兩線交點的 \(y\) 坐標：兩式相減消 \(x\) \(\Rightarrow\) \(5y=14-a\) \(\Rightarrow\) \(y=\dfrac{14-a}5\)

4° 小三角形底 \(14-a\) \(\Rightarrow\) 面積 \(\dfrac12(14-a)\cdot\dfrac{14-a}5=49-\dfrac{213}5=\dfrac{32}5\)

5° \((14-a)^2=64\) \(\Rightarrow\) \(14-a=\pm8\) \(\Rightarrow\) \(a=6,\ 22\)（22 不合，此時 \(x-3y\le22\) 整個大三角形都滿足，面積 49）

F. 【條件機率】

答：19/36

1° 「在 \(b\) 為奇數的條件下」\(\Rightarrow\) 分母只算 \(b\) 為奇數：\(6\times3\times6=108\)

2° \(\begin{vmatrix}a&b\\b&c\end{vmatrix}>0\) \(\Leftrightarrow\) \(ac>b^2\)

3° 依 \(b\) 分類數 \((a,c)\)：

\(b=1\)：\(ac>1\)，全 − 反面 \(36-1=35\)

\(b=3\)：\(ac>9\)，\(a=2\)：\(c=5,6\)（2 個）；\(a=3\)：\(c=4,5,6\)（3）；\(a=4\)：\(c=3\sim6\)（4）；\(a=5\)：\(c=2\sim6\)（5）；\(a=6\)：\(c=2\sim6\)（5）\(\Rightarrow\) 19

\(b=5\)：\(ac>25\)，\((5,6)\)、\((6,5)\)、\((6,6)\) \(\Rightarrow\) 3

4° 所求 \(=\dfrac{35+19+3}{108}=\dfrac{57}{108}=\dfrac{19}{36}\)

G. 【空間中的平面】

答：4/3

1° 只算係數，當作正立方體、邊長 6，以 \(E\) 為原點：\(E(0,0,0)\)、\(F(6,0,0)\)、\(H(0,6,0)\)、\(A(0,0,6)\) \(\Rightarrow\) \(B(6,0,6)\)、\(D(0,6,6)\)、\(G(6,6,0)\)

2° \(\overrightarrow{BG}=(0,6,-6)\)、\(\overrightarrow{BD}=(-6,6,0)\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{BG}\times\overrightarrow{BD}=(36,36,36)\parallel(1,1,1)\)

3° 平面 \(BDG\)：\(x+y+z=d\)，代 \(B\) \(\Rightarrow\) \(x+y+z=12\)

4° \(\overrightarrow{AB}=(6,0,0)\)、\(\overrightarrow{AD}=(0,6,0)\)、\(\overrightarrow{AE}=(0,0,-6)\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AP}=(2,12,-6a)\)

5° \(P=A+\overrightarrow{AP}=(2,12,6-6a)\)，代入平面：\(20-6a=12\) \(\Rightarrow\) \(a=\dfrac43\)