102 學測數學 詳解試題分析

102 學測數學詳解，依巫老師的解題方法撰寫：每題先寫公式、再一步步代入；需要看圖才懂的題目附圖說明。

1	2	3	4	5	6
(5)	(4)	(3)	(5)	(2)	(3)
7	8	9	10	11	12
(1)(2)(3)(5)	(1)(2)	(4)(5)	(1)(3)(4)	(1)(2)(5)	(1)(3)

A	B	C	D	E	F	G	H
16	\((-4,12)\)	19	\(a=-2,\ b=70\)	51	31	\(4\sqrt{15}\)	\(\frac{15}{11}\)

一、單選題

1. 【邏輯】

答：(5)

1° 設 \(p\)：國文 \(\ge 70\) 或英文 \(\ge 70\)；\(q\)：數學及格

2° 有資格 \(= p\wedge q\) \(\Rightarrow\) 不符合 \(=(p\wedge q)' = p'\vee q'\)

3° \(p'\) = 國文 \(<70\) 且英文 \(<70\)，國文 65 已成立 \(\Rightarrow\) \(p'\) 就是「英文 \(<70\)」

4° 不符合 \(\Rightarrow\) 英文未達 70 或數學不及格

2. 【指數】

答：(4)

1° 提出共同最低次冪 \(2.6^9\)，只比括號內

2° \(a = 2.6^9(2.6-1) = 1.6\times 2.6^9\)

3° \(b = 2.6^9(2.6^2-2.6) = 2.6^9\times 2.6\times 1.6 = 4.16\times 2.6^9\)

4° \(c = \dfrac{2.6^9(2.6^2-1)}{2} = 2.6^9\times\dfrac{1.6\times 3.6}{2} = 2.88\times 2.6^9\)

5° \(b>c>a\)

3. 【條件機率】

答：(3)

1° 「在…條件下」\(\Rightarrow P(\text{丙白}\mid\text{甲乙同色}) = \dfrac{P(\text{甲乙同色}\cap\text{丙白})}{P(\text{甲乙同色})}\)

2° 分母：白白 + 黑黑 \(= \frac35\times\frac24+\frac25\times\frac14 = \frac{6}{20}+\frac{2}{20} = \frac{8}{20}\)

3° 分子：白白白 + 黑黑白 \(= \frac35\times\frac24\times\frac13+\frac25\times\frac14\times\frac33 = \frac{2}{20}+\frac{2}{20} = \frac{4}{20}\)

4° 所求 \(= \dfrac{4/20}{8/20} = \dfrac12\)

4. 【數據分析】

答：(5)

1° 迴歸斜率 \(m = r\cdot\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}\) \(\Rightarrow\) \(r = m\cdot\dfrac{\sigma_x}{\sigma_y}\)

2° 迴歸直線相同 \(\Rightarrow\) \(m\) 相同且 \(m<0\)；\(x\) 都是 \(2,3,5\) \(\Rightarrow\) \(\sigma_x\) 相同

3° \(m<0\) \(\Rightarrow\) \(\sigma_y\) 越小，\(r\) 越小（越負）

4° 迴歸直線過 \((\mu_x,\mu_y)\) \(\Rightarrow\) \(\mu_y\) 都相同；各組 \(y\) 和 \(=15\) \(\Rightarrow\) \(\mu_y=5\)

5° 比 \(\sum(y-5)^2\)：(1) \(16+64+16=96\)、(2) \(4+25+9=38\)、(3) \(0+4+4=8\)、(4) \(16+16+0=32\)、(5) \(4+1+1=6\)

6° (5) 的 \(\sigma_y\) 最小 \(\Rightarrow\) \(r\) 最小

5. 【排列組合】

答：(2)

1° 設紅 \(x\)、黃 \(y\)、綠 \(z\)：\(x+y+z=24\)，\(x\ge1\)，\(y\)、\(z\) 為正奇數

2° \(y\)、\(z\) 奇數 \(\Rightarrow\) \(x=24-y-z\) 為偶數 \(\Rightarrow\) 設 \(x=2p+2\)、\(y=2q+1\)、\(z=2r+1\)（\(p,q,r\ge0\)）

3° 代入：\(2p+2q+2r+4=24\) \(\Rightarrow\) \(p+q+r=10\)

4° 插隔板：10 個球 + 2 個隔板排一列 \(\Rightarrow\) \(C^{12}_2=66\)

6. 【三角比】

答：(3)

1° 畫圖：水平距離 \(x\)，10:00 高度 \(h\)，每 10 分鐘上升 \(y\)（等速 \(\Rightarrow\) 每段時間上升高度一樣，角度不是等量增加）

2° \(\tan30^\circ=\dfrac hx=0.577\)、\(\tan34^\circ=\dfrac{h+y}{x}=0.675\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac yx=0.098\)

3° 10:30 共上升 \(3y\) \(\Rightarrow\) \(\tan\theta=\dfrac{h+3y}{x}=0.577+3\times0.098=0.871\)

4° 查表 \(\tan41^\circ=0.869\) 最接近 \(\Rightarrow\) \(41^\circ\)

二、多選題

7. 【矩陣】

答：(1)(2)(3)(5)

1° \(A^2=\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&3\\0&4\end{bmatrix}\)，\(A^3=A^2A=\begin{bmatrix}1&7\\0&8\end{bmatrix}\)

2° \(a_n\)：\(1,1,1\)；\(b_n\)：\(1,3,7\)；\(c_n\)：\(0,0,0\)；\(d_n\)：\(2,4,8\)

(1) \(a_2=1\)

(2) \(1,1,1\) 是公比 1 的等比

(3) \(2,4,8\) 是公比 2 的等比

(4) \(3-1=2\ne7-3=4\)，不是等差

(5) \(0,0,0\) 是公差 0 的等差

8. 【指數與對數函數】

答：(1)(2)

(1) \((-a)^7>(-a)^9 \Leftrightarrow -a^7>-a^9 \Leftrightarrow a^7<a^9\)，\(a>1\) 成立

(2) \(b^{-9}>b^{-7} \Leftrightarrow \dfrac1{b^9}>\dfrac1{b^7} \Leftrightarrow b^7>b^9\)，\(0<b<1\) 成立

(3) \(\dfrac1a<1<\dfrac1b\) \(\Rightarrow\) \(\log\dfrac1a<0<\log\dfrac1b\)，不成立

(4) \(\log_a1=\log_b1=0\)，相等就不會「\(>\)」

(5) 反例：\(a=2\)、\(b=\frac1{16}\) \(\Rightarrow\) \(\log_ab=\log_2 2^{-4}=-4\)，\(\log_ba=-\frac14\) \(\Rightarrow\) \(-4<-\frac14\)

9. 【多項式函數】

答：(4)(5)

1° 設 \(f(x)=k(x-a)(x-b)\)、\(g(x)=w(x-b)(x-c)\)，\(k>0\)、\(w>0\)

2° \(f+g=(x-b)\big[k(x-a)+w(x-c)\big]\)，\(x^2\) 係數 \(k+w>0\) \(\Rightarrow\) 一定是開口向上的拋物線，且一定過 \((b,0)\)

(1)(2)(3) 一定是拋物線且過 \((b,0)\)，不可能

(4) 另一根 \(\dfrac{ka+wc}{k+w}=b\) 時相切，可能（例 \(k=w\)、\(b=\frac{a+c}2\)）

(5) 另一根 \(\ne b\) 時交兩點，可能（例 \(k=w\)、\(b\ne\frac{a+c}2\)）

10. 【平面向量】

答：(1)(3)(4)

1° 設 \(P(x,y)\)：\(\overrightarrow{PQ_1}=(1-x,-y)\)、\(\overrightarrow{PQ_2}=(-1-x,-y)\)

2° \(\overrightarrow{PQ_1}\cdot\overrightarrow{PQ_2}=(1-x)(-1-x)+y^2=x^2+y^2-1<0\) \(\Rightarrow\) \(x^2+y^2<1\)

3° 翻譯：圖形上至少有一點落在單位圓內部

(1) \((0,\frac12)\)：\(0+\frac14<1\)

(2) \(y=x^2+1\ge1\) \(\Rightarrow\) \(x^2+y^2\ge1\)，不行

(3) \(x=0\) 時 \(y^2=\frac12\) \(\Rightarrow\) \((0,\frac1{\sqrt2})\)：\(\frac12<1\)

(4) \((\frac12,0)\)：\(\frac14<1\)

(5) \(x^2-y^2=2\) \(\Rightarrow\) \(x^2+y^2=2+2y^2\ge2\)，不行

11. 【二次曲線】

答：(1)(2)(5)

1° 正方形四頂點到中心 \(F_1\) 等距 \(\Rightarrow\) 頂點都在以 \(F_1\) 為圓心、半徑 \(d\) 的圓上

2° 這個圓與 \(\Gamma\) 的交點 \(P\)：\(\overline{PF_1}=d\)，由定義 \(\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a\) \(\Rightarrow\) \(\overline{PF_2}=2a-d\)

3° \(\Rightarrow\) \(P\) 是「\(F_1\) 為圓心、半徑 \(d\)」與「\(F_2\) 為圓心、半徑 \(2a-d\)」兩圓的交點，最多 2 點 \(\Rightarrow\) 最多 2 個頂點在 \(\Gamma\) 上，(3)(4) 不可能

(5) 正方形很小（\(d<a-c\)），沒有頂點在 \(\Gamma\) 上

(1) \(d=a-c\)（\(F_1\) 到較近長軸頂點的距離），一個頂點放在那個長軸頂點 \(\Rightarrow\) 恰 1 個

(2) \(d\) = 正焦弦長的一半，過 \(F_1\) 的正焦弦兩端點當成對頂點 \(\Rightarrow\) 恰 2 個

12. 【數列】

答：(1)(3)

1° \(\langle a_n\rangle\) 公比 \(-0.8\) \(\Rightarrow\) 正負相間 \(\Rightarrow\) \(a_9\)、\(a_{10}\) 一正一負

2° 又 \(b_9<a_9\)、\(b_{10}<a_{10}\)，分兩種情形列正負表：

情形	\(a_9\)	\(a_{10}\)	\(b_9\)	\(b_{10}\)
\(a_9\) 為正	\(+\)	\(-\)	不確定	\(-\)（\(b_{10}<a_{10}<0\)）
\(a_9\) 為負	\(-\)	\(+\)	\(-\)（\(b_9<a_9<0\)）	不確定

3° \(b_9\)、\(b_{10}\) 有一個為負，又 \(b_1=10>0\) \(\Rightarrow\) 公差 \(d<0\)

(1) \(a_9a_{10}=a_9^2\times(-0.8)<0\)

(2) 情形一 \(b_{10}<0\)；情形二 \(b_{10}<b_9<0\) \(\Rightarrow\) \(b_{10}\) 一定是負的，不成立

(3) \(d<0\) \(\Rightarrow\) \(b_9>b_{10}\)

(4) 反例：\(a_9=-1\)、\(a_{10}=0.8\)，取 \(d=-2\)（\(b_9=-6\)、\(b_{10}=-8\) 符合條件）\(\Rightarrow\) \(a_9<a_{10}\)

(5) 反例：\(a_9=5\)、\(a_{10}=-4\)、\(a_8=-6.25\)，取 \(d=-2\)（\(b_9=-6\)、\(b_{10}=-8\) 符合條件）\(\Rightarrow\) \(b_8=-4>a_8\)

三、選填題

A. 【數與式】

答：16

1° 同乘 3 \(\Rightarrow\) \(k<3\sqrt{31}<k+1\)

2° 平方 \(\Rightarrow\) \(k^2<279<(k+1)^2\)

3° \(16^2=256<279<289=17^2\) \(\Rightarrow\) \(k=16\)

B. 【複數】

答：(−4, 12)

1° 乘開：\((a+bi)(2+6i)=(2a-6b)+(6a+2b)i\)

2° 實部、虛部各自相等：\(2a-6b=-80\)、\(6a+2b=0\)

3° \(b=-3a\) 代入 \(\Rightarrow\) \(20a=-80\) \(\Rightarrow\) \(a=-4\)、\(b=12\)

C. 【直線】

答：19

1° \(C\) 不在 \(A\)、\(B\) 之間且 \(\overline{AC}:\overline{BC}=3:1\) \(\Rightarrow\) 順序 \(A\)、\(B\)、\(C\)，\(\overline{AB}:\overline{BC}=2:1\)

2° \(B\) 是 \(\overline{AC}\) 的內分點，比例交叉放 \(\Rightarrow\) \(B=\dfrac{A+2C}{3}\)

3° \(x\)：\(16=\dfrac{a+38}{3}\) \(\Rightarrow\) \(a=10\)；\(y\)：\(b=\dfrac{3+24}{3}=9\)

4° \(a+b=19\)

D. 【多項式】

答：a = −2，b = 70

1° 先列表：

	第一天	第二天	第三天
每公斤（元）	40	36	32
公斤數	\(100-(at+b)-t\)	\(at+b\)	\(t\)

2° \(40\big[100-(at+b)-t\big]+36(at+b)+32t=3720\)，對所有 \(t\) 成立

3° 整理：\((-4a-8)t+(4000-4b)=3720\) \(\Rightarrow\) \((-4a-8)t+(280-4b)=0t+0\)

4° 比較係數：\(-4a-8=0\) \(\Rightarrow\) \(a=-2\)；\(280-4b=0\) \(\Rightarrow\) \(b=70\)

E. 【圓】

答：51

1° 兩直線平行且弦長相等 \(\Rightarrow\) 圓心到兩線距離相同 \(\Rightarrow\) 弦心距 = 兩平行線距離的一半

2° 兩線距離 \(=\dfrac{|5-1|}{\sqrt2}=2\sqrt2\) \(\Rightarrow\) 弦心距 \(d=\sqrt2\)

3° \(r^2=\) 半弦\(^2+d^2=7^2+2=51\) \(\Rightarrow\) 面積 \(51\pi\)

F. 【平面向量】

答：31

（線性規劃不在學測範圍，屬數乙）

1° \(\vec A\cdot\vec B=1\times2\times\cos60^\circ=1\)

2° \(\vec u\cdot\vec v=(\vec A+\vec B)\cdot(x\vec A+y\vec B)=x|\vec A|^2+(x+y)\,\vec A\cdot\vec B+y|\vec B|^2=x+(x+y)+4y=2x+5y\)

3° 畫出 \(x+y=6\)、\(x+y=8\)、\(x-y=-2\)、\(x-y=0\) 四條線，區域四頂點：\((2,4)\)、\((3,3)\)、\((3,5)\)、\((4,4)\)

4° 代 \(2x+5y\)：\(24\)、\(21\)、\(31\)、\(28\) \(\Rightarrow\) 最大值 31

G. 【正弦定理、和角公式】

答：4√15

1° 設 \(O\) 為外心，\(M\)、\(N\) 為 \(\overline{BC}\)、\(\overline{AB}\) 中點：\(\overline{OB}=8\)、\(\overline{OM}=7\)、\(\overline{ON}=2\)（弦心距垂直平分弦）

2° 畢氏：\(\overline{BM}=\sqrt{64-49}=\sqrt{15}\)、\(\overline{BN}=\sqrt{64-4}=2\sqrt{15}\)

3° 銳角三角形 \(\Rightarrow\) \(O\) 在內部 \(\Rightarrow\) \(\angle B=\angle OBM+\angle OBN\)

4° \(\sin\angle OBM=\frac78\)、\(\cos\angle OBM=\frac{\sqrt{15}}8\)；\(\sin\angle OBN=\frac28\)、\(\cos\angle OBN=\frac{2\sqrt{15}}8\)

5° 和角公式：\(\sin B=\frac78\cdot\frac{2\sqrt{15}}8+\frac{\sqrt{15}}8\cdot\frac28=\frac{16\sqrt{15}}{64}=\frac{\sqrt{15}}4\)

6° 正弦定理 \(\dfrac{\overline{AC}}{\sin B}=2R=16\) \(\Rightarrow\) \(\overline{AC}=16\times\dfrac{\sqrt{15}}4=4\sqrt{15}\)

H. 【空間向量】

答：15/11

1° 標點：\(C(6,6,0)\)、\(G(6,6,6)\)、\(H(0,6,6)\)；\(\overline{CG}=6\)、\(\overline{CP}:\overline{PG}=1:5\) \(\Rightarrow\) \(P(6,6,1)\)；\(R\) 為 \(\overline{EH}\) 中點 \(\Rightarrow\) \(R(0,3,6)\)

2° \(Q\) 在 \(\overline{AD}\)（\(y\) 軸）上 \(\Rightarrow\) 設 \(Q(0,a,0)\)

3° 平面與 \(AG\) 不相交 \(\Rightarrow\) \(AG\parallel\) 平面 \(\Rightarrow\) 法向量 \(\vec n\perp\overrightarrow{AG}\)，\(\overrightarrow{AG}=(6,6,6)\parallel(1,1,1)\)

4° \(\overrightarrow{QP}=(6,6-a,1)\)、\(\overrightarrow{QR}=(0,3-a,6)\) \(\Rightarrow\) \(\vec n=\overrightarrow{QP}\times\overrightarrow{QR}=(33-5a,-36,18-6a)\)

5° \(\vec n\cdot(1,1,1)=0\) \(\Rightarrow\) \(33-5a-36+18-6a=0\) \(\Rightarrow\) \(15-11a=0\) \(\Rightarrow\) \(a=\dfrac{15}{11}\)

6° 驗證：平面為 \(8x-11y+3z=-15\)，\(A(0,0,0)\) 代入 \(0\ne-15\) \(\Rightarrow\) \(AG\) 不在平面上，確實不相交