巫老師幫同學整理了一份 103 學測數學詳解，附上大考中心頒布的 103 年學測數學試題
103 學測數學詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| (5) | (4) | (2) | (4) | (2) | (2) |
| 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| (1)(3)(5) | (1)(4) | (2)(3)(4) | (3)(4) | (2)(3)(5) | (1)(4) |
| A | B | C | D | E | F | G | H |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\frac{120}{13}\) | \(a=6,\ b=-9\) | \(4\sqrt3\) | \(\frac54\) | \(\frac{-\sqrt3}{2}\) | 11 | \(\frac{13}{8}\) | \(\frac{\sqrt6}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\) |
一、單選題
1. 【對數】
請問下列哪一個選項等於 \(\log\left(2^{(3^5)}\right)\)？
(1) \(5\log\left(2^3\right)\)
(2) \(3\times5\log2\)
(3) \(5\log2\times\log3\)
(4) \(5\left(\log2+\log3\right)\)
(5) \(3^5\log2\)
答：(5)
1° \(\log_a b^n = n\log_a b\)，指數 \(3^5\) 整個拿到前面
2° \(\log\big(2^{(3^5)}\big)=3^5\log2\)
2. 【空間坐標】
令 \(A(5,0,12)\)、\(B(-5,0,12)\) 為坐標空間中之兩點，且令 \(P\) 為 \(xy\) 平面上滿足 \(\overline{PA}=\overline{PB}=13\) 的點。請問下列哪一個選項中的點可能為 \(P\)？
(1) \((5,0,0)\)
(2) \((5,5,0)\)
(3) \((0,12,0)\)
(4) \((0,0,0)\)
(5) \((0,0,24)\)
答：(4)
1° \(P\) 在 \(xy\) 平面上 \(\Rightarrow\) 設 \(P(x,y,0)\)
2° \(\overline{PA}^2=(x-5)^2+y^2+144=169\) \(\Rightarrow\) \((x-5)^2+y^2=25\)
3° \(\overline{PB}^2=(x+5)^2+y^2+144=169\) \(\Rightarrow\) \((x+5)^2+y^2=25\)
4° 兩式相減 \(\Rightarrow\) \(20x=0\) \(\Rightarrow\) \(x=0\)，代回 \(y^2=0\) \(\Rightarrow\) \(P(0,0,0)\)
3. 【圓】
在坐標平面上，以 \((1,1),(-1,1),(-1,-1)\) 及 \((1,-1)\) 等四個點為頂點的正方形，與圓 \(x^2+y^2+2x+2y+1=0\) 有幾個交點？
(1) 1 個
(2) 2 個
(3) 3 個
(4) 4 個
(5) 0 個
答：(2)
1° 配方：\((x+1)^2+(y+1)^2=1\) \(\Rightarrow\) 圓心 \((-1,-1)\)、\(r=1\)
2° 圓心就是正方形的頂點 \((-1,-1)\)，正方形邊長 \(2>1\)
3° 圓只和過 \((-1,-1)\) 的兩邊 \(y=-1\)、\(x=-1\) 相交：\((0,-1)\)、\((-1,0)\) \(\Rightarrow\) 2 個
4. 【絕對值】
請問滿足絕對值不等式 \(|4x-12|\le2x\) 的實數 \(x\) 所形成的區間，其長度為下列哪一個選項？
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
(5) 6
答：(4)
1° \(|4x-12|\le2x\) \(\Rightarrow\) \(-2x\le4x-12\le2x\)
2° 左：\(6x\ge12\) \(\Rightarrow\) \(x\ge2\)；右：\(2x\le12\) \(\Rightarrow\) \(x\le6\)
3° \(2\le x\le6\) \(\Rightarrow\) 長度 \(4\)
5. 【二項式定理】
設 \((1+\sqrt{2})^6=a+b\sqrt{2}\)，其中 \(a,b\) 為整數。請問 \(b\) 等於下列哪一個選項？
(1) \(C^6_0+2C^6_2+2^2C^6_4+2^3C^6_6\)
(2) \(C^6_1+2C^6_3+2^2C^6_5\)
(3) \(C^6_0+2C^6_1+2^2C^6_2+2^3C^6_3+2^4C^6_4+2^5C^6_5+2^6C^6_6\)
(4) \(2C^6_1+2^2C^6_3+2^3C^6_5\)
(5) \(C^6_0+2^2C^6_2+2^4C^6_4+2^6C^6_6\)
答：(2)
1° 展開：\((1+\sqrt2)^6=C^6_0+C^6_1\sqrt2+C^6_2(\sqrt2)^2+C^6_3(\sqrt2)^3+C^6_4(\sqrt2)^4+C^6_5(\sqrt2)^5+C^6_6(\sqrt2)^6\)，根號只出現在奇次項
2° 奇次項：\(C^6_1\sqrt2+C^6_3(\sqrt2)^3+C^6_5(\sqrt2)^5=\sqrt2\,(C^6_1+2C^6_3+2^2C^6_5)\)
3° \(b=C^6_1+2C^6_3+2^2C^6_5\)
6. 【條件機率】
某疾病可分為兩種類型：第一類占 70%，可藉由藥物 A 治療，其每一次療程的成功率為 70%，且每一次療程的成功與否互相獨立；其餘為第二類，藥物 A 治療方式完全無效。在不知道患者所患此疾病的類型，且用藥物 A 第一次療程失敗的情況下，進行第二次療程成功的條件機率最接近下列哪一個選項？
(1) 0.25
(2) 0.3
(3) 0.35
(4) 0.4
(5) 0.45
答：(2)
1° 畫樹狀圖：第一層類型（一類 \(0.7\)、二類 \(0.3\)），後面接第 1、2 次療程結果
2° 所求 \(=P(\text{2nd 成}\mid\text{1st 失})=\dfrac{P(\text{1st 失}\cap\text{2nd 成})}{P(\text{1st 失})}\)
3° 分母：\(0.7\times0.3+0.3\times1=0.51\)
4° 分子：只有第一類才可能成功 \(\Rightarrow\) \(0.7\times0.3\times0.7=0.147\)
5° \(\dfrac{0.147}{0.51}\approx0.29\) \(\Rightarrow\) 最接近 \(0.3\)
二、多選題
7. 【函數圖形】
設坐標平面上，\(x\) 坐標與 \(y\) 坐標皆為整數的點稱為格子點。請選出圖形上有格子點的選項。
(1) \(y=x^2\)
(2) \(3y=9x+1\)
(3) \(y^2=-x-2\)
(4) \(x^2+y^2=3\)
(5) \(y=\log_9x+\dfrac{1}{2}\)
答：(1)(3)(5)
(1) \((0,0)\) 在圖形上
(2) \(3y\) 是 3 的倍數，\(9x+1\) 除以 3 餘 1，不可能相等
(3) \(y=0\) \(\Rightarrow\) \(x=-2\)，\((-2,0)\) 在圖形上
(4) 整數平方只有 \(0,1,4,\dots\)，兩個相加湊不出 3
(5) \(x=3\) \(\Rightarrow\) \(y=\log_9 3+\frac12=\frac12+\frac12=1\)，\((3,1)\) 在圖形上
8. 【數與式】
關於下列不等式，請選出正確的選項。
(1) \(\sqrt{13}>3.5\)
(2) \(\sqrt{13}<3.6\)
(3) \(\sqrt{13}-\sqrt{3}>\sqrt{10}\)
(4) \(\sqrt{13}+\sqrt{3}>\sqrt{16}\)
(5) \(\dfrac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{3}}>0.6\)
答：(1)(4)
(1) \(3.5^2=12.25<13\) 成立
(2) \(3.6^2=12.96<13\) \(\Rightarrow\) \(\sqrt{13}>3.6\)，不成立
(3) \(\Leftrightarrow\sqrt{13}>\sqrt{10}+\sqrt3\) \(\Leftrightarrow 13>13+2\sqrt{30}\)，不成立
(4) \(\sqrt{13}+\sqrt3>3+1=4=\sqrt{16}\) 成立
(5) \(\dfrac1{\sqrt{13}-\sqrt3}=\dfrac{\sqrt{13}+\sqrt3}{10}\approx\dfrac{3.6+1.7}{10}=0.53<0.6\)，不成立
9. 【平面向量】
一物體由坐標平面中的點 \((-3,6)\) 出發，沿著向量 \(\overrightarrow{v}\) 所指的方向持續前進，可以進入第一象限。請選出正確的選項。
(1) \(\overrightarrow{v}=(1,-2)\)
(2) \(\overrightarrow{v}=(1,-1)\)
(3) \(\overrightarrow{v}=(0.001,0)\)
(4) \(\overrightarrow{v}=(0.001,1)\)
(5) \(\overrightarrow{v}=(-0.001,1)\)
答：(2)(3)(4)
1° 位置 \(=(-3,6)+t\vec v\)，\(t>0\)；進入第一象限 \(\Leftrightarrow\) 有 \(t\) 使 \(x>0\) 且 \(y>0\)
(1) \((-3+t,\,6-2t)\)：\(t>3\) 且 \(t<3\)，矛盾
(2) \((-3+t,\,6-t)\)：\(3<t<6\) 可以
(3) \((-3+0.001t,\,6)\)：\(t>3000\) 可以
(4) \((-3+0.001t,\,6+t)\)：\(t>3000\) 可以
(5) \(x=-3-0.001t<0\) 永遠成立，不行
10. 【多項式函數】
設 \(f(x)\) 為實係數二次多項式，且已知 \(f(1)>0\)、\(f(2)<0\)、\(f(3)>0\)。令 \(g(x)=f(x)+(x-2)(x-3)\)，請選出正確的選項。
(1) \(y=f(x)\) 的圖形是開口向下的拋物線
(2) \(y=g(x)\) 的圖形是開口向下的拋物線
(3) \(g(1)>f(1)\)
(4) \(g(x)=0\) 在 1 與 2 之間恰有一個實根
(5) 若 \(\alpha\) 為 \(f(x)=0\) 的最大實根，則 \(g(\alpha)>0\)
答：(3)(4)
（勘根定理不在 108 學測課綱）
1° \(f(1)>0\)、\(f(2)<0\)、\(f(3)>0\) \(\Rightarrow\) 兩根分別在 \((1,2)\)、\((2,3)\)，開口向上，首項 \(a>0\)
(1) 開口向上，不成立
(2) \(g\) 首項係數 \(a+1>0\)，開口向上，不成立
(3) \(g(1)=f(1)+(-1)(-2)=f(1)+2>f(1)\)
(4) \(g(1)=f(1)+2>0\)、\(g(2)=f(2)<0\)、\(g(3)=f(3)>0\) \(\Rightarrow\) \((1,2)\)、\((2,3)\) 各一根 \(\Rightarrow\) \((1,2)\) 恰一根
(5) \(2<\alpha<3\) \(\Rightarrow\) \(g(\alpha)=0+(\alpha-2)(\alpha-3)<0\)，不成立
11. 【數列】
設 \(a_1=1\) 且 \(a_1,a_2,a_3,\ldots\) 為等差數列。請選出正確的選項。
(1) 若 \(a_{100}>0\)，則 \(a_{1000}>0\)
(2) 若 \(a_{100}<0\)，則 \(a_{1000}<0\)
(3) 若 \(a_{1000}>0\)，則 \(a_{100}>0\)
(4) 若 \(a_{1000}<0\)，則 \(a_{100}<0\)
(5) \(a_{1000}-a_{10}=10(a_{100}-a_1)\)
答：(2)(3)(5)
1° 全部換成首項與公差：\(a_{100}=1+99d\)、\(a_{1000}=1+999d\)
(1)(4) 反例：\(d=-0.01\) \(\Rightarrow\) \(a_{100}=0.01>0\)、\(a_{1000}=-8.99<0\)
(2) \(a_{100}<0\) \(\Rightarrow\) \(d<0\) \(\Rightarrow\) \(a_{1000}=a_{100}+900d<0\)
(3) \(a_{1000}>0\) \(\Rightarrow\) \(d>-\frac1{999}\) \(\Rightarrow\) \(a_{100}=1+99d>1-\frac{99}{999}>0\)
(5) 左 \(=990d\)，右 \(=10\times99d=990d\)
12. 【數據分析】
所謂某個年齡範圍的失業率，是指該年齡範圍的失業人數與勞動力人數之比，以百分數表達（進行統計分析時，所有年齡以整數表示）。下表為去年某國四個年齡範圍的失業率，其中的年齡範圍有所重疊。
| 年齡範圍 | 35~44 歲 | 35~39 歲 | 40~44 歲 | 45~49 歲 |
|---|---|---|---|---|
| 失業率 | 12.66(%) | 9.80(%) | 13.17(%) | 7.08(%) |
請根據上表選出正確的選項。
(1) 在上述四個年齡範圍中，以 40~44 歲的失業率為最高
(2) 40~44 歲勞動力人數多於 45~49 歲勞動力人數
(3) 40~49 歲的失業率等於 \(\left(\dfrac{13.17+7.08}{2}\right)\%\)
(4) 35~39 歲勞動力人數少於 40~44 歲勞動力人數
(5) 如果 40~44 歲的失業率降低，則 45~49 歲的失業率會升高
答：(1)(4)
1° 設 35~39 歲、40~44 歲勞動力人數 \(L_1\)、\(L_2\)
2° 35~44 歲的失業率是加權平均：\(\dfrac{9.80L_1+13.17L_2}{L_1+L_2}=12.66\)
3° \(\Rightarrow\) \(2.86L_1=0.51L_2\) \(\Rightarrow\) \(L_1<L_2\)
(1) \(13.17\) 最大
(2)(5) 表中沒有 40~44 歲和 45~49 歲人數的關係，無法判斷
(3) 兩組人數相同才是算術平均，不一定
(4) 由 3° \(L_1<L_2\)
三、選填題
A. 【三角比】
設圓 \(O\) 之半徑為 24，\(\overline{OC}=26\)，\(\overline{OC}\) 交圓 \(O\) 於 \(A\) 點，\(\overline{CD}\) 切圓 \(O\) 於 \(D\) 點，\(B\) 為 \(A\) 點到 \(\overline{OD}\) 的垂足，如右邊的示意圖。則 \(\overline{AB}=\dfrac{\_\_\_}{\_\_\_}\)。(化為最簡分數)
答：120/13
1° \(\overline{CD}\) 是切線 \(\Rightarrow\) \(\overline{OD}\perp\overline{CD}\)，\(\overline{OD}=24\)
2° \(\triangle OCD\)：\(\cos\angle O=\dfrac{24}{26}=\dfrac{12}{13}\) \(\Rightarrow\) \(\sin\angle O=\dfrac5{13}\)
3° \(\triangle OAB\)：\(\overline{AB}=\overline{OA}\sin\angle O=24\times\dfrac5{13}=\dfrac{120}{13}\)
B. 【二次函數】
坐標平面上，若直線 \(y=ax+b\) (其中 \(a,b\) 為實數)與二次函數 \(y=x^2\) 的圖形恰交於一點，亦與二次函數 \(y=(x-2)^2+12\) 的圖形恰交於一點，則 \(a=\) _____，\(b=\) _____。
答：a = 6，b = −9
1° 交點 \(\to\) 實根，恰交一點 \(\Rightarrow\) \(D=0\)
2° \(x^2=ax+b\) \(\Rightarrow\) \(x^2-ax-b=0\) \(\Rightarrow\) \(a^2+4b=0\)
3° \(x^2-4x+16=ax+b\) \(\Rightarrow\) \(x^2-(a+4)x+(16-b)=0\) \(\Rightarrow\) \((a+4)^2-4(16-b)=0\)
4° 展開：\((a^2+4b)+8a-48=0\)，\(a^2+4b\) 整塊代 0 \(\Rightarrow\) \(a=6\)
5° \(36+4b=0\) \(\Rightarrow\) \(b=-9\)
C. 【直線與距離】
小鎮 A 距離一筆直道路 6 公里，並與道路上的小鎮 B 相距 12 公里。今欲在此道路上蓋一家超級市場使其與 A, B 等距，則此超級市場與 A 的距離須為 \(\_\_\_\sqrt{\_\_\_}\) 公里。(化為最簡根式)
答：4√3
1° 設 \(A\) 到道路的垂足 \(H\)：\(\overline{AH}=6\)，\(\overline{HB}=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3\)
2° 超市 \(P\) 在道路上，設 \(\overline{HP}=t\)，\(\overline{PA}=\overline{PB}=x\)
3° \(t^2+36=(6\sqrt3-t)^2\) \(\Rightarrow\) \(36=108-12\sqrt3\,t\) \(\Rightarrow\) \(t=2\sqrt3\)
4° \(x^2=(2\sqrt3)^2+36=48\) \(\Rightarrow\) \(x=4\sqrt3\)
D. 【空間直線】
坐標空間中有四點 \(A(2,0,0)\)、\(B(3,4,2)\)、\(C(-2,4,0)\) 與 \(D(-1,3,1)\)。若點 \(P\) 在直線 \(CD\) 上變動，則內積 \(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}\) 之最小可能值為 \(\dfrac{\_\_\_}{\_\_\_}\)。(化為最簡分數)
答：5/4
1° \(\overrightarrow{CD}=(1,-1,1)\) \(\Rightarrow\) \(CD\)：\(x=-2+t\)、\(y=4-t\)、\(z=t\)
2° 設 \(P(-2+t,\,4-t,\,t)\)
3° \(\overrightarrow{PA}=(4-t,\,-4+t,\,-t)\)、\(\overrightarrow{PB}=(5-t,\,t,\,2-t)\)
4° \(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=(4-t)(5-t)+(t-4)t-t(2-t)=3t^2-15t+20\)
5° 配方：\(3\big(t-\frac52\big)^2+\frac54\) \(\Rightarrow\) 最小值 \(\dfrac54\)
E. 【平面向量】
設 \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) 為兩個長度皆為 1 的向量。若 \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\) 與 \(\overrightarrow{u}\) 的夾角為 \(75^\circ\)，則 \(\overrightarrow{u}\) 與 \(\overrightarrow{v}\) 的內積為 \(\dfrac{\_\_\_\sqrt{\_\_\_}}{\_\_\_}\)。(化為最簡根式)
答：−√3/2
1° \(|\vec u|=|\vec v|=1\) \(\Rightarrow\) \(\vec u+\vec v\) 是菱形對角線，平分 \(\vec u\)、\(\vec v\) 的夾角（變一樣長再加起來）
2° \(\vec u\)、\(\vec v\) 夾角 \(=2\times75^\circ=150^\circ\)
3° \(\vec u\cdot\vec v=1\times1\times\cos150^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)
F. 【排列組合】
一個房間的地面是由 12 個正方形所組成，如右圖。今想用長方形瓷磚舖滿地面，已知每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形，即 
或 
。則用 6 塊瓷磚舖滿房間地面的方法有 _____ 種。
答：11
1° 依第 2、3 行之間的分界「切平」或「突出」分類
2° 切平：左邊 \(3\times2\) 有 3 種、右邊 \(2\times3\) 有 3 種 \(\Rightarrow\) \(3\times3=9\)
3° 突出：上兩列各一塊橫磚跨過分界（只跨一塊會讓左邊剩奇數格）\(\Rightarrow\) 左邊剩 1 種、右邊 \(2\times2\) 有 2 種 \(\Rightarrow\) \(1\times2=2\)
4° \(9+2=11\)
G. 【矩陣】
已知 \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) 是一個轉移矩陣，並且其行列式(值)為 \(\dfrac{5}{8}\)。則 \(a+d=\dfrac{\_\_\_}{\_\_\_}\)。(化為最簡分數)
答：13/8
1° 轉移矩陣每行和為 1 \(\Rightarrow\) \(c=1-a\)、\(b=1-d\)
2° \(ad-bc=ad-(1-d)(1-a)=ad-(1-a-d+ad)=a+d-1\)
3° \(a+d-1=\dfrac58\) \(\Rightarrow\) \(a+d=\dfrac{13}8\)
H. 【正弦定理】
如圖，正三角形 \(ABC\) 的邊長為 1，並且 \(\angle1=\angle2=\angle3=15^\circ\)。已知 \(\sin15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)，則正三角形 \(DEF\) 的邊長為 \(\dfrac{\sqrt{\_\_\_}}{\_\_\_}-\dfrac{\sqrt{\_\_\_}}{\_\_\_}\)。(化為最簡根式)
答：√6/2 − √2/2
1° \(\triangle ABE\)：\(\angle BAE=15^\circ\)、\(\angle ABE=60^\circ-15^\circ=45^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\angle AEB=120^\circ\)
2° 正弦定理：\(\dfrac{\overline{AE}}{\sin45^\circ}=\dfrac{\overline{BE}}{\sin15^\circ}=\dfrac1{\sin120^\circ}=\dfrac2{\sqrt3}\)
3° \(\overline{AE}=\dfrac2{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt2}2=\dfrac{\sqrt6}3\)、\(\overline{BE}=\dfrac2{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4=\dfrac{\sqrt2}2-\dfrac{\sqrt6}6\)
4° 旋轉對稱 \(\Rightarrow\) \(\triangle ABE\cong\triangle CAD\) \(\Rightarrow\) \(\overline{AD}=\overline{BE}\)
5° \(\overline{DE}=\overline{AE}-\overline{AD}=\dfrac{\sqrt6}3-\dfrac{\sqrt2}2+\dfrac{\sqrt6}6=\dfrac{\sqrt6}2-\dfrac{\sqrt2}2\)
103 學測數學五標
- 頂標：13
- 前標：11
- 均標：8
- 後標：5
- 底標：3