104 學測數學 詳解試題分析

104 學測數學詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。

1	2	3	4	5
(3)	(4)	(2)	(1)	(2)(4)(5)
6	7	8	9	10
(1)(4)(5)	(1)(2)(4)	(1)(2)(4)(5)	(2)(4)	(2)(3)(4)

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
62	\(\frac12\)	70	\(a=6,\ b=2,\ c=2,\ d=6\)	\((9,1)\)	8181	44	\(\frac{16\sqrt5}{3}\)	\(\frac{25}{29}\)	6.1

一、單選題

1. 【數列】

答：(3)

1° 選項是遞迴式或一般式 \(\Rightarrow\) 從 \(t=1\) 代入，和 \(1,2,6,15,31\) 逐項比對

2° (1) \(a_2=3-1=2\)、\(a_3=3\times2-1=5\ne6\)，不成立

3° (2) \(a_3=3!=6\)、\(a_2=2!=2\)，但 \(a_4=4!=24\ne15\)，不成立

4° (3) \(a_2=1+1^2=2\)、\(a_3=2+2^2=6\)、\(a_4=6+3^2=15\)、\(a_5=15+4^2=31\)，成立

5° (4) \(a_2=2^2-1=3\ne2\)，不成立；(5) \(a_3=2\times2+1=5\ne6\)，不成立

2. 【數列與級數、對數】

答：(4)

1° 問的是 30 天的總和，不是第 30 天：\(S=1+2+2^2+\cdots+2^{29}=\dfrac{1\cdot(2^{30}-1)}{2-1}=2^{30}-1\)

2° \(-1\) 很小可忽略：\(\log2^{30}=30\times0.3010=9.03\) \(\Rightarrow\) \(2^{30}=10^{9.03}\approx1.07\times10^9\)

3° 最接近 \(1{,}000{,}000{,}000\) 元

3. 【機率】

答：(2)

1° 無法運作 \(=A\)、\(B\) 都故障

2° (一) \(B\) 串接在 \(A\) 後：\(A\) 壞 \(\Rightarrow\) \(B\) 一定壞 \(\Rightarrow\) \(p_1=0.1\times1=0.1\)

3° (二) \(A\) 串接在 \(B\) 後：\(B\) 壞 \(\Rightarrow\) \(A\) 一定壞 \(\Rightarrow\) \(p_2=0.15\times1=0.15\)

4° (三) 並列互不影響：\(p_3=0.1\times0.15=0.015\)

5° \(p_2>p_1>p_3\)

4. 【線性規劃】

答：(1)

（線性規劃不在學測範圍，屬數乙）

1° \(ax+by+3\) 的最大值只在 \(B\) \(\Rightarrow\) 方向 \((a,b)\) 夾在 \(\overline{AB}\)、\(\overline{BC}\) 的外法向量之間（正八邊形每個頂點管 \(45^\circ\)）

2° 新目標 \(3-bx-ay\) 最大 \(\Leftrightarrow\) \(-bx-ay\) 最大，方向 \((-b,-a)\) 是 \((a,b)\) 對直線 \(y=-x\) 鏡射

3° 正八邊形對「過中心、平行 \(y=-x\)」的直線對稱，鏡射把 \(B\) 換到 \(A\) \(\Rightarrow\) 最大值發生在 \(A\)

4° 驗證：取 \((a,b)=(2,-1)\)（夾在 \((1,-1)\)、\((1,0)\) 之間）\(\Rightarrow\) \((-b,-a)=(1,-2)\)，夾在 \((0,-1)\)、\((1,-1)\) 之間 \(\Rightarrow\) 最大在 \(A\)

二、多選題

5. 【數據分析】

答：(2)(4)(5)

(1) 188 是第十公里的「平均」心率，最高心率 \(\ge188\)，無法確定是 188

(2) 總步數 \(=10260\) \(\Rightarrow\) 每步 \(\dfrac{10000}{10260}<1\) 公尺

(3) 時間越短心率越高：\(\sum(x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)=-624<0\) \(\Rightarrow\) 負相關

(4) 步數越多心率越高：\(\sum(x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)=2566>0\) \(\Rightarrow\) 正相關

(5) 時間越短步數越多：\(\sum(x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)=-2360<0\) \(\Rightarrow\) 負相關

6. 【多項式】

答：(1)(4)(5)

(1) 因式定理：\(f(2)=0\) \(\Leftrightarrow\) \((x-2)\mid f(x)\)

(2) 反例：\(f(x)=(x-2)(x-\sqrt2)\)

(3) 無理根成對要有理係數；反例：\(f(x)=(x-\sqrt2)(x-1)\)，\(f(-\sqrt2)\ne0\)

(4) 實係數 \(\Rightarrow\) 虛根成對，\(2i\) 是根 \(\Rightarrow\) \(-2i\) 也是根

(5) 由 (4) \(f(x)=(x-2i)(x+2i)=x^2+4\)，整係數

7. 【指數函數】

答：(1)(2)(4)

1° \(A(-1,\frac12)\)、\(B(0,1)\)、\(C(1,2)\)、\(D(2,4)\)

(1) \(\overline{AC}\) 中點 \(x=0\)，\(y=\dfrac{\frac12+2}{2}=\dfrac54>1\) \(\Rightarrow\) \(B\) 在下方

(2) \(m_{AB}=\frac12\)、\(m_{BC}=1\)、\(m_{CD}=2\)，越往右割線斜率越大

(3) \(y\) 坐標最小的是 \(A\)（\(\frac12\)），不是 \(B\)

(4) \(x=1\)：\(2=2\)；\(x=2\)：\(4=4\) \(\Rightarrow\) 兩交點（凹向上曲線與直線最多交 2 點）

(5) 對稱 \(y\) 軸 \(\Rightarrow\) \(x\) 變號、高度相同；\(A\) 高 \(\frac12\)、\(C\) 高 2，不對稱

8. 【二次曲線】

答：(1)(2)(4)(5)

1° 漸近線 \(y=\pm x\) \(\Rightarrow\) 雙曲線 \(x^2-y^2=k\)（\(k\ne0\)）

(1) \(k>0\) 取 \(k=r^2\)、\(k<0\) 取 \(k=-r^2\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{x^2}{r^2}-\dfrac{y^2}{r^2}=\pm1\)

(2) \(a=b=|r|\) \(\Rightarrow\) 貫軸長 \(=\) 共軛軸長 \(=2|r|\)

(3) \(|a-b|=\dfrac{|a^2-b^2|}{a+b}=\dfrac{r^2}{a+b}\)；反例：\(x^2-y^2=10^8\) 上取 \(a=2\times10^4\) \(\Rightarrow\) \(b=\sqrt3\times10^4\)，\(|a-b|\approx2680>1\)

(4) 第一象限 \(b=\sqrt{a^2-k}\)，\(a\) 越大 \(b\) 越大 \(\Rightarrow\) \(b<b'\)

(5) \(x\to-x\)、\(y\to-y\) 代入 \(x^2-y^2=k\) 都不變

9. 【平面向量】

答：(2)(4)

1° \(\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DE}\) 且 \(\overline{AE}\) 為直徑 \(\Rightarrow\) 每段圓心角 \(180^\circ\div4=45^\circ\)

2° 由 \(A\) 往 \(E\) 逆時針轉：\(\overrightarrow{MD}\) 方向角 \(\theta+90^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{MC}\)：\(\theta+45^\circ\)、\(\overrightarrow{MB}\)：\(\theta\)、\(\overrightarrow{MA}\)：\(\theta-45^\circ\)

(1) \(\overrightarrow{MA}=8(\cos(\theta-45^\circ),\sin(\theta-45^\circ))\)，不成立

(2) \(\overrightarrow{MC}=8(\cos(\theta+45^\circ),\sin(\theta+45^\circ))\)，成立

(3) \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MA}=|\overrightarrow{MA}|^2=64\)，不成立

(4) \(\overrightarrow{MB}\)、\(\overrightarrow{MD}\) 夾 \(90^\circ\) \(\Rightarrow\) 內積 \(0\)，成立

(5) \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MB}=8(\cos(\theta+90^\circ)-\cos\theta,\ \sin(\theta+90^\circ)-\sin\theta)\)，是減不是加，不成立

10. 【集合】

答：(2)(3)(4)

1° \(A+B=35\)、\(A+C=24\)、\(A+B+C+D=45\)

2° 找範圍：先交集 \(A\le24\)；再聯集 \(35+24-A\le45\) \(\Rightarrow\) \(A\ge14\) \(\Rightarrow\) \(14\le A\le24\)

3° 其他都用 \(A\) 表示：\(B=35-A\in[11,21]\)、\(C=24-A\in[0,10]\)、\(D=45-(59-A)=A-14\in[0,10]\)

(1) \(A=14\) 時 \(B=21>A\)，不成立

(2) \(A\ge14>10\ge C\)，成立

(3) \(B\ge11>10\ge C\)，成立

(4) \(B\ge11>10\ge D\)，成立

(5) \(C>D\) \(\Leftrightarrow\) \(24-A>A-14\) \(\Leftrightarrow\) \(A<19\)，不一定（\(A=20\) 時 \(C=4<D=6\)）

三、選填題

A. 【三角比】

答：62

1° 設 \(Q\) 為山腳，設水平距離 \(\overline{BQ}=x\)（設高會變成除以 \(\tan\)），高 \(h=x\tan15^\circ\)

2° 鄰邊乘 \(\tan\) 變對邊：\(h=(x+37)\tan13^\circ\)

3° \(0.268x=0.231x+37\times0.231\) \(\Rightarrow\) \(0.037x=37\times0.231\) \(\Rightarrow\) \(x=231\)

4° \(h=231\times0.268=61.908\approx62\) 公丈

B. 【條件機率】

答：1/2

1° 「在…條件下」\(\Rightarrow P(\text{戊紅}\mid\text{甲乙異色})=\dfrac{P(\text{甲乙異色}\cap\text{戊紅})}{P(\text{甲乙異色})}\)

2° 分母：甲紅乙白 + 甲白乙紅 \(=\frac36\times\frac35+\frac36\times\frac35=2\times\frac{9}{30}\)

3° 分子：甲紅乙白後剩 2 白 2 紅，中間的丙丁也要討論（戊要紅）：

丙丁	紅紅	紅白	白紅	白白
丙 × 丁 × 戊紅	紅球不夠，剔除	\(\frac24\times\frac23\times\frac12\)	\(\frac24\times\frac23\times\frac12\)	\(\frac24\times\frac13\times\frac22\)

4° 合計 \(\frac16+\frac16+\frac16=\frac12\)；甲白乙紅對稱 \(\Rightarrow\) 分子 \(=2\times\frac{9}{30}\times\frac12\)

5° 所求 \(=\dfrac{2\times\frac9{30}\times\frac12}{2\times\frac9{30}}=\dfrac12\)

C. 【排列組合】

答：70

1° 設四種各 \(x_1,x_2,x_3,x_4\) 盆：\(x_1+x_2+x_3+x_4\le8\)，\(x_i\ge1\)

2° 補一個空位數 \(s\ge0\)：\(x_1+x_2+x_3+x_4+s=8\)

3° 每種先各給 1 盆：\(y_1+y_2+y_3+y_4+s=4\)（皆 \(\ge0\)）

4° 插隔板：4 個球 + 4 個隔板排一列 \(\Rightarrow\) \(C^8_4=70\)

D. 【空間中的平面與直線】

答：a = 6，b = 2，c = 2，d = 6

1° 三角形頂點 = 兩平面交線再和 \(x-y+z=0\) 的交點

2° \(x=2\)、\(x-y=-2\) \(\Rightarrow\) \(y=4\)，\(z=y-x=2\) \(\Rightarrow\) \(P(2,4,2)\)

3° \(x=2\)、\(x+y=2\) \(\Rightarrow\) \(y=0\)，\(z=-2\) \(\Rightarrow\) \(Q(2,0,-2)\)

4° \(x-y=-2\)、\(x+y=2\) \(\Rightarrow\) \(x=0\)、\(y=2\)，\(z=2\) \(\Rightarrow\) \(R(0,2,2)\)

5° \(\overline{PQ}=|(0,4,4)|=4\sqrt2\)、\(\overline{PR}=|(2,2,0)|=2\sqrt2\)、\(\overline{QR}=|(2,-2,-4)|=\sqrt{24}=2\sqrt6\)

6° 周長 \(=6\sqrt2+2\sqrt6\) \(\Rightarrow\) \(a=6\)、\(b=2\)、\(c=2\)、\(d=6\)

E. 【平面向量】

答：(9, 1)

1° \(Q_1\) 在 \(L_1\) 上 \(\Rightarrow\) 設 \(Q_1(-2s,s)\)；\(Q_2\) 在 \(L_2\) 上 \(\Rightarrow\) 設 \(Q_2(5t,3t)\)

2° \(P=Q_1+\overrightarrow{Q_1P}=(-2s-7,\ s+9)\)；\(P=Q_2+\overrightarrow{Q_2P}=(5t-6,\ 3t-8)\)

3° \(x\)、\(y\) 分開列式：\(-2s-7=5t-6\)、\(s+9=3t-8\)

4° \(s=3t-17\) 代入 \(\Rightarrow\) \(-6t+34-5t=1\) \(\Rightarrow\) \(t=3\) \(\Rightarrow\) \(P(9,1)\)

F. 【指數】

答：8181

1° 複利 \(P(1+r)^n\)：\(300\text{ 萬}\times1.03^3=3000000\times1.092727=3278181\)

2° 單利 \(P(1+nr)\)：\(300\text{ 萬}\times(1+3\times0.03)=3270000\)

3° 少繳 \(3278181-3270000=8181\) 元

G. 【矩陣】

答：44

1° 轉移矩陣（上方「本來」A、B、C，右邊「後來」）：\(M=\begin{bmatrix}\frac46&\frac16&\frac16\\\frac16&\frac12&\frac16\\\frac16&\frac13&\frac46\end{bmatrix}\)

2° 第一次：\(M\begin{bmatrix}36\\36\\36\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}24+6+6\\6+18+6\\6+12+24\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}36\\30\\42\end{bmatrix}\)

3° 第二次只求 C（第 3 列 × 行）：\(\frac16\times36+\frac13\times30+\frac46\times42=6+10+28=44\)

H. 【空間概念】

答：16√5/3

1° 展開圖摺回：頂點 \(P\)，底面 \(ABCD\) 邊長 4；\(\overline{PA}=\overline{PD}=3\)、\(\overline{PB}=\overline{PC}=5\)

2° \(3^2+4^2=5^2\) \(\Rightarrow\) \(\overline{AB}\perp\overline{PA}\)，又 \(\overline{AB}\perp\overline{AD}\) \(\Rightarrow\) \(\overline{AB}\perp\) 平面 \(PAD\) \(\Rightarrow\) 平面 \(PAD\perp\) 底面

3° 高 = \(\triangle PAD\) 在 \(\overline{AD}\) 上的高：\(M\) 為 \(\overline{AD}\) 中點 \(\Rightarrow\) \(\overline{PM}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt5\)

4° 體積 \(=\dfrac13\times4^2\times\sqrt5=\dfrac{16\sqrt5}{3}\)

I. 【空間概念】

答：25/29

1° 坡度 \(\frac25\)：頂點 \(V\) 到底面中心 \(O\) 高標 2，\(O\) 到底邊中點 \(N\) 標 5 \(\Rightarrow\) 底面邊長 10

2° 斜高 \(\overline{VN}=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}\)，側稜 \(\overline{VC}=\sqrt{29+5^2}=\sqrt{54}=3\sqrt6\)

3° 兩面角：① 交線 \(\overline{VC}\) ② 作垂直：\(B\)、\(D\) 對 \(\overline{VC}\) 作垂線，由對稱交於同一點 \(K\)，所求 \(\theta=\angle BKD\)

4° 面積相等：\(\frac12\times10\times\sqrt{29}=\frac12\times3\sqrt6\times h\) \(\Rightarrow\) \(h=\overline{BK}=\overline{DK}=\dfrac{10\sqrt{29}}{3\sqrt6}\)，\(h^2=\dfrac{2900}{54}\)

5° \(\overline{BD}=10\sqrt2\) \(\Rightarrow\) \(\cos\theta=\dfrac{2h^2-200}{2h^2}=\dfrac{2\times2900-200\times54}{2\times2900}=\dfrac{-5000}{5800}=-\dfrac{25}{29}\)

6° 絕對值 \(\dfrac{25}{29}\)

J. 【三角比】

答：6.1

1° 輪胎方向 \(\perp\overline{BC}\)，輪胎偏 \(28^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\angle ABC=90^\circ-28^\circ=62^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\angle C=28^\circ\)

2° 直角 \(\triangle ABC\)：\(\sin C=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{BC}}\) \(\Rightarrow\) \(\overline{BC}=\dfrac{2.85}{\sin28^\circ}=\dfrac{2.85}{0.4695}\approx6.07\)

3° 四捨五入 \(\Rightarrow\) \(6.1\) 公尺